2022年中考数学专题复习：圆试题精选汇编一．选择题（共12小题）1．（2021•安溪县模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C、D将AB分成相等的三段弧，点P在AC上，已知点Q在AB上且∠APQ＝110°，则点Q所在的弧是（　　）A．APB．PCC．CDD．DB2．（2021•惠安县模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD平分∠BAC，交⊙O于D，若BC＝4，则CD的长为（　　）A．2B．22C．3D．323．（2021•泉州模拟）如图，在6×6的网格图中，⊙O经过格点A、B、D，点C在格点上，连接AC交⊙O于点E，连接BD、DE，则sin∠BDE的值为（　　）A．12B．55C．255D．24．（2021•永春县模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（　　）A．40°B．60°C．80°D．100°第25页共25页 5．（2020•晋江市模拟）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠ACB的度数为（　　）A．25°B．28°C．30°D．35°6．（2020•永春县模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O，交AB的延长线于点D，交AC于点E，连接OD，OE，若∠DOE＝α，则∠A的度数为（　　）A．αB．90°﹣αC．α2D．90°−α27．（2020•惠安县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC的中点O为圆心，OB的长为半径作半圆交AC于点D，若AD＝1，DC＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）A．4π−334B．23π−333C．3π−232D．3π﹣238．（2020•丰泽区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（　　）A．18°B．27°C．36°D．54°9．（2020•泉州二模）如图，AB切⊙O于点B，OA与⊙O相交于点C，AC＝CO，点D为BC上任意一点（不与点B、C重合），则∠BDC等于（　　）第25页共25页 A．120°B．130°C．140°D．150°10．（2020•洛江区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠BCD＝30°，则∠ABD的大小为（　　）A．60°B．50°C．40°D．20°11．（2020•泉州模拟）如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AB、AD，若AD=2，则半径R的长为（　　）A．1B．2C．22D．1212．（2020•安溪县一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，∠CAB＝20°，则∠DCB的度数为？（　　）A．70°B．50°C．40°D．20°二．填空题（共5小题）13．（2021•洛江区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2a为半径作圆弧BD，再分别以E、F为圆心，a为半径作圆弧BO、OD，则图中阴影部分的面积为　　．第25页共25页 14．（2021•南安市模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠B+∠D＝　　°．15．（2021•惠安县模拟）如图，正六边形ABCDEF的面积是243，则对角线AD的长是　　．16．（2021•泉州模拟）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2cm，则该圆的内接正三角形ACE的边长为　　cm．17．（2021•永春县模拟）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为2，则该莱洛三角形的周长为　　．第25页共25页 三．解答题（共7小题）18．（2021•安溪县模拟）如图，已知AB，CD为⊙O的两条直径，DF为切线，过AO上一点N作MN⊥DF于M，连结DN并延长交⊙O于点E，连结CE．（1）求证：△DMN∽△CED；（2）点G在⊙O上，且与点E关于直线AB对称，连结GN，若∠DNO＝45°，⊙O的半径为2，判定DN2+GN2的值是否为定值？如果是，请求出DN2+GN2的值；如果不是，请说明理由．19．（2021•洛江区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，O为AB上一点，⊙O经过点B、D，且与BC、AB交于点E、F，连接DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinA=35，AB＝10，求⊙O的半径；（3）求证：BD2＝AB•BE．20．（2021•南安市模拟）如图，半圆O的半径为2，弦AB的长度为23，点C是劣弧AB上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠ABO的度数；第25页共25页 （2）当点C沿着劣弧AB从点A开始，顺时针运动到点B时，求△CDE的外心P所经过的路径的长度；（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22=98时，求AC2的值．21．（2021•惠安县模拟）已知四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD．（1）如图1，求证：点A到∠C两边的距离相等；（2）如图2，已知BD与AC相交于点E，BD为⊙O的直径．①求证：tan∠CAD=DEBE；②若∠CBD＝30°，AD=32，求AE的长．22．（2021•永春县模拟）如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．（1）求AD的长度．（2）已知DE=185，求BF的长度．（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．23．（2021•泉州模拟）如图1，在⊙O中，点A是优弧BAC上的一点，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，连接BI．（1）求证：OD⊥BC；第25页共25页 （2）连接DB，求证：DB＝DI；（3）如图2，若BC＝24，tan∠OBC=512，当B、O、I三点共线时，过点D作DG∥BI，交⊙O于点G，求DG的长．24．（2021•泉州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若OA＝1，求弦AC的长．第25页共25页 参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：∵点C、D将AB分成相等的三段弧，∴AC=CD=DB，∴∠CAB＝∠DBA=13×180°＝60°，当点Q与点D重合时，∠APQ＝180°﹣60°＝120°，当点Q在DB时，∠APQ＜120°，因此当∠APQ＝110°，点Q所在的弧是DB，故选：D．2．【解答】解：连接BD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD=CD，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形，∴CD=22BC＝22，故选：B．3．【解答】解：连接OD与AC相交与点F，在Rt△AOF中，OF＝1，AO＝2，∴AF=OF2+AO2=12+22=5，∵∠BDE＝∠A，第25页共25页 ∴sin∠BDE＝sin∠OAF=OFAF=15=55，故选：B．4．【解答】解：∵弦CD⊥AB，∴BD=BC，∴∠BOD＝∠BOC＝2∠A＝2×20°＝40°，∴∠COD＝40°+40°＝80°．故选：C．5．【解答】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB=12∠AOP＝30°，故选：C．6．【解答】解：连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠DOE＝α，第25页共25页 ∴∠DCE=12α，∴∠A＝90°−12α．故选：D．7．【解答】解：连接OD、BD、作DE⊥BC于点E，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠BCD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DBC，又∵∠ADB＝∠BDC，∴△ADB∽△BDC，∴ADBD=BDCD，∵AD＝1，DC＝3，∴1BD=BD3，∴BD=3，∴BC=BD2+CD2=23，∴∠DCB＝30°，OD＝OC=3，∴∠DOC＝120°，∵DE⊥BC，∴DE＝1.5，∴阴影部分的面积是：120π×(3)2360−3×1.52=π−334=4π−334，故选：A．8．【解答】解：连接BC，∵BP是⊙O的切线，∴AB⊥BP，∴∠ABP＝90°，第25页共25页 ∴∠BAP＝90°﹣∠P＝54°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAP＝36°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝36°，故选：C．9．【解答】解：∵AB切⊙O于点B，∴∠ABO＝90°，∵AC＝OC＝OB，∴OB=12AO，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，如图，优弧BC上任取一点E，连接CE，BE，则∠E=12∠BOC＝30°，∴∠BDC＝180°﹣∠E＝150°，故选：D．10．【解答】解：连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，第25页共25页 ∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠BCD＝30°，∴∠ABD＝60°，故选：A．11．【解答】解：∵弦AC＝BD，∴AC=BD，∴BC=AD，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；如图，连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD=2R，∵AD=2，∴R＝1，故选：A．12．【解答】解：连接BD，如图，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠CAB＝20°，∴∠DCB＝90°﹣20°＝70°．故选：A．二．填空题（共5小题）第25页共25页 13．【解答】解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝a，∴OB=OD，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD=90⋅π⋅(2a)2360−12×2a×2a＝πa2﹣2a2．故答案为：πa2﹣2a2．14．【解答】解：连接OD、OA、OB、OC，∵OA＝OD＝OB＝OC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝102°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣90°﹣102°，∴2∠2+2∠3+2∠5＝258°，∴∠2+∠3+∠5＝129°，∵∠OBP＝90°，∴∠PBC+∠ADC＝∠2+∠3+∠5+∠OBP＝129°+90°＝219°，故答案为：219．15．【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，第25页共25页 ∵正六边形ABCDEF的面积是243，∴6×12x2×32=243，解得x＝4连接AC，∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝∠BAF＝120°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∵∠BAD＝∠FAD＝60°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2×4＝8，故答案为：8．16．【解答】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OM＝OC•sin∠OCM，∴OC=OMsin60°=433（cm），∵∠OCN＝30°，∴ON=12OC=232（cm），第25页共25页 ∴CE＝2CN＝4（cm）．故答案为4．17．【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×60π×2180=2π．故答案为：2π．三．解答题（共7小题）18．【解答】证明：（1）∵DF为⊙O的切线，∴DF⊥CD，∵NM⊥DF，∴NM∥CD，∴∠MND＝∠EDC，∵CD为⊙O的直径，NM⊥DF，∴∠DEC＝∠NMD＝90°，∴△DMN∽△CED；（2）解：连接GE，CG，OC，∵G为点E关于AB对称点，∴AO垂直平分EG，∴GN＝EN，∠GNA＝∠ENA，∵∠DNO＝45°，∴∠ENA＝45°，∴∠GNE＝90°，∴∠GND＝180°﹣90°＝90°，∴△GND是直角三角形，∴DN2+GN2＝DG2，∵△EGN是等腰直角三角形，∴∠GEN＝45°，第25页共25页 ∴∠C＝∠GEN＝45°，∵OG＝OC，∴∠CGO＝∠C＝45°，∴∠GOD＝90°，∴△GOD是直角三角形，∵OD＝2，∴DG2＝OG2+OD2＝22+22＝8，∴DN2+GN2＝DG2＝8．19．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠DBE，∴∠ODB＝∠DBE，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝ABsinA＝10×35=6，设⊙O的半径r，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴AOAB=ODBC，∴10−r10=r6，解得：r=154，第25页共25页 ∴⊙O的半径为154；（3）证明：如图，连接EF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BEF＝90°＝∠C，∴EF∥AC，∴∠BFE＝∠A，∵∠BFE＝∠BDE，∴∠A＝∠BDE，∵∠ABD＝∠BDE，∴△ABD∽△DBE，∴ABBD=BDBE，∴BD2＝AB•BE．20．【解答】解：（1）如图，过点O作OF⊥AB于F．∵OA＝OB＝2，OF⊥AB，∴AF＝FB=12AB=3，∠OFB＝90°，∴cos∠ABO=BFBO=32，∴∠ABO＝30°；（2）如图，连接OC．取OC的中点P，第25页共25页 ∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，∴OD⊥AC，OE⊥CB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴∠ODC+∠OEC＝180°，∴O，D，C，E四点共圆，∴OC是直径，∴OC的中点P是△CDE的外接圆的圆心，∴OP=12OC＝1，∴点P的运动路径的长：120×π×1180=2π3；（3）如图，若AC＜BC，连接OC交AB于Q，过点O作OF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G．∵AD＝CD，CE＝EB，∴DE∥AB，AB＝2DE，∴△CDE∽△CAB，∴S△CDES△CAB=（DEAB）2=14，∴S△ABC＝4S2，∵S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，∴S四边形ODCE=12S四边形OACB，∴S1+S2=12（4S2+3）＝2S2+32，∴S1＝S2+32，∵S12﹣S22=98，第25页共25页 ∴S22+3S2+34−S22=98，∴S2=38，∴S△ABC=32，即32=12×AB×CG，∴CG=12，∵OF⊥AB，CG⊥AB，∴OF∥CG，∴△CGQ∽△OFQ，∴CGOF=CQOQ=12，∴CQ=13×2=23，OQ=23×2=43，∴QF=OQ2−OF2=OQ2−(OB2−BF2)=73，∴QG=76∴GF=72，即AG＝AF﹣GF=3−72，∴AC2=AG2+CG2=(3−72)2+(12)2=5−21，若AC＞BC时，同理可得AC2=5+21，综上所述，AC2=5−21或AC2=5+21．21．【解答】证明：（1）如图1，连接AC，∵AB＝AD，∴AB=AD，∴∠ACB＝∠ACD，第25页共25页 ∴点A到∠C两边的距离相等；（2）①∵CD=CD，∴∠CAD＝∠CBD，∵BD为直径，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CAD＝tan∠CBD=CDBC，如图2，过点D作DQ∥EC，交BC延长线于点Q，∴∠ACB＝∠Q，∠ACD＝∠CDQ，又由（1）知：∠ACB＝∠ACD，∴∠CDQ＝∠Q，∴CD＝CQ，∵CE∥DQ，∴DEBE=CQBC∴DEBE=CDBC，∴tan∠CAD=DEBE，②如图，由（2）①得：∠CAD＝∠CBD＝30°，则tan∠CAD=DEBE=33，设DE＝a，则BE=3a，∵BD为直径，第25页共25页 ∴∠BAD＝90°，∵AB＝AD＝32，∴BD＝6，∴a+3a＝6，解得：a＝33−3，∴DE＝33−3，BE＝9﹣33，又∵∠BCD＝90°，∴CD＝BD•sin∠CBD＝3，∵∠BDC＝∠BAC，∠ABD＝∠ACD，∴△BAE∽△CDE，∴DEAE=CDAB，∴AE＝（33−3）×323=36−32．22．【解答】解：（1）如图，连接BD，在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵⊙O半径为5，∴BD＝10，∴AD=BD2−AD2=6．（2）如图，过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N，在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，∴∠EMG＝∠D＝90°，∴四边形ADMN是矩形，第25页共25页 ∴∠EGM＝∠MEG＝90°，∴∠AED+∠MEG＝90°，∴∠EGM＝∠AED，在△AEG中，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠EGF＝45°，∴AE＝EG，∴△AED≌△EGM（AAS），∴MG＝DE=185，EM＝AD＝6，∴AN＝DE+EM=485，NG＝MN﹣MG=125，∵MN∥AD∥BC，∴△ABF∽△ANG，∴BFNG=ABAN，解得BF＝2．（3）△AEF的面积存在最小值，理由如下：过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r，∵∠EAF＝45°，∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°，∴EP=2r，IQ=22r，∵IA+IQ≥AD，∴r+22r≥6，∴r≥12﹣62，∴S△AEF=12AB•EP＝42r，∴S△AEF≥42（12﹣62），∴S△AEF≥482−48，第25页共25页 ∴△AEF的面积存在最小值，最小值482−48．23．【解答】（1）证明：如图1中，∵I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD=CD，∴OD⊥BC．（2）证明：如图1中，连接BD．∵I是△ABC的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，∵∠DIB＝∠BAI+∠ABI，∠DBI＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAI，∴∠DBI＝∠DIB，∴DB＝DI.（3）解：如图2中，连接OG，过点O作OH⊥DG于H．∵OD⊥BC，∴BE＝EC＝12，∵tan∠OBE=512=OEBE，∴OE＝5，∵DG∥OB，∴∠BOE＝∠ODH，∵∠BEO＝∠OHD＝90°，OB＝OD，∴△OBE≌△ODH（AAS），∴OE＝DH＝5，∵OH⊥DG，∴DH＝HG＝5，∴DG＝10．第25页共25页 24．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵OA＝OC，∠A＝30°，∴∠A＝∠ACO＝30°，∵CA＝CP，∴∠A＝∠P＝30°，∴∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠P＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠OCP＝∠ACP﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°，∴OC⊥CP，∴CP是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BC，第25页共25页 ∵OA＝OB＝1，∴AB＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴BC=12AB＝1，∴AC=AB2−BC2=3．第25页共25页