湖南省名校联盟2022届高三入学摸底考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3.本卷命题范围：高考范围．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.已知复数z满足：，则（）A.B.C.D.2.集合，，则中的元素个数为（）A.2B.3C.4D.53.已知等差数列的通项公式为，则其前n项和的最大值为（）A.15B.16C.17D.184.已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5.已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（）A.B.C.D.6.已知文印室内有份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这份文件中再插入甲、乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（） A.B.C.D.7.将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则a＋b＝（）A2B.0C.＋1D.1－8.如图，在正方体中，M为中点，过且与平行的平面交平面于直线l，则直线l与AB所成角的余弦值是（）AB.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则（）A.这组数据的众数为2B.这组数据的极差为3C.这组效据的平均数为2D.这组数据的中位数为10.已知a＞b＞1＞c＞0，则（）A.B.C.D.11.已知，则（）A.a＞bB.a＜bC.b＞cD.c＞a12.抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（－2，0），过焦点的直线m 与抛物线C交于A，B两点，则（）A.p＝2B.C.直线AQ与BQ的斜率之和为0D.准线l上存在点M，若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．13.向量，向量与的夹角为，则cos＝________．14.双曲线的一条渐近线与垂直，右焦点为，则以原点为圆心，为半径的圆的面积为________．15.如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________．16.已知：，且，则________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b，且． （1）求C；（2）△ABC内有点M，∠CMA＝∠CMB，且BM＝3AM，直线CM交AB于点Q，求tan∠CQA．18.已知：数列满足．（1）求；（2）求满足的最大的正整数n的值．19.四棱锥中，，，，，，平面平面．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．20.已知函数．（1）讨论单调性；（2）若在上有零点，求实数a的取值范围．21.有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望． 22.椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．湖南省名校联盟2022届高三入学摸底考试数学答案版考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3.本卷命题范围：高考范围．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.已知复数z满足：，则（）A.B.C.D.答案：C2.集合，，则中的元素个数为（）A.2B.3C.4D.5答案：A3.已知等差数列的通项公式为，则其前n项和的最大值为（）A.15B.16C.17D.18答案：B 4.已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.答案：C5.已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（）A.B.C.D.答案：B6.已知文印室内有份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这份文件中再插入甲、乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（）A.B.C.D.答案：B7.将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则a＋b＝（）A2B.0C.＋1D.1－答案：C8.如图，在正方体中，M为中点，过且与平行的平面交平面于直线l，则直线l与AB所成角的余弦值是（）AB.C.D.答案：D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则（）A.这组数据的众数为2B.这组数据的极差为3C.这组效据的平均数为2D.这组数据的中位数为答案：BC10.已知a＞b＞1＞c＞0，则（）A.B.C.D.答案：BCD11.已知，则（）A.a＞bB.a＜bC.b＞cD.c＞a答案：AC12.抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（－2，0），过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（）A.p＝2B.C.直线AQ与BQ的斜率之和为0D.准线l上存在点M，若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为答案：BCD三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．13.向量，向量与的夹角为，则cos＝________．答案：14.双曲线的一条渐近线与垂直，右焦点为 ，则以原点为圆心，为半径的圆的面积为________．答案：15.如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________．答案：816.已知：，且，则________．答案：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b，且．（1）求C；（2）△ABC内有点M，∠CMA＝∠CMB，且BM＝3AM，直线CM交AB于点Q，求tan∠CQA． 答案：（1）；（2）18.已知：数列满足．（1）求；（2）求满足的最大的正整数n的值．答案：（1）；（2）19.四棱锥中，，，，，，平面平面．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．答案：（1）证明见解析；（2）20.已知函数．（1）讨论单调性；（2）若在上有零点，求实数a的取值范围．答案：（1）当时，在R上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）21.有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望． 答案：（1）；（2）分布列见解析，.22.椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．答案：（1）；（2）证明见解析.