十校联盟2022届高三上学期开学摸底考试数学（理科）试题巢湖一中合肥八中淮南二中六安一中南陵中学舒城中学太湖中学天长中学屯溪一中宣城中学滁州中学池州一中阜阳一中灵璧中学宿城一中。本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集为R。集合4={x|00}B.{x|0c>bB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a11.已知抛物线C∶y2=2px（p>0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线1过点F，若C上恰存在3个不同的点到l的距离为，则C的准线方程为（ ）A.x=-1B.x=-2C.x=-3D.x=-412.若不等式对任意x>0恒成立，则正实数m的最大值为（ ）A.2B.eC.3D.e2第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填写在题中的横线上，）13.若直线l∶kx+y=0截圆（x-2）2+y2=4所得的弦长为2，则k的值为。
14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是。15.已知正项数列{an}满足，（n≥2，n∈N*），则。16.已知双曲线C∶（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点为P，直线F1P与y轴的交点为Q。且点P关于直线QF2的对称点在x轴上，则C的离心率为_。三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）已知命题p∶关于x的不等式（a>0且a≠1）的解集为{x|x≤-1或x≥3}；命题q∶函数的定义城为R。（I）若命题q为假命题，求实数a的取值范围；（II）若为真命题，求实数a的取值范围。18.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，（I）求角B的大小；（II）若△ABC的面积，求的值。19.（本小题满分12分）如图1，在平面四边形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB。沿着AC将△ACD折起来，使得平面
ACD⊥平面ABC，如图2.（I）求证∶BC⊥AD∶（II）求二面角A-DM-E的余弦值。20.（本小题满分12分）疫苗是全球最终战胜新冠肺炎疫情的关键，自觉接种疫苗，构筑防疫屏障，是公民应尽的责任。接种新冠疫苗后可能会有一些不良反应，这与个人的体质有关系。在接种新冠疫菌后的不良反应中，主要有发热、疲乏、头痛，接种部位出现红晕，肿胀、酸痛等表现为了解某地接种新冠疫苗后有不良反应与性别的关系，某机构随机抽取了该地区200名疫苗接种者进行调查，得到统计数据如下（不完整）；无不良反应有不良反应总计男性100y120女性x20n总计160m200（I）求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并判断是否有90%的把握认为有不良反应与性别有关；（II）用频率估计概率，现从该地区的疫苗接种者中随机抽取5人对疫苗接种进行独立评分，其中无不良反应记2分，有不良反应记-1分，记5人所得评分之和为X。求X的分布列和数学期望。附∶，其中n=a+b+c+d。P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63521.（本小题满分12分）
已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点。（I）求C的标准方程；（II）是否存在不过原点O的直线l∶y=kx+m与C交于P，Q两点，使得直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列、若存在，求k的值及m的取值范围；若不存在，请说明理由。22.（本小题满分12分）已知函数。（I）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（I）若a>1，探究f（x）在（-a，0）上的零点个数，并说明理由。2022届高三摸底考数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）题号123456789101112答案ABDACDADCDBB1.A由题意得，，∴，∴。故选A。2.B由题意得，，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（-1，1），位于第二象限。故选B。3.D若，则或a与β相交；若，则或或n与a相交，又n⊥β，a，β是两个不重合的平面，则a//β或a与β相交；若m⊥n，，则或n//a或n与a相交，又，a，β是两个不重合的平面，则a//β或a与β相交；若m//n，m⊥a，则n⊥a，又n⊥β，a，B是两个不重合的平面，则a//β。故选D。4.A设{an}的公比为q，∵，∴，解得。故选A。
5.C∵，∴，∴.∴，故选C。6.D由题意得，，∴f（x）为奇函数，故排除选项A、B；当时，sinx>0，，∴f（x）>0，故排除C。故选D。7.A∵，而，，∴，故选A。8.D由题意得，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9。若选取的3个数之和为偶数，则三个数都为偶数或两奇一偶。若三个数都为偶数，共有种方法；若三个数两奇一偶，共有种方法。综上，选取的3个数之和为偶数共有4+40=44种方法，则选取的3个数之和为偶数的概率为，故选D。9.C由题意得，。∵，f（x）的图象关于点中心对称，故①错误；∵，∴f（x）的图像关于直线对称，故②正确；当时，，∴f（x）在上单调递减，故③正确；当时，，∴，∴f（x）在上的最小值为-1，故④错误。故选C。10.D∵，∴要比较与的大小，即比较与4的大小，∵，∴，即ac，∴b>c>a。故选D。
11.B设直线l∶，设l1∶y=x+m与抛物线C相切，联立得，则，解得p=2m，且m>0，故两平行线间的距离，解得p=4，则所求准线方程为x=-2，故选B。12.B由题意得，，即，令f（x）=x+lnx，易知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，从而不等式转化为，则，即令，则，当01时，g'（x）>0，g（x）单调递增，则当x=1时，g（x）有最小值，即g（x）min=g（1）=e，则m的最大值为e，故选B。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填写在题中的横线上。）13.由题意得，圆心（2，0）到直线kx+y=0的距离为，则，即，解得.14.如图，原几何体是三棱锥ABCD，则该几何体的体积是15、∵（n≥2，n∈N*），∴，
∵，∴，∴，∴∴16.∵以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点为P，∴，故由对称性可知，∴，，又∵，∴。三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）（I）若命题为假命题，则命题q为真命题。当a=0时，f（x）=lg（-2x+2），定义域为，不符合题意；当a≠0时，若f（x）的定义城为R，则的解集为R，∴，解得或，综上，实数a的取值范围为（II）当命题P为真命题时，∵的解集为{x|x≤-1或x≥3}，∴a>1∵pq为真命题，∴P，q都为真命题。由（I）知，命题q为真命题时，或。∴实数a的取值范围为（1，+∞）。18.（本小题满分12分）（I）∵，∴2c-2bcosA=a，由正弦定理得2sinC=sinA+2sinBcosA，∴2sin（A+B）=sinA+2sinBcosA，∴2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，∴，又B∈（0，π），∴（II）∵，∴ac=8.由余弦定理得。又，ac=8，∴∴19.（本小题满分12分）（I）∵平面ACD⊥平面ABC。平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD（II）根据题意，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立如图的空间直角坐标系∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，∴BC=2，AC，CD=，CM=AC-AM=。∴∴，设平面MDE的法向量为n=（x，y，z），则，即，令，得y=3，z=-1，∴由（I）知，平面MAD的一个法向量为=（0，2，0），∴∴二面角A-DM-E的余弦值为
20.（本小题满分12分）（I）由题意得，m=200-160=40，x=160-100=60，n=x+20=60+20=80，y=m-20=20.∴∴没有90%的把握认为有不良反应与性别有关。（II）用频率估计概率，接种疫苗后有不良反应的概率是，无不良反应的概率是，X的取值是-5，-2，1，4，7，10，则∴X的分布列为X-5-214710P∴21.（本小题满分12分）（I）设C的标准方程为（a>b>0），
由题意得，，解得，∴C的标准方程为（II）联立，得（m≠0），设，则，∴∵OP，PQ，OQ的斜率成等比数列，∴，∴，∴，∴，∴，解得∵，∴，解得，∵，∴，解得m≠+1.综上，，m的取值范围为22.（本小题满分12分）（I）由题意得，，则而f（1）=-1，f'（1）=e-1，∴所求切线方程为y+1=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x-e。（II）令f（x）=0，即，令，当x∈（-a，0）时，
令，x∈（-a，0），则单调递增，且，φ'（0）=a>0.∴在（-a，0）上存在唯一零点，记为x0。且x∈（-a，x0）时，；x∈（x0，0）时，φ'（x）>0，∴在（-a，x0）上单调递减，在（x0，0）上单调递增。∵a>1，∴，，∵，∴，∴在（-a，x0）上存在唯一零点x1，且在（x0，0）上恒小于0，∴当x∈（-a，x0）时，；当x∈（x1，0）时，，∴h（x）在（-a，x1）上单调递增，在（x1，0）上单调递减，且h（0）=lna>0，∴h（x）在（-a，0），上至多只有一个零点。令，x∈（-a，0），则，∴，∴，取，则有，又，∴由零点存在定理可得，h（x）在（-a，0）上存在零点，∴函数f（x）在（-a，0）。上的零点个数为1.
