27圆锥曲线的几何性质【2022届新高考一模试题分类汇编】一、单选题1．（2022·贵州贵阳·一模（文））已知双曲线C：的一条渐近线为，则C的离心率为（       ）A．B．C．2D．【答案】C【解析】双曲线的渐近线为又双曲线C：的一条渐近线为,所以所以双曲线的离心率为故选：C2．（2022·新疆·一模（文））若双曲线的左右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，又，，双曲线的渐近线方程为：，即，焦点到渐近线的距离为，即的最小值为b，即，不妨设直线OQ为：，，点，，的中点为，将其代入双曲线C的方程，得：，学科网（北京）股份有限公司,即，解得：又，，，故双曲线C的方程为．故选：B.3．（2022·广西崇左·模拟预测（文））设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于x轴，则双曲线的离心率是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意可知在第三象限，将代入，解得，所以，将其代入得，，利用离心率.选：D4．（2022·福建漳州·二模）伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（     ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】因为双曲线的离心率为，所以，解得，则双曲线方程为，，学科网（北京）股份有限公司,所以下焦点，渐近线方程为，设上焦点为，则，由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为，设到的距离为，则与P到C的一条渐近线的距离之和为，因为的最小值为到渐近线的距离，所以的最小值为，即与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5，故选：D5．（2022·江西·模拟预测（文））如图，已知双曲线的右焦点为F，以原点为圆心，焦距为直径的圆交双曲线于A，B两点，线段经过右焦点F，若，则该双曲线的渐近线方程为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，记左焦点为，连接，由双曲线的对称性得，由得，设，则，又，即，从而由得，，，从而，所以，化简得，所以，渐近线方程为．故选：D．学科网（北京）股份有限公司,6．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（文））由双曲线上一点P向其渐近线作垂线，垂足分别为S，T，则四边形OSPT的周长的最小值为（       ）．A．2B．4C．D．8【答案】B【解析】双曲线的两条渐近线分别为，，两渐近线互相垂直，因此四边形OSPT为矩形，周长为．设，点S在渐近线上，点T在渐近线上，则，即，由题意可知，到直线的距离为，即，到直线的距离为，即，显然，故，当且仅当时，等号成立．所以四边形OSPT的周长的最小值为4．故选：B.7．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，且点在C上，则双曲线C的标准方程为（       ）学科网（北京）股份有限公司,A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，设双曲线C的标准方程为，半焦距c，则离心率，有，而点在C上，即，即，解得，所以双曲线C的标准方程为.故选：B8．（2022·陕西周至·一模（文））已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，如下图所示：过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，所以，，由图可知，当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，且最小值为.故选：C.9．（2022·广西崇左·模拟预测（理））已知为双曲线学科网（北京）股份有限公司,的左焦点，若双曲线右支上存在一点，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，两边平方并化简得，双曲线的一条渐近线为，由于在双曲线的右支，所以，即，，.故选：A10．（2022·安徽·芜湖一中一模（理））设F1，F2是椭圆C：=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由椭圆的定义，，学科网（北京）股份有限公司,由余弦定理有：，化简整理得：，又，由以上两式可得：由，得，∴，又，所以F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知轴，所以.故选：B.二、多选题11．（2022·海南·模拟预测）下列双曲线的渐近线方程为的是（       ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】A选项，的渐近线方程为，A正确；B选项，的渐近线方程为：，B错误；C选项，的渐近线方程为：，C错误；D选项，的渐近线方程为：，D正确.故选：AD12．（2022·广东深圳·一模）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（       ）学科网（北京）股份有限公司,A．B．C．D．【答案】ABD【解析】动圆C与圆A和直线l都相切，当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；所以，当时，抛物线不完整，所以，，，，故选：ABD13．（2022·福建福州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（       ）A．的离心率为B．的周长为C．D．【答案】CD【解析】对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误；对于B，由椭圆定义知：，，的周长为，B错误；对于C，当为椭圆短轴端点时，，，，即，，C正确；对于D，，，，D正确.故选：CD.14．（2022·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆E的方程为，离心率为，为E上一点，过点A作两条直线分别与E交于B，C两点，且直线AB与直线AC学科网（北京）股份有限公司,的倾斜角互补，则下列结论正确的是（       ）A．椭圆E的长轴长为B．直线BC的斜率为定值C．点O到直线BC的距离为定值D．若，则直线BC的方程为【答案】BD【解析】对于选项A，由题意得，，结合，得，，所以椭圆E的长周长为，故A错误.对于选项B，由A得椭圆E的方程为，设，，由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，与椭圆的方程联立，得，则，得，，即.因为直线AB与直线AC的倾斜角互补，所以直线AC的斜率为﹣k，同理可得，故直线BC的斜率，为定值，故B正确.对于选项C，由B知可设直线BC的方程为，则原点O到直线BC的距离，不是定值，故C错误.对于选项D，联立直线BC与椭圆的方程，得，整理得，，即，则，，由，得，整理得，得，，此时直线BC的方程为，故D正确.故选：BD.15．（2022·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为､，左､右顶点分别为､，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则（       ）A．B．若焦点关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1学科网（北京）股份有限公司,D．若双曲线C为等轴双曲线，且，则【答案】BCD【解析】对于A,在中，根据三角形两边之差小于第三边，故，故A错误；对于B，焦点，渐近线不妨取，即，设关于双曲线C的渐近线的对称点为，则，即得，即关于双曲线C的渐近线的对称点为，由题意该点在双曲线上，故，将代入，化简整理得：，即，所以，故，故B正确；对于C,双曲线C为等轴双曲线，即,设，则，则，故，故C正确；对于D,双曲线C为等轴双曲线，即,且,设，则，根据C的结论，即有，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故，故D正确；故选：BCD三、填空题16．（2022·陕西·一模（文））已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是___________.【答案】【解析】由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在x轴上的椭圆学科网（北京）股份有限公司,总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，，又焦点在x轴上，..故答案为：．17．（2022·陕西周至·一模（文））若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率是________．【答案】2【解析】不妨取双曲线的一条渐近线，即，则右焦点渐近线的距离，所以，则，所以双曲线的离心率.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测（文））如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点、分别作弦、．若，则的最小值为______．【答案】【解析】设点关于原点的对称点为，由于椭圆关于原点对称，则点在椭圆上，因为既为的中点，也为线段的中点，故四边形为平行四边形，故且，因为且，故点与点重合，所以，，学科网（北京）股份有限公司,由题意可知，直线不与轴重合，易知点，设点、，设直线的方程为，联立，可得，，，，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.19．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（文））已知椭圆，，分别为其左、右焦点，以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，在第三象限交于点Q．若的面积为，则______．【答案】##【解析】如下图所示：由对称性知PQ为圆O的直径，所以．又因为，，所以四边形为矩形，所以．因为，，所以，，，则．故答案为：20．（2022·四川·成都七中二模（理））已知抛物线C：的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交于A，B两点，若．且，则p＝______．【答案】3学科网（北京）股份有限公司,【解析】设直线，设，，联立，整理可得：，可得，，所以，所以可得，所以，又为锐角，解得，设，如图作轴交于，由题意可得在抛物线的准线上，作准线，作，垂足为，则，所以，所以，所以，所以．故答案为：3．学科网（北京）股份有限公司