第九章磁场第3讲带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题【教学目标】1．进一步巩固复习带电粒子在磁场中做圆周运动的处理方法和思路2．掌握找临界点的方法，并能求解极值问题【重、难点】1、寻找临界点；2、求极值问题【知识梳理】考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题解决此类问题的关键是：找准临界点．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．（2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．（3）当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．题型一磁感应强度或者速度的极值问题例1、如图所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件（已知质子的带电荷量为e，质量为m）．
变式1、两极板M、N相距为d，板长为5d，两板未带电，板间有垂直于纸面的匀强磁场，如图所示，一大群电子沿平行于板的方向从各个位置以速度v射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感应强度B的范围怎样？（设电子电荷量为e，质量为m）
题型二运动时间的极值问题例2、如图所示，在真空中，半径r＝3×10－2m的圆形区域内有匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度B＝0.2T，一个带正电的粒子以初速度v0＝1.2×106m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场（图中未画出初速度方向），已知该粒子的比荷＝1×108C/kg，不计粒子重力．（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；（2）若要使粒子在磁场中运动的时间最长，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子在磁场中的运动的时间。变式2、如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：（1）两板间电压的最大值Um．（2）CD板上可能被粒子打中的区域的长度x．（3）粒子在磁场中运动的最长时间tm．
极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．考点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面．1．带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解．如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b．2．磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解．如图乙所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b．
3．临界状态不惟一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射面边界反向飞出，如图丙所示，于是形成了多解．4．运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图丁所示．题型一形成多解例4、如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN′射出，求粒子入射速率v的最大值可能是多少．
题型二形成多解例5、（多选）某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷量为e、质量为m，磁感应强度为B，不计重力，则电子运动的角速度可能是（ ）A．B．C．D．变式3、（多选）在M、N两条导线所在平面内，一带电粒子的运动轨迹如图所示，已知两条导线M、N中只有一条导线中通有恒定电流，另一条导线中无电流，关于电流方向和粒子带电情况及运动的方向，可能是（ ）A．N中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动B．M中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动C．M中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动
D．N中通有自下而上的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动题型三形成多解例6、（多选）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示．磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）A．使粒子的速度v
C．使粒子的速度v>D．使粒子的速度
