06导数概念与几何意义【2022届新高考一模试题分类汇编】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知曲线在处的切线为l，点到切线l的距离为d，则d的最大值为（ ）A．1B．2C．D．【答案】D【解析】对求导，得，所以切线l的斜率为，又，所以切线l的方程为，即，所以，当且仅当时取等号，故d的最大值为．故选：D．2．（2022·四川泸州·二模（文））已知曲线在点处的切线方程为，则a的值是（ ）A．B．-2C．D．2【答案】D【解析】曲线，求导得到曲线在点处的切线的斜率为：故选：D3．（2022·福建漳州·一模）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】将化为，则将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，即，京）股份有限公司,要使曲线上的点到直线的距离最短，只需曲线上在该点处的切线和直线平行，设曲线上该点为，因为，且的斜率为，所以，解得或（舍），即该点坐标为.故选：B.4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因为，所以，设切点为，所以在切点处的切线方程为，又在切线上，所以，即，整理得，解得或，所以过点可作曲线的切线的条数为2.故选：C．5．（2022·浙江·模拟预测）某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，点、点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则、两点在水平方向的距离约为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】以滑道的最陡处为原点建立平面直角坐标系，由题意可知，为的中点，京）股份有限公司,设三次函数的解析式为，其中，设点，则，，在滑道最陡处，，则的对称轴为直线，则，可得，则，，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为，则，所以，，，由图可知，可得，，则.故选：D.6．（2022·江西九江·一模（理））已知函数（且）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）．A．B．C．D．【答案】A【解析】解法一：通过选项判断可知，令，得，由，得，所以．京）股份有限公司,令，则，且在上单调递增，所以，即，所以，即，令，，∴在上单调递增，在上单调递减，则，又时，，且，画出大致图像，可知，则．故选：A．解法二：通过选项判断可知，令，得，由，得，所以．令，则，且在上单调递增，所以，即，当直线与图像相切时，设切点为，由，则有，故，则．又，即，则，∴．要使得直线与图像有两个交点，则，故选：A．7．（2022·山西临汾·一模（文））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B京）股份有限公司,【解析】因为，所以，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：B.8．（2022·全国·模拟预测）若过点可以作曲线且的两条切线，则（ ）A．B．C．D．与的大小关系与有关【答案】D【解析】设切点为：，则，所以切线方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得，当时，，当时，，所以当时，取得极小值，因为过点可以作曲线且的两条切线，所以，即，所以与的大小关系与有关，故选：D9．（2022·浙江·模拟预测）设是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】A：由且定义域为，则，，即为上凸函数，有，所以；京）股份有限公司,B：由且定义域为，则，，显然上，即在为下凹函数，，所以存在；C：由，则，，显然在，上，即在，为下凹函数，有，所以存在；D：由，则，，显然存在上，即在为下凹函数，有，所以存在.故选：A.汾·一模（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即为.故选：A.11．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（ ）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件京）股份有限公司,C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“连续不一定可导”知，“在处连续”不能推出“在处可导”,比如函数在处连续，但是在处不可导；由“可导一定连续”知，“在处可导”可以推出“在处连续”.因此在处连续是在处可导的必要不充分条件答案选：B12．（2022·重庆·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线与曲线相切，所以设切点为，则，因为，所以，则切线方程为：，因为过点，代入可得：.令，则在上恒成立，所以在上单调递增，且，所以切点为，则.故选：B.13．（2022·安徽马鞍山·一模（理））若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线与的切点为，由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，即为，设直线与的切点为，由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，即为，∵仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，京）股份有限公司,∴，∴即，令，则，当时，即，当时，即，即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值，，图像为∵切线只有一条，即的值唯一，∴只有，故选：.14．（2022·江西上饶·一模（理））设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）A．2B．-1C．1D．【答案】D【解析】由导数的几何意义，点处的切线斜率为，因为时，，所以，所以在点处的切线斜率为，故选：D.15．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知命题：“且”是“”的充要条件；命题：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】若且，则有，反之，若，如且，而且不成立，即“且”是“”的充分不必要条件，于是得p是假命题，京）股份有限公司,由求导得：，由得：，即存在，曲线在点处的切线斜率为，q是真命题，是真命题，是假命题，A不正确；是假命题，是假命题，B不正确；是假命题，C不正确；是真命题，是真命题.故选：D16．（2022·湖南永州·二模）若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】设切线与曲线相切于点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，联立可得，由题意可得且，可得，令，其中，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，.且当时，，当时，，如下图所示：由题意可知，直线与曲线有两个交点，则，解得.故选：D.二、多选题京）股份有限公司,17．（2022·全国·模拟预测）函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是( )A．函数的图象关于直线对称B．当时，的最大值为－1C．函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为D．函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为【答案】BCD【解析】当，时，函数.A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，故A错误；B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，故B正确；C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为，所以“囧点”为，设，则，设切点为，，切线的斜率，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，，解得，切点坐标为，故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，故C正确，D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中，则点到圆心的距离的平方为，令，，则，再令，（其中，则，所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为．京）股份有限公司,又，综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为．故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为，故D正确，故选：BCD．18．（2022·全国·模拟预测）已知函数（a，b，），则（ ）A．若，则曲线在处的切线方程为B．若，，，则函数在区间上的最大值为C．若，，且在区间上单调递增，则实数a的取值范围是D．若，，函数在区间内存在两个不同的零点，则实数c的取值范围【答案】ACD【解析】对于A，，得，且，所以，所以曲线在处的切线方程为，即，所以A正确.对于B，，得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，且易知，所以当时，，所以B不正确.对于C，，定义域为，.因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，而当时，函数的值域为，所以，所以C正确.对于D，，所以，定义域为，在区间内存在两个不同的零点，等价于关于x的方程即在区间内存在两个不同的根.令京）股份有限公司,，则原问题等价于函数和的图象有两个不同的交点，，所以由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，当时，，（作出函数和的大致图象，如图所示由图可得，所以D正确.故选：ACD.三、填空题19．（2022·山东菏泽·一模）曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】由，得，所以切线的斜率为，所以所求的切线方程为，即，故答案为:20．（2022·山东·模拟预测）已知直线与曲线相切，则___________.【答案】3【解析】对求导，得，设切点为，则，解得，故答案为：3.21．（2022·四川·三模（理））曲线在点处的切线方程为______．京）股份有限公司,【答案】【解析】，，则当时，，所以切线方程为：，整理得：故答案为：22．（2022·山东临沂·一模）函数，则曲线在处的切线方程为______.【答案】【解析】由题意，故，则曲线在处的切线方程为：故答案为：京）股份有限公司
