中考数学复习方法技巧：45°角与正切值（含答案）方法技巧专题九　45°角与正切值一、选择题1．如图F9－1，直线y＝x＋3交x轴于A点，交y轴于B点．将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y＝x＋3上．若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为(　　)图F9－1A.B.C.D.二、填空题2．如图F9－2，△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝91，CD＝35，则AD的长度为________．图F9－23．如图F9－3，在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，0)，B(0，2)，点C在第一象限，∠ABC＝135°，AC交y轴于D，CD＝3AD，反比例函数y＝的图象经过点C，则k的值为________．图F9－3图F9－44．[2017·金华]如图F9－4，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y＝的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为________．三、解答题5．如图F9－5，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2，.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q.,(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的长．图F9－56．如图F9－6，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解折式；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；(3)在(2)的条件下，连结BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．图F9－6,7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C.其中A(1，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图F9－7，若点P在抛物线上运动(点P异于点A)，当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．图F9－78．如图F9－8，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若存在点P，使∠PCF＝45°，求点P的坐标．图F9－89．如图F9－9，抛物线y＝x2－4x＋3与坐标轴交于A、B、C三点，点P在抛物线上，PD⊥BC于点D，垂足D,在线段BC上．若＝，求点P的坐标．图F9－9参考答案,1．A　[解析]过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，∵N在直线y＝x＋3上，∴设N的坐标是(x，x＋3)，则DN＝x＋3，OD＝－x.y＝x＋3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝－4，∴A(－4，0)，B(0，3)，即OA＝4，OB＝3，在△AOB中，由勾股定理得AB＝5，∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB＝AB×OC，∴3×4＝5OC，∴OC＝.∵在Rt△NOM中，OM＝ON，∠MON＝90°，∴∠MNO＝45°，∴sin45°＝＝，∴ON＝，在Rt△NDO中，由勾股定理得ND2＋DO2＝ON2，即(x＋3)2＋(－x)2＝()2，计算得出x1＝－，x2＝，∵N在第二象限，∴x只能是－，x＋3＝，即ND＝，OD＝，tan∠AON＝＝.所以A选项是正确的．2．169　3.94．(－1，－6)　[解析]如图，过点A作AH⊥AB交x轴于点H，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AH，垂足分别为E，F.设AB的解析式为y＝kx＋b，把点A(2，3)和点B(0，2)分别代入，得,解得∴y＝x＋2.令y＝0，则x＋2＝0，得x＝－4.∴G(－4，0)，∴OG＝4，OB＝2.∵点A(2，3)，OG＝4，可得AG＝3.∵∠BGO＝∠AGH，∠GOB＝∠GAH＝90°，∴△BOG∽△HAG，∴＝，即＝，∴AH＝.由△AGH的面积，可得×3GH＝AG·AH，即3GH＝3×，得GH＝.∴OH＝GH－OG＝.∵AH⊥AB，∠GAC＝45°，∴AD平分∠GAH.∵DE⊥AB，DF⊥AH，∴DE＝DF＝AF.由△AGH的面积，可得DE·AG＋DF·AH＝AG·AH，即(3＋)DF＝×3×，∴DF＝，∴AF＝，FH＝－＝.∴DH＝＝，∴OD＝OH－DH＝－＝1，∴D(1，0)．设直线AD的解析式为y＝mx＋n，把点A(2，3)，D(1，0)代入，得解得∴y＝3x－3.把点A(2，3)代入y＝，得y＝.由得或(舍去)，∴点C的坐标为(－1，－6)．5．解：(1)证明：∵△ABP′是由△ABP顺时针旋转90°得到，∴AP＝AP′，∠PAP′＝90°，,∴△APP′是等腰直角三角形．(2)∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′＝45°，PP′＝，又∵BP′＝，BP＝2，∴PP′2＋BP2＝BP′2，∴∠BPP′＝90°.∵∠APP′＝45°，∴∠BPQ＝180°－∠APP′－∠BPP′＝45°.(3)过点B作BE⊥AQ于点E，则△PBE为等腰直角三角形，∴BE＝PE，BE2＋PE2＝PB2，∴BE＝PE＝2，∴AE＝3，∴AB＝＝，则BC＝.∵∠BAQ＝∠EAB，∠AEB＝∠ABQ＝90°，∴△ABE∽△AQB，∴＝，即＝，∴AQ＝，∴BQ＝＝，∴CQ＝BC－BQ＝.6．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.,(2)∵点D(m，m＋1)在抛物线上，∴m＋1＝－m2＋3m＋4，即m2－2m－3＝0∴m＝－1或m＝3，∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．由(1)知OC＝OB，∴∠CBA＝45°.设点D关于直线BC的对称点为点E.∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，∴∠ECB＝∠DCB＝45°，∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3，∴OE＝1，∴E(0，1)，即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．(3)作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，由(1)有OB＝OC＝4，∴∠OBC＝45°.∵∠DBP＝45°，∴∠CBD＝∠PBA.∵C(0，4)，D(3，4)，∴CD∥OB且CD＝3，∴∠DCE＝∠CBO＝45°，∴DE＝CE＝.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，∴BE＝BC－CE＝，∴tan∠PBF＝tan∠CBD＝＝.设PF＝3t，则BF＝5t，OF＝5t－4，∴P(－5t＋4，3t)．∵P点在抛物线上，∴3t＝－(－5t＋4)2＋3(－5t＋4)＋4，∴t＝0(舍去)或t＝，∴P(－，)．7．解：(1)因为抛物线经过点A(1，0)，C(0，－3)，对称轴为直线x＝2，,所以可列方程组解得所以抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3.(2)如图所示，延长直线CP交x轴于点Q.因为点B(3，0)，C(0，－3)，所以OB＝OC，即∠OCB＝∠OBC＝45°，因为直线CP经过点C，所以可设直线CP的方程为y＝kx－3.令∠OCA＝α，则∠ACB＝∠OCB－α＝45°－α，因为∠BCP＝∠ACB＝45°－α，所以∠OQC＝∠OBC－∠BCP＝45°－(45°－α)＝α，所以∠OCA＝∠OQC，又因为∠QOC＝∠COA，所以△AOC∽△COQ，故＝＝，所以OQ＝3OC＝9，即点Q的坐标为(9，0)，因为直线CP经过点Q，所以k×9－3＝0，解得k＝，所以直线CP的解析式为y＝x－3.8．解：(1)由抛物线过点C(0，2)，D(3，)，可得解得所以抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.(2)设P(m，－m2＋m＋2)．如图，当点P在CD上方且∠PCF＝45°时，作PM⊥CD于点M，CN⊥PF于点N，则△PMF∽△CNF，,∴＝＝＝2，∴PM＝CM＝2CF.∴PF＝FM＝CF＝×CN＝CN＝m.又∵PF＝－m2＋3m，∴－m2＋3m＝m.解得m1＝，m2＝0(舍去)，∴P(，)．当点P在CD下方且∠PCF＝45°时，同理可以求得另外一点为P(，)．9．解：令y＝0，则x2－4x＋3＝0，∴x1＝1，x2＝3，∴B(3，0)．当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°.连结CP，则tan∠PCD＝＝2，作PE⊥y轴于E，连接PC.∴∠BCE＝135°，过C点作CH∥x轴，作P点作PH∥y轴，两直线交于H点，CH交PD于G点，设CD的长为x，则PD＝2x，PG＝x，CE＝PH＝x，PE＝CH＝x＋x.∴tan∠PCE＝3.设CE＝a，则PE＝3a，∴P(3a，3＋a)，代入抛物线方程得3＋a＝9a2－12a＋3，∴a＝，∴P(，)．