2019-2020学年北京市某校高三（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题)1.设为虚数单位，则复数＝′的模＝（）A.B.C.D.2.已知全集＝，若集合＝‴‴′‴൏，则＝（）A.‴‴൏或‴B.‴‴൏或‴tC.‴൏‴D.‴‴3.命题‴t൏，‴t，则￢是（）A.‴൏，‴൏B.‴t൏，‴൏൏൏C.‴t൏，‴D.‴൏，‴4.若，是两个非零的平面向量，则“＝”是“′＝൏”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件′5.已知＝ln，＝sin，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A.最长棱的棱长为B.最长棱的棱长为C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形7.已知函数‴＝ln‴′，‴＝′‴‴，用mini表示i，中的最小值，设函数‴＝min‴‴，则函数‴的零点个数为A.B.C.D.8.已知抛物线＝‴，点i൏，为坐标原点，若在抛物线上存在一点，使得＝൏，则实数i的取值范围是（）试卷第1页，总8页 A.B.C.൏D.二、填空题)‴9.双曲线′的离心率是________；渐近线方程是________．10.若等比数列满足＝，且公比＝，则＝________．11.在䳌中，＝，，䳌＝൏，则＝________；䳌的面积为________．12.已知圆的圆心位于第二象限且在直线＝‴上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程为________．13.已知函数‴sin‴′cos‴的一条对称轴为‴′‴‴൏，且函数‴在‴‴上具有单调性，则‴‴的最小值为________．14.函数‴＝‴′‴，已知‴的最小值为，则点到直൏线‴′൏距离的最小值为________．三、解答题)15.设函数‴sin‴cos‴′‴t൏的图象上相邻最高点与最低点的距离为．Ⅰ求函数‴的周期及的值；Ⅱ求函数‴的单调递增区间．16.某校高三班共有人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生，理化历，史地政．其中，选择理化生的共有人，选择理化历的共有人，其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取人，调查他们每天完成作业的时间．Ⅰ应从这三个组合中分别抽取多少人？Ⅱ若抽出的人中有人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在小时以上，人在小时以内．先从这人中随机抽取人进行座谈．用表示抽取的人中每天完成作业的时间超过小时的人数，求随机变量的分布列和数学期望．17.在四棱锥′䳌中，平面䳌平面，底面䳌为梯形，䳌，，为中点，过，䳌，的平面与交于䳌൏，Ⅰ求证：为中点；Ⅱ求证：平面；Ⅲ为䳌中点，求二面角′′䳌的大小．试卷第2页，总8页 18.已知函数‴‴′‴‴′．Ⅰ当＝时，求函数‴在൏上的单调区间；Ⅱ求证：当൏时，函数‴既有极大值又有极小值．‴19.已知椭圆tt൏的左右顶点分别为，䳌，左焦点为，为原点，点为椭圆上不同于，䳌的任一点，若直线与䳌的斜率之积为′，且椭圆经过点Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ若点不在坐标轴上，直线，䳌交轴与，两点；若直线与过点为直径的圆相切，切点为，问切线长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．20.定义：给定整数，如果非空集合满足如下个条件：①；②；③‴，，若‴，则‴′．则称集合为“减集”Ⅰ＝是否为“减൏集”？是否为“减集”？Ⅱ证明：不存在“减集”；Ⅲ是否存在“减集”？如果存在，求出所有的“减集”；如果不存在，请说明理由．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2019-2020学年北京市某校高三（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题1.B2.A3.B4.C5.A6.D7.C8.B二、填空题9.,‴10.൏11.,12.‴′13.൏14.三、解答题15.（1）‴sin‴cos‴′‴t൏＝sin‴′cos‴＝sin‴′，则函数的周期，振幅＝，∵图象上相邻最高点与最低点的距离为．∴＝，即，即，即，得＝，得．故函数‴的周期为，．（2）由Ⅰ知‴＝sin‴′，试卷第4页，总8页 由′‴′，，得′‴，，即函数的单调递增区间为′，．16.（1）某校高三班共有人，在“六选三”时，选择理化生的共有人，选择理化历的共有人，其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取人，调查他们每天完成作业的时间．应从选择理化生的组合中抽取：人，从选择理化历的组合中抽取：人，′′从选择史地政的组合中抽取：人．（2）抽出的人中有人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在小时以上，人在小时以内．先从这人中随机抽取人进行座谈．用表示抽取的人中每天完成作业的时间超过小时的人数，则的可能取值为，，，＝，＝，＝，∴随机变量的分布列为：∴数学期望17.（1）证明：∵底面䳌为梯形，䳌，为中点，过，䳌，的平面与交于，∴平面䳌平面＝，∵䳌，䳌平面，平面，∴䳌平面，∵平面，且平面䳌，∴䳌，∴，∵为中点，∴为中点．（2）证明：在平面中过点作，交于，∵平面䳌平面，平面，平面䳌平面＝，∴平面䳌，∵平面䳌，∴，又，且＝，∴平面．试卷第5页，总8页 Ⅲ∵平面，∴，又，，以为原点，，，所在直线分别为‴，，轴，建立空间直角坐标系，∴൏൏൏，൏൏，൏൏，䳌൏，൏′，∵为䳌中点，∴൏，′൏，′൏，设平面的法向量‴，′‴൏则，取‴，得，′‴൏平面䳌的法向量i൏൏，设二面角′′䳌的大小为，i则cos．∴＝．i∴二面角′′䳌的大小为．18.（1）当＝，且‴t൏时，‴‴′‴‴′，所以‴＝‴′‴＝‴′‴′，令‴＝൏，得‴＝，或‴＝；当‴变化时，‴，‴的变化情况如下表：‴൏‴+൏-൏+‴↗极↘极↗大小值值所以‴在൏上的单调递增区间是൏，，单调递减区间是；（2）当൏时，若‴൏，则‴‴′‴′‴′，所以‴＝‴′‴′＝‴‴′′；因为‴൏，൏，所以‴t൏；若‴t൏，则‴‴′‴‴′，试卷第6页，总8页 所以‴＝‴′‴；令‴＝൏，＝′t൏，所以有两个不相等的实根‴，‴，且‴‴൏；不妨设‴t൏，所以当‴变化时，‴，‴的变化情况如下表：‴൏൏‴‴‴′൏‴+无-൏+定义‴↗极↘极↗大小值值因为函数‴图象是连续不断的，所以当൏时，‴即存在极大值又有极小值．19.（1）设‴，由题意得′൏，䳌൏，∴䳌‴，‴′‴′‴∴′而得：①，‴′又过∴②，所以由①②得：＝，＝；‴所以椭圆的方程：；i（2）由Ⅰ得：′൏，䳌൏设i，，则直线的方程‴，令‴＝൏，则，所以的坐标൏，iii′′直线䳌的方程：‴′，令‴＝൏，，所以坐标൏，i′i′i′∵∴，∴＝＝＝i′所以切线长．20.（1）∵，，＝，′൏，∴是“减൏集”同理，∵，，＝，′，∴不是“减集”．（2）假设存在是“减集”，则若‴，那么‴′，当‴＝‴′时，有‴′′＝，则‴，一个为，一个为，所以集合中有元素，但是，′，与是“减集”，矛盾；当‴‴′时，则‴＝‴′或者‴＝‴′ii，若‴＝‴′，则有‴′′＝，因此‴，一个为，一个为，Ⅲ存在“减集”．．①假设，则中除了元素以外，必然还含有其它元素．假设，，而′，因此．假设，，而′，因此．因此可以有＝．试卷第7页，总8页 假设，，而′，因此．假设，，′，＝，′，因此．因此可以有＝．以此类推可得：＝′，，以及的满足以下条件的非空子集：，，，……．试卷第8页，总8页