综合测试卷(四)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020山东潍坊模拟)已知集合A={x|x2-1≥0},B={y|y=ex},则A∩B=( )A.(0,+∞) B.(-∞,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)答案 C 因为x2-1≥0,所以x≥1或x≤-1,所以A=(-∞,-1]∪[1,+∞).又因为y=ex>0,所以B=(0,+∞),所以A∩B=[1,+∞),故选C.2.(2018安徽马鞍山二模,3)已知复数z满足zi=3+4i,则复数z在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案 D 由zi=3+4i,得z===4-3i,∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4,-3),该点位于第四象限.故选D.3.(2020陕西汉中重点中学第一次联考,7)若log2x+log4y=1,则( )A.x2y=2 B.x2y=4 C.xy2=2 D.xy2=4答案 B log2x+log4y=log2x+log2y=log2x+log2=log2(x)=1,所以x=2,两边平方得x2y=4.故选B.4.(2020河南安阳二模,7)已知m,l是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列可以推出α⊥β的是( )A.m⊥l,m⊂β,l⊥α B.m⊥l,α∩β=l,m⊂αC.m∥l,m⊥α,l⊥β D.l⊥α,m∥l,m∥β答案 D 在A中,m⊥l,m⊂β,l⊥α,则α与β相交或平行,故A错误;
在B中,m⊥l,α∩β=l,m⊂α,则α与β有可能相交但不垂直,故B错误;在C中,m∥l,m⊥α,l⊥β,则α∥β,故C错误;在D中,l⊥α,m∥l,则m⊥α,又m∥β,则α⊥β,故D正确.故选D.5.(2020山东烟台一模,7)设P为直线3x-4y+4=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则四边形APBC面积的最小值为( )A. B.2C. D.2答案 A 如图所示.圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径为1,PA=PB,则S四边形APBC=2×·|PB|·|CB|,又∵△PCB为直角三角形,∴|PB|==,因此S四边形APBC=,若四边形APBC的面积最小,则|PC|最小,当CP垂直于直线3x-4y+4=0时,|CP|取最小值,即点C到直线3x-4y+4=0的距离,|PC|min==2,故四边形APBC面积的最小值为=.故选A.6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+=1
答案 A ∵△AF1B的周长为4,∴由椭圆的定义可知4a=4,∴a=,∵e==,∴c=1,∴b2=2,∴方程为+=1,故选A.7.(2020广东广州综合测试一,10)已知点P(x0,y0)是曲线C:y=x3-x2+1上的点,曲线C在点P处的切线与直线y=8x-11平行,则( )A.x0=2 B.x0=-C.x0=2或x0=- D.x0=-2或x0=答案 B 由y=x3-x2+1可得y'=3x2-2x,则切线斜率k=y'=3-2x0,又切线平行于直线y=8x-11,∴3-2x0=8,∴x0=2或-.①当x0=2时,切点为(2,5),切线方程为y-5=8(x-2),即8x-y-11=0,与已知直线重合,不合题意,舍去;②当x0=-时,切点为,切线方程为y+=8,即y=8x+,与y=8x-11平行,故选B.8.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为( )A. B. C. D.3答案 A 本题主要考查数量积的综合应用.解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则
A(1,0),B,C(0,),设E(0,t),t∈[0,],∴·=(-1,t)·=t2-t+,∵t∈[0,],∴当t=-=时,·取得最小值,(·)min=-×+=.故选A.解法二:令=λ(0≤λ≤1),由已知可得DC=,∵=+λ,∴=+=++λ,∴·=(+λ)·(++λ)=·+||2+λ·+λ2||2=3λ2-λ+.当λ=-=时,·取得最小值.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.定义:若函数F(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],则称区间[a,b]是函数F(x)的“完美区间”,另外,定义区间[a,b]的“复区间长度”为2(b-a),已知函数f(x)=|x2-1|,则( )A.[0,1]是f(x)的一个“完美区间”B.是f(x)的一个“完美区间”C.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2答案 AC 当x∈[0,1]时,f(x)=1-x2,易知f(x)在[0,1]上单调递减,f(0)=1,f(1)=0,故值域为[0,1],所以
[0,1]是f(x)的一个“完美区间”,故A正确.由于<0,f(x)≥0恒成立,故B错误.由定义域为[a,b],f(x)≥0,可知0≤a
1时,①若0≤a<1,则1∈[a,b],此时f(x)min=f(1)=0,若函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],则a=0,f(b)=b,因为b>1,所以f(b)=|b2-1|=b2-1=b,即b2-b-1=0,解得b=(舍去)或b=,故此情况下存在a=0,b=,使得区间[a,b]是函数f(x)的“完美区间”,此区间[a,b]的“复区间长度”为2×=1+.②当a≥1时,f(x)=x2-1,x∈[a,b],函数f(x)在[a,b]上单调递增,
若函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],则所以a与b是方程x2-x-1=0的两个不等实根,解得x1=,x2=,所以因为a=<1,所以此情况不满足题意.综上所述,函数f(x)=|x2-1|的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+(1+)=3+,故C正确,D错误.故选AC.10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与直线y=kx交于A,B两点,点P(x0,y0)为C上任意一点,且直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPA·kPB=,则下列结论正确的是( )A.双曲线的渐近线方程为y=±xB.双曲线的渐近线方程为y=±xC.双曲线的离心率为D.双曲线的离心率为答案 AC 设点A(x,y),B(-x,-y),则-=1.又∵-=1,∴两式相减得=,∴=.又∵kPA·kPB=·=,∴=,∴=,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,故选项A正确,选项B错误;又∵==e2-1=,∴e=,故选项C正确,选项D错误.故选AC.思路分析 设点A(x,y),B(-x,-y),利用点差法得到kPA·kPB=,即可得到=,从而求出双曲线的渐
近线与离心率.11.(2020山东百师联盟测试五,9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )A.函数f(x)的周期为πB.函数f(x)图象的一条对称轴方程为x=C.函数f(x)的递减区间为(k∈Z)D.当x∈时,函数f(x)的值域为答案 AC 由题中图象知,A=1,=-=⇒T=π,所以ω==2,根据五点作图法得2×+φ=0⇒φ=-,则f(x)=sin,对称轴方程为x=π+,k∈Z,单调减区间为,k∈Z.当x∈时,2x-∈,f(x)=sin∈.故选AC.12.(2020福建泉州毕业班适应性线上测试)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(1+x)=f(1-x),若f(1)=1,则( )A.f(x)是周期函数B.当n为偶数时,f(n)=0C.f(1)+22f(2)+32(3)+…+62f(6)=16D.f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=8n2+8n+1答案 ABD 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
又f(1+x)=f(1-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得函数f(x)的周期为4,选项A正确;f(-2)=-f(2)=-f(0)=0,即f(-2)=f(2)=f(0),又因为函数f(x)的周期为4,所以当n为偶数时,f(n)=0,选项B正确;因为f(-1)=-f(1)=-1,周期T=4,所以f(1)+22f(2)+32f(3)+…+62f(6)=1-32+52=17,所以选项C是错的;f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=1-32+52-72+92-…+(4n+1)2=1+(52-32)+(92-72)+…+[(4n+1)2-(4n-1)2]=1+2[3+5+7+9+…+(4n-1)+(4n+1)]=1+2×=1+2n(4n+4)=8n2+8n+1,所以选项D正确,故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)= . 答案 解析 ∵α∈,∴2α∈(0,π).∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,∴sin2α==,而α,β∈,∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)==,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=×+×=.14.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度),夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气,其日影子长依次成等差数列,经记录测算,夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺,这十二个节气的所有日影子长之和为84尺,则夏至的日影子长为 尺. 答案 1.5解析 设此等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由题意得即解得所以夏至的日影子长为1.5尺.15.(2020天津南开中学第五次统练,13)已知函数f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,若函数f(x)在x=1处取得极大值,则实数a的取值范围是 . 答案 解析 f'(x)=lnx-2ax+2a,令g(x)=lnx-2ax+2a(x>0),∴g'(x)=-2a,若a≤0,则g'(x)=-2a>0恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0,当x∈(0,1)时,g(x)=f'(x)<0,f(x)
单调递减,当x∈(1,+∞)时,g(x)=f'(x)>0,f(x)单调递增,故函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.若a>0,则00,g(x)单调递增,x>时,g'(x)=-2a<0,g(x)单调递减,g(1)=f'(1)=0,∵f(x)在x=1处取得极大值,∴x<1时,g(x)=f'(x)>0,x>1时,g(x)=f'(x)<0,即函数f(x)在x=1的两侧先增后减,则<1,解得a>.综上,a的取值范围是.16.(2020山东第一次仿真联考,15)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,PC=PD=,平面PCD⊥平面ABCD,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 . 答案 解析 取CD的中点E,连接PE.因为PC=PD=,DE=CD=1,所以PE⊥CD,则PE=2,连接AC,BD,交于点O1,则O1为四边形ABCD的中心,过四边形ABCD的中心O1作平面ABCD的垂线l1,过三角形PCD的外心O2作平面PCD的垂线l2,设l1∩l2=O,则O为四棱锥P-ABCD外接球的球心,设OO1=h,四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,则R2=h2+2=(2-h)2+1,解得h=,则h2=,R2=,故四棱锥P-ABCD外接球的表面积为4πR2=.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知{an}是递增的等差数列,且a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,数列{bn}的前n项和为Sn,
且Sn=2bn-2(n∈N*).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若cn=an·bn(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.解析 (1)因为nan+1-(n+1)an=1,所以-==-,所以-=-(n≥2),……,-=1-,所以-a1=1-(n≥2).又a1=1,所以=,所以an=2n-1(n≥2).又a1=1也符合上式,所以an=2n-1(n∈N*).(2)结合(1)得bn=,所以Sn=++++…+,①Sn=+++…+,②①-②,整理得Sn=1+2-=1+-=2-,
所以Sn=3-.18.(12分)(2020山东烟台一中期末,17)在条件:①(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,②asinB=bcos,③bsin=asinB中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题解答.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c=6,a=2, .求△ABC的面积. 解析 若选①:由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,所以cosA===,因为A∈(0,π),所以A=,又a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,a=2,b+c=6,所以bc=4,所以S△ABC=bcsinA=×4×sin=.若选②:由正弦定理得sinAsinB=sinBcos.因为0b>0)的离心率为,点P在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程;(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C、D两点,A、B分别为椭圆M的左、右顶点,记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的取值范围.解析 (1)由e===,得3a2=4b2①,将P代入椭圆方程,得+=1②,由①②得a=2,b=,所以椭圆M的方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=1,△ABD与△ABC的面积相等,|S1-S2|=0,当直线l的斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x-1),
设C(x1,y1),D(x2,y2),联立消掉y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,显然Δ>0,方程有根,且x1+x2=,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=,此时|S1-S2|=2(|y2|-|y1|)=2|y2+y1|=,因为k≠0,所以|S1-S2|==≤==,当且仅当k=±时等号成立,所以|S1-S2|的最大值为,则0≤|S1-S2|≤,所以|S1-S2|的取值范围为[0,].22.(12分)(2021届浙江杭州模拟)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.解析 (1)由题意可知f'(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f'(x0)=0,即解得因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-lnx<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)内无零点.
当x=1时,若a≥-,则f(1)=a+≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a<-,则f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零点.当x∈(0,1)时,g(x)=-lnx>0.所以只需考虑f(x)在(0,1)内的零点个数.(i)若a≤-3或a≥0,则f'(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,故f(x)在(0,1)内单调.而f(0)=,f(1)=a+,所以当a≤-3时,f(x)在(0,1)内有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)内没有零点.(ii)若-30,即--或a<-时,h(x)有一个零点;当a=-或a=-时,h(x)有两个零点;当-
