清单18平面向量的概念、线性运算及基本定理一、知识与方法清单1.向量向量是既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)注意向量与有向线段的区别：(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量.(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.【对点训练1】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.2.零向量长度为0的向量；注意零向量的方向是任意的【对点训练2】下列叙述错误的是________．①若a∥b，b∥c，则a∥c.②若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同．④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.⑤＋＝0.⑥若λa＝λb，则a＝b.【答案】①②③④⑤⑥【解析】对于①，当b＝0时，a不一定与c平行．对于②，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．对于③，当a，b之一为零向量时结论不成立．对于④，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0或a≠0但b＝0时，λ不存在．9 对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.故①②③④⑤⑥均错．3.单位向量单位向量是长度等于1个单位长度的向量，注意单位向量的长度确定，但方向不确定，故单位向量有无数个，与非零向量a共线的单位向量为±.【对点训练3】与共线的单位向量为【答案】【解析】因为，所以与共线的单位向量为.4.平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量是共线向量，注意课本规定零向量与任意向量都共线.【对点训练4】对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a＋b＝0时，a＝－b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.5.相等向量长度相等且方向相同的向量是相等向量解读：对平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”.(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的.(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量.【对点训练5】给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；9 ②若|a|＝|b|，则a＝b；③若＝，则四点A，B，C，D构成平行四边形；④在▱ABCD中，一定有＝；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是(　　)A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．若＝，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B.6.相反向量长度相等且方向相反的向量是相反向量解读：对相反向量的两点说明(1)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反，模长相等的两个向量.(2)两个非零向量a，b互为相反向量应具备的条件：一是长度相等，二是方向相反，两者缺一不可.【对点训练6】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)A．①B．③C．①③D．①②【答案】A【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．7.向量的加法法则①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为起点以第二个向量b的终点B为终点的向量就是a与b的和(如图1)．图1图29 ②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．解读：对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明(1)两个法则的使用条件不同.三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的.(3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同.【对点训练7】在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.【答案】2【解析】由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，∴＋＝2.又＋＝λ，∴λ＝2.8.向量的减法法则已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．解读：向量减法法则的两点说明(1)向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a，b不共线时，a，b与a-b围成一个三角形；当a，b共线时，a，b与a-b不能围成一个三角形.(2)向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.【对点训练8】设D为△ABC所在平面内一点，若＝3，则(　　)A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－【答案】A【解析】∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.9 9.实数与向量的乘积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.解读：向量数乘定义的两个关注点(1)条件：一个实数与一个向量乘积.(2)结论：向量数乘的结果为一个向量，其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积，其方向与实数的正负有关.【对点训练9】已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　)A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向【答案】D【解析】因为c∥d，所以存在实数λ，使得c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，所以解得此时c＝－d.所以c与d反向．故选D.10.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.解读：对向量共线的条件的说明(1)在向量共线的条件中之所以限定a≠0，是由于若a=b=0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一.(2)根据向量共线的条件，对于非零向量a，b，确定实数λ，使b=λa时，分两点：①确定符号，a与b同向时，λ为正；a与b反向时，λ为负.②确定λ的绝对值.【对点训练10】已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb【答案】D【解析】因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．故选D.11.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．9 【对点训练11】在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对【答案】C【解析】由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选C.12.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．【对点训练12】如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．【答案】2【解析】取AC的中点D，连接OD，则＋＝2，∴＝－，∴O是AC边上的中线BD的中点，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC与△AOC面积之比为2.13.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.【对点训练13】如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)A．1B．2C．3D．4【答案】B9 【解析】∵O为BC的中点，∴＝(＋)＝(m＋n)＝＋，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.14求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．【对点训练14】在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.解法一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b.解法二：由于G是△ABC的中线BE与CF的交点，所以G为△ABC的重心．延长AG交BC于H，由重心的性质知，＝＝×(＋)＝a＋b.15.求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．【对点训练15】设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.16.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．【对点训练16】已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　)9 A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1【答案】D【解析】由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1，故选D.17.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．【对点训练17】已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c等于(　　)A．aB．bC．cD．0【答案】D【解析】依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.18.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．解读：对平面向量基本定理的两点说明(1)作用和意义平面向量基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的.(2)基底的性质：①不共线性平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底.②不唯一性对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的【对点训练18】如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.9 【答案】【解析】如图，取单位向量i，j，则a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，∴　∴∴x＋y＝.19.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【对点训练19】在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.【答案】【解析】选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)，于是得解得所以λ＋μ＝.9