奇偶数列【2022届新高考一模试题分类汇编】一、解答题1．（2022·山东淄博·一模）已知数列满足：，且．设．(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；(2)求数列的前2n项和．【解析】(1)由题意可知：，，故，即，故是以为首项，以为公比的等比数列，且，故(2)由（1）知，,即，由题意知：，故，故数列的前2n项和.2．（2022·全国·模拟预测）在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答．已知等差数列的前n项和为，______，数列是公比为2的等比数列，且．(1)求数列和的通项公式；(2)数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列；，，，，，，，，…，求数列的前项和．【解析】(1)设等差数列的公差为d，选择①，，可知，所以．,又，所以数列的公差，所以；选择②，，可知，，则所以；选择③，，可知，则所以．又因为，所以数列的通项公式为．(2)由题意3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知等差数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式以及前n项和；(2)若，求数列的前2n－1项和.【解析】(1)依题意，，则，故，解得d＝2，∴，故，.(2)依题意，得，故，,故4．（2021·江苏盐城·高三阶段练习）在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列是等比数列，且，其中，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前2n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】(1)数列是等比数列，故设其公比为，因为，其中，，成等差数列，则，则，解得（舍）或，故.(2)若①记，则，，，，故；若②记，即当为奇数时，；为偶数时，；故.综上所述：若记，；若记，.,5．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知数列满足，.(1)记，求证：数列为等比数列；(2)求的前项和.【解析】(1)依题意，因，则，于是得，而，则，所以是首项为6，公比为2的等比数列.(2)由(1)知，，则，记数列的前n项和为，则，因，则，从而有因此，，所以的前项和.6．（2022·湖南常德·高三期末）已知数列的前n项和为，且．(1)求，并求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列前20项的和．【解析】(1)由题可知，，解得.在中令,得,解得；∵①,∴②,由①－②得：，即,∴．∴数列是首项与公差都为2的等差数列,∴.(2)题可知，当时，,∴.当时，,,∴,∴.7．（2022·全国·高二课时练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，．(1)求和的通项公式．(2)设数列满足，求．【解析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则.由题意,得,解得：,故,.(2)，记①，则②②-①得所以8．（2022·山东烟台·高三期末）已知数列满足，．(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前2n项和．【解析】(1)依题意，，,而，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，，.(2)由(1)知，，则有，又，则，于是有，因此，，所以.9．（2022·江苏苏州·高三期末）若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；(2)若数列满足，求的前项和．【解析】(1)由，，相减得，所以周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，由，，得，所以．(2)由，，得，当为偶数时，；当为奇数时，．综上所述，10．（2022·天津·耀华中学高二期末）已知为等差数列，为等比数列，，，.(1)求和的通项公式；,(2)记的前n项和为，求的最小值；(3)设求数列的前2n项和.【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，，所以，，解得，，所以，(2)由（1）可得，则，因为函数在上递减，在是递增，又因为，所以当时，取得最小值，(3)当为奇数时，，当为偶数时，，对任意的正整数，有，所以，所以,，所以数列的前2n项和为