专题突破练11 等差数列、等比数列一、单项选择题1.(2021·江西景德镇模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am-1+am=73(m≥3),Sm=2020,则m的值为( ) A.100B.101C.200D.2022.(2021·山东临沂检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )A.72B.81C.90D.993.(2021·广东汕头一模)在正项等比数列{an}中,a2a4=16,a4+a5=24,则数列{an}的通项公式为( )A.an=2n-1B.an=2nC.an=3nD.an=3n-14.(2021·广东肇庆百花中学高三月考)跑步是一种体育锻炼方法,通过跑步,我们能提高肌力,同时提高体内的基础代谢水平.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划,他第一天跑了8千米,以后每天比前一天多跑0.5千米,则他要完成该计划至少需要( )A.16天B.17天C.18天D.19天5.(2021·广东深圳一模)在数列{an}中,a1=3,am+n=am+an(m,n∈N*),若a1+a2+a3+…+ak=135,则k=( )A.10B.9C.8D.76.(2021·山东淄博一模)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则“S2020>0,S2021<0”是“a1010a1011<0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题7.(2021·山东烟台模拟)已知等差数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,a7=3a5,则下列选项正确的是( )A.公差d>0B.a1<0C.当n=5时,Sn最小D.当Sn>0时,n的最小值为88.(2021·山东临沂一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是( )A.若Sn=n2-1,则{an}是等差数列B.若Sn=2n-1,则{an}是等比数列C.若{an}是等差数列,则S99=99a50D.若{an}是等比数列,且a1>0,q>0,则S2n-1·S2n+1>三、填空题9.(2021·河北唐山高三二模)设{an}是首项为2的等比数列,Sn是其前n项和.若a3a4+a5=0,则S6= . 10.(2021·山东胜利一中月考)在等差数列{an}中,a1+a7=12,当取得最小值时,a2020= . 11.(2021·湖南师大附中高三二模)在数列{an}中,a1=,且anan-1+1=2an-1,数列{bn}满足bn=,则{bn}的通项公式是bn= .
四、解答题12.(2021·福建龙岩模拟)已知数列{an}是等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若等比数列{bn}满足b1=a2,b2=a1+a2+a3,求数列{bn}的前n项和Sn.13.(2021·全国甲,文18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列{}是等差数列.证明:{an}是等差数列.14.(2021·河北张家口一模)已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=,S3=.(1)求an;(2)求证:≤Sn<1.
15.(2021·河北保定高三一模)已知数列{an}满足a1=,an+1=an-1.(1)求证:数列{an-2}是等比数列;(2)若数列{bn}满足bn=2n+2·an,求bn的最大值.16.(2021·山东烟台一模)在①a3+a5=14,②S4=28,③a8是a5与a13的等比中项这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.问题:已知{an}为公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,{bn}为等比数列,其前n项和Tn=2n+λ,λ为常数,a1=b1, . (1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)令cn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,求c1+c2+c3+…+c100的值.
专题突破练11 等差数列、等比数列1.B 解析:由已知得a1+a2+am-1+am=80.因为{an}为等差数列,所以a1+am=a2+am-1,所以a1+am=40,所以Sm==20m=2020,解得m=101.2.B 解析:由题意及等比数列的性质,可得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则=S3(S9-S6),即(36-9)2=9(S9-S6),解得S9-S6=81,即a7+a8+a9=81.3.A 解析:设等比数列{an}的公比为q,由题意,可知an>0,q>0.因为{an}为等比数列,所以a2a4==16,解得a3=4.所以a4+a5=a3(q+q2)=4(q+q2)=24,整理得q2+q-6=0,解得q=2.所以an=a3qn-3=4×2n-3=2n-1.4.B 解析:依题意可得,他从第一天开始每天跑步的路程(单位:千米)依次成等差数列,且首项为8,公差为0.5,设经过n天后他完成健身计划,则8n+200,整理得n2+31n-800≥0.因为函数f(x)=x2+31x-800在[1,+∞)上为增函数,且f(16)<0,f(17)>0,所以n≥17,即小林完成计划至少需要17天.5.B 解析:令m=1,由am+n=am+an,得an+1=a1+an,即an+1-an=a1=3,所以{an}是首项为3,公差为3的等差数列,所以an=3+3(n-1)=3n.所以a1+a2+a3+…+ak==135,整理得k2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍去).6.B 解析:依题意,若S2020>0,S2021<0,则=1010(a1010+a1011)>0,即a1010+a1011>0,=2021a1011<0,即a1011<0,所以a1010>0,所以a1010a1011<0,充分性成立.当a1010<0,a1011>0时,满足a1010a1011<0,不能推出S2020>0,S2021<0,必要性不成立.故“S2020>0,S2021<0”是“a1010a1011<0”的充分不必要条件.7.ABD 解析:因为a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d,又等差数列{an}是递增数列,所以d>0,所以a1<0,故A,B正确.因为Sn=n2+n=n2-n=,所以当n=3或n=4时,Sn最小,故C错误.令Sn=n2-n>0,解得n<0或n>7,又n∈N*,所以当Sn>0时,n的最小值为8,故D正确.8.BC 解析:对于A选项,因为Sn=n2-1,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,当n=1时,a1=S1=0,而a1=0不满足an=2n-1,故A错误.对于B选项,因为Sn=2n-1,所以当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,又a1=1满足an=2n-1,所以an=2n-1,所以=2,所以{an}是等比数列,故B正确.对于C选项,因为{an}是等差数列,所以S99==99a50,故C正确.对于D选项,由已知得当n=1时,S1·S3-(1+q+q2)-(1+q)2=-q<0,所以当n=1时,S2n-1·S2n+1<,故D错误.9 解析:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,则a1q2·a1q3+a1q4=0,将a1=2代入得2q+1=0,即q=-,所以S6=10.6 解析:设等差数列{an}的公差为d.
由等差中项的性质,得a1+a7=2a4=12,解得a4=6.所以=(6-d)2+62+(6+d)2=2d2+108.当d=0时,取得最小值,此时a2020=a4=6.11.n- 解析:∵anan-1+1=2an-1,∴bn-bn-1==1,又b1==-,∴数列{bn}是首项为-,公差为1的等差数列,∴bn=-+n-1=n-12.解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3=-6,a6=0,所以a1+2d=-6,a1+5d=0,解得a1=-10,d=2.所以an=-10+(n-1)·2=2n-12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2=a1+a2+a3=3a2,b1=a2=2×2-12=-8,所以q==3,所以Sn==4(1-3n).13.证明∵{}是等差数列,a2=3a1,,即数列{}的公差为+(n-1)=n,即Sn=n2a1.当n≥2时,Sn-1=(n-1)2a1,则an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1.当n=1时,a1=(2×1-1)a1,符合上式,∴an=(2n-1)a1,n∈N*.∴an+1-an=2a1,∴{an}是等差数列.14.(1)解设等比数列{an}的公比为q(q<1).因为a2=,S3=,所以q=,即2q2-5q+2=0,解得q=或q=2(舍去).所以an=(2)证明由(1)知a1=,q=,所以Sn==1-因为y=在R上为减函数,且y=>0恒成立,所以当n∈N*时,0<,所以1-<1,即Sn<1.15.(1)证明因为an+1-2=an-3=(an-2),a1-2=-,所以{an-2}是以-为首项,以为公比的等比数列.(2)解由(1)得an-2=-n-1=-,所以bn=2n+2·an=2n+3-14×3n-1.因为bn+1-bn=-14×3n+2n+4+14×3n-1-2n+3=2n+3-28×3n-1<2n+3-3n+2=8×2n-9×3n<9(2n-3n)<0,所以bn+1
