全等三角形中的辅助线做法及常见题型1．如图，在中，，．是的中点，且，点在上，点在上（1）求证：；（2）若，求四边形的面积．【详解】（1）证明：，，是等腰直角三角形，，为中点，，平分，．．，，，， 在和中，，，．（2），，∴S四边形CEDF，是的中点，．∴S四边形CEDF=1．2．如图，中，点D在边上，且．（1）求证：；（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A， ∴∠A＝90°－∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．∴∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE． ∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH为等边三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等边三角形．设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴． ∴，．∵△ABF的周长等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，解得AB＝16－．在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，∴BO＝16－．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即．解得（舍去）．∴AC＝．∴AF＝11．3．已知：在和中，，．（1）如图①，若①求证：．②求证：的度数． 图①（2）如图②，若，的大小为______（直接写出结果，不证明）．图②【详解】解:（1）①，，，在和中，，，．②，， ，，；（2）如图②，同理可得：，．，，，．．故答案为：，．4．如图，在中，于点，，点是线段上一点，且，连接交于点．（1）求证：；（2）若，，求的周长．【详解】 解：（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，在△ACD和△BED中，∴△ACD≌△BED（SAS），∴∠DAC=∠CBF；（2）∵AD⊥BC，AD=BD=3，∴∵∠DAC=∠CBF，∴∠DAC+∠C=∠CBF+∠C=90°，∴∠AFB=90°，∴，∴△BAF的周长为：AB+BF+AF=．5．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合），①求证：△ABD≌△ACE；②求证：（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____．（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______． 【详解】（1）①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°，；（2）过点A作AF⊥DE于点F．∵AD＝AE，∴点F是DE的中点，∵∠DAE＝90°， ∴AF＝DE，同理可证△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，DB＝EC，∵DB＝5，BC＝7，∴EC＝5，DC＝12，∵∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠ADC＋∠CDE＋∠AED＝90°，∴∠AEC＋∠AED＋∠CDE＝90°，即∠CED＋∠CDE＝90°，∴∠ECD＝90°，∴DE2＝CE2＋CD2＝25＋144＝169，∵DE＞0，∴DE＝13，∴AF＝，∴△ADE的面积为＝DE•AF＝×13×＝；（3）由（1）可知：△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°，∴Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6， ∴CE＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8−6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝=，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝＝=．6．如图在中，，，为的中点．（1）写出点到的三个顶点、、的距离的大小关系．（2）如果点、分别在线段、上移动，移动中保持，请判断的形状，并证明你的结论．（3）当点、分别在、上运动时，四边形的面积是否发生变化？说明理由．【详解】（1）连接OA，中，为的中点，，， ，．（2）是等腰直角三角形，证明如下：，为的中点，，，，，在与中，，≌，，，，是等腰直角三角形．（3）四边形的面积保持不变，理由如下： 由（2）可得：=，．的面积保持不变四边形的面积保持不变．7．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线交于点．（1）填空：点的坐标是（________，________），点的坐标是（________，________）；（2）直线与直线的位置关系________；（3）线段的长为________；（4）在第一象限是否存在点，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标________．【详解】（1）令，，令，则，解得，∴；令，，令，则，解得， ∴；（2）直线与直线垂直，理由如下：∵，．在和中，，．，，，，∴直线与直线垂直；（3）解得， ∴点M的坐标为，∴线段的长为；（4）假设存在点P，使得是等腰直角三角形，若AB为斜边，过点P分别作x轴和y轴的垂线，分别交x轴于点E，y轴于点F，∵是等腰直角三角形，．，．在和中，，．设点P的坐标为， 则．，解得此时点P的坐标为；若AB边为直角边，①过点P作轴交x轴于点G，∵是等腰直角三角形，．，． 在和中，，．，，，∴此时P的坐标为，②过点P作轴交y轴于点H，∵是等腰直角三角形，．，． 在和中，，．，，，∴此时P的坐标为，综上所述，点P的坐标为或或．8．如图1，两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．将图1中的绕点顺时针旋转，在图2中作出旋转后的△OAB(保留作图痕迹，不写作法，不证明)；在图1中，你发现线段的数量关系是____，直线相交成角(填“锐”、“钝”或“直”)； ①将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图，这时(2)中的两个结论是否仍成立?作出判断并说明理由；②若将绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．【详解】解：（1）如图所示（2）∵等腰直角三角形和叠放在一起，如图1，∴OC=OD，OA=OB∴AC=BD， 故答案为：；直（3）①将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，的两个结论成立；理由如下：旋转一个锐角后，，在和中，延长交于E，交于， ，又②将绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立．理由同上．9．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中，，，则．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为_________．（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．【详解】（1），， ，为边上的中线，，是等边三角形，．（2）．证明：如图，连接，都是等边三角形，，，，，．，．，； （3）当点D为边延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证．10．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　，位置关系是　；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【详解】解：（1）点，是，的中点，，，点，是，的中点，，，，，，，， ，，，，，，，故答案为：，；（2）是等腰直角三角形．由旋转知，，，，，，，利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，， ，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大，且在顶点上面，最大，连接，，在中，，，，在中，，， ，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大时，面积最大，点在的延长线上，，，．11．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：___；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【详解】（1）证明：如下图： ∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CECD=ADBE；（3）DE=BEAD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CDCE=BEAD．12．（1）（方法探索）如图，在等边中，点在内，且，，，求的长．小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB的长． 解：把绕着点顺时针旋转得到，连接，请接着写下去：（2）（方法应用）请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题①如图，点在等边外，且，，，若，求度数；②如图，在中，，，是外一点，连接、、已知，．请直接写出的长．【详解】解：（1）如图1中，把绕着点顺时针旋转得到△，连接，由旋转不变性可知，，，，，，△为等边三角形，，， 在△中，，，．（2）①如图2中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，是等边三角形，，，由旋转不变性可知，，，，，，为等边三角形，，，，，共线，，，，，，，． ②如图3中，过点作，使得，连接，．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，过点作于，，，，在中，，，，，， ，在中，，．