第四章曲线运动第3讲圆周运动【教学目标】1、理解线速度、角速度和周期的概念；2、理解向心加速度和向心力以及和各物理量间的关系；3、会用牛顿第二定律求解圆周运动问题，并能灵活解决圆周运动中的有关临界问题4、知道离心现象及发生离心现象的条件。【重、难点】1、会用牛顿第二定律求解圆周运动问题；2、临界问题【知识梳理】35 （1）匀速圆周运动是匀变速曲线运动．（）（2）物体做匀速圆周运动时，其角速度是不变的．（）（3）物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的．（）（4）匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比．（）（5）做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比．()（6）比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢，看周期或角速度．（）（7）匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因．（）（8）做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力．（）（9）做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力时，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用．（）（10）做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出．（）（11）做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周的半径方向飞出．（）（12）摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故．（）（13）在绝对光滑的水平路面上汽车可以转弯．（）（14）火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大．（）（15）飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态．（）典例精析考点一　描述圆周运动的物理量1．圆周运动各物理量间的关系及其理解2．常见的三种传动方式及特点（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即35 vA＝vB。（2）摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。（3）齿轮传动：线速度大小相等（4）同轴传动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。例1、如图所示是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为nr/s，则自行车前进的速度为(　　)A．B．C．D．变式1、（2017·成都质检）光盘驱动器读取数据的某种方式可简化为以下模式，在读取内环数据时，以恒定角速度方式读取，而在读取外环数据时，以恒定线速度的方式读取。如图所示，设内环内边缘半径为R1，内环外边缘半径为R2，外环外边缘半径为R3。A、B、C分别为各边缘线上的点。则读取内环上A点时，A点的向心加速度大小和读取外环上C点时，C点的向心加速度大小之比为(　　)A．B．C．D．35 变式2、如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在转动过程中的(　　)A．线速度大小之比为3∶2∶2B．角速度之比为3∶3∶2C．转速之比为2∶3∶2D．向心加速度大小之比为9∶6∶4考点二　水平面内的匀速圆周运动1．水平面内的匀速圆周运动轨迹特点：运动轨迹是圆且在水平面内。2．匀速圆周运动的受力特点：（1）物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心；（2）合外力充当向心力。3．解答匀速圆周运动问题的一般步骤：（1）选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。（2）分析物体受力情况，其合外力提供向心力。（3）由Fn＝m或Fn＝mω2r或Fn＝m列方程求解。例2、质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为（　　）A．mB．mgC．mD．m35 例3、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是(　　)A．A球的角速度等于B球的角速度B．A球的线速度大于B球的线速度C．A球的运动周期小于B球的运动周期D．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力变式3、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。变式4、如图所示，内壁光滑的半球形碗固定不动，其轴线垂直于水平面，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在如图所示的水平面内做匀速圆周运动，则（）35 AB35 A．球A的线速度等于球B的线速度B．球A的向心加速度小于球B的向心加速度C．球A的角速度大于球B的角速度D．球A对碗壁的压力等于球B对碗壁的压力考点三水平面内圆周运动的临界问题处理临界问题的解题步骤（1）判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态．（2）确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来．（3）选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解．例4、（多选）（2014年全国I卷）【相对滑动的临界问题】如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（）O′abOA．a、b所受的摩擦力始终相等B．b一定比a先开始滑动C．=是b开始滑动的临界角速度D．当=时，a所受摩擦力的大小为kmg例5、【绳子张力的临界问题】如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为35 m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是(　　)A．OB绳的拉力范围为0～mgB．OB绳的拉力范围为mg～mgC．AB绳的拉力范围为mg～mgD．AB绳的拉力范围为0～mg例6、【接触与脱离的临界问题】如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，（g取10m/s2，sin370=0.6，cos370=0.8），求：（1）当小球的角速度rad/s时，细线的张力FT和锥体对小球的弹力分别多大；（2）当小球的角速度rad/s时，细线的张力FT和锥体对小球的弹力分别多大；35 变式5、如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体A，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体B，A的中点与圆孔距离为0.2m，且A和水平面间的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω满足什么条件时，物体B会处于静止状态？（g＝10m/s2）变式6、一圆盘可绕轴转动，甲、乙两物体质量为M和m，连线长为L，它们和圆盘的最大静摩擦均为正压力的μ倍，若甲物体放在转轴上，甲、乙之间的连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不能超过（　　）A．  B．C． D．水平面内圆周运动临界问题的分析技巧1．在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势．这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）．2．三种临界情况：35 （1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0（2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．（3）绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0考点四　竖直面内圆周运动的临界问题分析1．绳、杆模型涉及的临界问题（轻）绳模型（轻）杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝m得v临＝由小球恰能做圆周运动即得v临＝0讨论分析（1）过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN（2）不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道（1）当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心（2）当0时，mg＋FN＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大在最高点的FN图线35 取竖直向下为正方向取竖直向下为正方向例7、【绳模型分析】如图所示，斜轨道与半径为R的半圆轨道平滑连接，点A与半圆轨道最高点C等高，B为轨道的最低点．现让小滑块（可视为质点）从A点开始以速度v0沿斜面向下运动，不计一切摩擦，关于滑块运动情况的分析，正确的是（　　）A．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做自由落体运动B．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做平抛运动C．若v0＝，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做自由落体运动D．若v0＝，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做平抛运动变式7、如图所示，质量为m的小球自由下落高度为R后沿竖直平面内的轨道ABC运动．AB是半径为R的1/4粗糙圆弧，BC是直径为R的光滑半圆弧，小球运动到C时对轨道的压力恰为零，B是轨道最低点，求：（1）小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功；（2）小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比．例8、35 如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环（可视为质点），从大环的最高处由静止滑下。重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为（）35 35 A．Mg－5mgB．Mg+mgC．Mg+5mgD．Mg+10mg变式8、如图所示，一内壁粗糙的环形细圆管，位于竖直平面内，环形的半径为R（比细管的直径大得多）。在圆管中有一个直径比细管内径略小些的小球（可视为质点），小球的质量为m，设某一时刻小球通过轨道的最低点时对管壁的压力为6mg。此后小球便做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则此过程中小球克服摩擦力所做的功为（）A．0.5mgRB．mgRC．2mgRD．3mgR竖直面内圆周运动类问题的解题技巧1．定模型：首先判断是绳模型还是杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同．2．确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥及杆模型中v≥0这两个临界条件．3．研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．4．受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向．5．过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．考点五　平抛运动与圆周运动问题综合分析例9、如图所示，半径为R的圆盘匀速转动，在距半径高度h处以平行OB方向水平抛出一小球，抛出瞬间小球的初速度与OB方向平行，为使小球和圆盘只碰撞一次且落点为B，求：（1）小球的初速度大小；（2）圆盘转动的角速度．35 变式9、如图所示，一根轻绳一端固定在O点，另一端拴一质量m＝0.1kg的小球静止于A点，其右方有底面半径r＝0.2m的转筒，转筒顶端与A等高，筒底端左侧有一小孔，距顶端h＝0.8m．开始时小球处于O点所在水平面上方30°的位置B处且细绳刚好伸直，OB及OA与转筒的轴线在同一竖直平面内，小孔此时也位于该竖直平面内．将小球从B点由静止释放，小球经过A点时速度vA＝2m/s，此时轻绳突然断掉，同时转筒立刻以某一角速度做匀速转动，最终小球恰好进入小孔。取g＝10m/s2，不计空气阻力。（1）求转筒轴线与A点的距离d；（2）求转筒转动的角速度ω；（3）欲求轻绳的长度l，某同学解法如下：小球从B点运动到A点过程中，只有重力做功，故机械能守恒，则mgl（1＋sin30°）＝mv，代入数据，即可求得l。你认为上述解法是否正确？如果认为正确，请完成此题；如果认为不正确，请给出正确的解答。35 考点六　生活中的圆周运动1．匀速圆周运动与非匀速圆周运动项目匀速圆周运动非匀速圆周运动定义线速度的大小______的圆周运动线速度的大小________的圆周运动运动特点F向、a向、v均大小不变，方向变化，ω不变F向、a向、v大小和方向均发生变化，ω发生变化向心力F向＝F合由F合沿半径方向的分力提供2．离心运动（1）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着________________飞出去的倾向；（2）受力特点（如图所示）①当F＝________时，物体做匀速圆周运动；②当F＝0时，物体沿__________飞出；③当F<________时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力；④当F>mrω2时，物体逐渐向______靠近，做________运动。：（1）物体做离心运动是因为受到离心力的缘故吗？（2）物体做离心运动时是沿半径方向远离圆心吗？3．生活中的圆周运动实例生活轨迹向心力来源实例35 中的圆周运动火车水平面转弯内圆周内外轨有高度差，由重力和弹力在水平方向的合力提供向心力汽车在弯曲的公路上转弯等汽车过桥竖直平面内圆周由汽车本身重力和桥面支持力的合力提供向心力水流星、绳与小球、绳与杆模型等离心运动条件：能够提供的向心力不足以满足需求的向心力洗衣机的脱水筒、离心分离机等4．解题步骤（1）明确研究对象，确定所做圆周运动的轨道平面，找出圆心和半径．（2）对物体进行受力分析，判断哪些力提供向心力，并求出能够提供的向心力．（3）根据牛顿第二定律列方程求解．例10、如图所示，在自行车后轮轮胎上粘附着一块泥巴。现将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴被甩下来。图中四个位置泥巴最容易被甩下来的是（　　）A．a点B．b点C．c点D．d点变式10、在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会（球直径比管直径略小）(　　)A．向管底运动　　　　　B．向管口运动C．保持不动D．无法判断35 例11、摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用；行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一超高速列车在水平面内行驶，以360km/h的速度拐弯，拐弯半径为1km，则质量为50kg的乘客，在拐弯过程中所受到的火车给他的作用力为（g取10m/s2）(　　)A．500NB．1000NC．500ND．0变式11、一汽车通过拱形桥顶点时速度为10m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速度至少为（　　）A．15m/sB．20m/sC．25m/sD．30m/s考点七圆周运动与图象综合问题例12、（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示．则(　　)A．当地的重力加速度大小为B．v2＝c时，小球受到的弹力方向向上C．小球的质量为D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等变式12、（多选）如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动．小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（）35 A．图象函数表达式为B．重力加速度C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变考点八　斜面上圆周运动的临界问题在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。下面列举三类实例。(一)静摩擦力控制下的圆周运动例13、（2014·安徽高考）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2。则ω的最大值是(　　)A．rad/s　　　　B．rad/sC．1.0rad/sD．5rad/s(二)轻杆控制下的圆周运动例14、如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是(　　)35 A．2m/sB．4m/sC．2m/sD．2m/s(三)轻绳控制下的圆周运动例15、如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角。板上一根长为l＝0.60m的轻绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点。当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？（取重力加速度g＝10m/s2）35 【能力展示】【小试牛刀】1．如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为RA＝RC＝2RB，设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比vA∶vB∶vC＝____，角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝____。2．如图所示，一根跨越光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员（可视为质点），演员a站于地面，演员b从图示的位置由静止开始向下摆，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，演员a刚好对地面无压力，则演员a与演员b质量之比为(　　)A．1∶1B．2∶1C．3∶1D．4∶13．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上如图所示，顶部有一个物体A，今给A一个水平初速度v0＝，则A将（　　）A．沿球面下滑至M点B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动C．立即离开半圆球做平抛运动D．按半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动4．（多选）如图所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球，在O点的正下方与O点相距35 的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子；把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，当细绳碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是（　　）A．小球的线速度不发生突变B．小球的角速度突然增大到原来的2倍C．绳子对小球的拉力突然增大到原来的2倍D．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍5．儿童乐园里的游戏“空中飞椅”简化模型如图所示，座椅通过钢丝绳与顶端转盘连接．已知正常工作时转盘的转速一定。设绳长为L，绳与竖直方向夹角为θ，座椅中人的质量为m．则下列说法正确的是（）35 rlθω35 A．L变短时，θ将变大B．L变长时，θ将变大C．m越大，θ越小D．m越大，θ越大6．（多选）公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处(　　)A．路面外侧高内侧低B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小7．（多选）一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法不正确的是（　　）A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B．小球过最高点的最小速度是C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小8．（多选）如图所示，小物块从半球形碗的碗口下滑到碗底的过程中，如果小物块的速度大小始终不变，则（　　）A．小物块的加速度大小始终不变B．碗对小物块的支持力大小始终不变35 C．碗对小物块的摩擦力大小始终不变D．小物块所受的合力大小始终不变9．（多选）如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v．若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（　　）A．受到的向心力为mg＋mB．受到的摩擦力为μmC．受到的摩擦力为μ（mg＋m）D．受到的合力方向斜向左上方10．（多选）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰．已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看做质点且其质量为m＝1kg，g取10m/s2.则(　　)A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9mB．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9mC．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1ND．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2N11．（多选）如图所示，水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中，下列说法正确的是(　　)35 A．木块A处于超重状态B．木块A处于失重状态C．B对A的摩擦力越来越小D．B对A的摩擦力越来越大12．如图所示，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用的时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则(　　)A．t1＞t2B．t1＝t2C．t1＜t2D．无法比较t1、t2的大小13．如图所示，直径为d的纸筒以角速度ω绕垂直于纸面的O轴匀速转动（图示为截面）．从枪口射出的子弹沿直径穿过圆筒，在圆周上留下a、b两个弹孔．已知aO与bOz的夹角为θ，求子弹的速度．14．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g．忽略手的运动半径、绳重和空气阻力．（1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；（2）问绳能承受的最大拉力多大？35 （3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？【大显身手】15．（多选）如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（　　）35 A．周期相同B．线速度的大小相等C．角速度的大小相等D．向心加速度的大小相等16．（多选）（2017年广州一模）如图所示，在角锥体表面上放一个物体，角锥绕竖直轴转动。当角锥体旋转角速度增大时，物体仍和角锥体保持相对静止，则（）35 35 A．物体受到的合外力不变B．物体受到的支持力减小C．角锥对物体的作用力不变D．物体受到的静摩擦力增大17．如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为(　　)A．3mg　　　　　　　　B．mgC．mgD．2mg18．（多选）“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则(　　)A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大C．当v0>时，小球一定能通过最高点PD．当v0<时，细绳始终处于绷紧状态35 19．（多选）如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它随杆转动，若转动角速度为ω，则(　　)A．绳子BP的拉力随ω的增大而不变B．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力20．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变化的图象是下列选项中的(　　)21．（多选）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好即将发生滑动时，则(　　)35 A．此时绳子张力为T＝3μmgB．此时圆盘的角速度为ω＝C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动22．如图所示，将一质量为m＝0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R＝2.5m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度g取10m/s2）．求：（1）小球经过C点的速度大小；（2）小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；（3）平台右端O到A点的竖直高度H。35 23．如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A。一质量为m的小球在水平地面上C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点(图中未画出)．已知A、C间的距离为L，重力加速度为g．（1）若轨道半径为R，求小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力FN；（2）为使小球能运动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值Rm；（3）轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大？最大距离xm是多少？35 第3讲圆周运动答案例1、D变式1、D变式2、D例2、C例3、B变式3、变式4、C例4、BC例5、B例6、（1）FT=11.6N，FN=1.2N；（2）FT=20N，FN=0N变式5、略变式6、D例7、D变式7、（1）（2）7∶12例8、C变式8．A例9、（1）（2）（k=1、2、3……）变式9、（1）（2）rad/s（k=1、2、3……）（3）不正确，0.8m例10．C变式10、B例11、C变式11、B例12、CD变式12、BD例13、C例14、B例15、0°≤α≤30°【能力展示】1．1∶1∶2　1∶2∶22、B3、C4、ABD5、B6、AC7、BCD8、AD9、CD10、BC11、BC12、C13、（k=1、2、3……）35 14．（1）v1＝　v2＝（2）mg　（3）；d15．AC16．BD17、C18．CD19．BC20．C21、ABC22．（1）5m/s　（2）6.0N　（3）3.36m23、答案：（1）－5mg　（2）　（3）　解析：（1）设小球到B点速度为v，从C到B根据动能定理有：FL－2mgR＝mv2解得：v＝在B点，由牛顿第二定律有FN＋mg＝m解得：FN＝－5mg（2）小球恰能运动到轨道最高点时，轨道半径有最大值，则有FN＝－5mg＝0解得：Rm＝（3）设小球平抛运动的时间为t，有2R＝gt2解得t＝水平位移：x＝vt＝·＝当2FL－4mgR＝4mgR时，水平位移最大．解得R＝；D到A的最大距离xm＝35