综合测试卷(三)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京八中10月月考,1)已知集合A={x|x>1},B={x|x
1,因此m的值可以是2,故选D.易错警示 本题易错认为m≥1,事实上m=1时,A=(1,+∞),B=(-∞,1),不满足A∪B=R.2.(2020江西临川第二中学10月月考,2)已知i为虚数单位,若复数z=,则|z|=( )A.1 B.2 C. D.答案 D 因为z===1-2i,所以|z|==,故选D.3.(2019北京西城月考,5)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1),若∥,则实数m的值为( )A.- B.-3 C.- D.答案 B =(3,-4),=(6,-3),则=-=(3,1).∵∥,=(2m,m+1),∴3(m+1)-2m=0,∴m=-3,故选B.易错警示 向量a=(x1,y1)与非零向量b=(x2,y2)共线的充分必要条件是存在μ使得a=μb,其坐标表示为x1y2-x2y1=0.要注意与两向量垂直的坐标表示区分,此处容易混淆.4.(2020内蒙古包头二模,5)已知a,b∈R,下列四个条件中,使a0且a≠1,函数f(x)=在R上单调递增,那么实数a的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,2]答案 D ∵f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递增,∴即解得10,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )A. B.2 C. D.2答案 D 根据题意,点(-2,-1)在抛物线的准线上,∵抛物线y2=2px的准线方程为x=-,∴p=4,∴抛物线的焦点坐标为(2,0),又∵双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,∴双曲线的左顶点的坐标为(-2,0),即a=2,∵点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,∴渐近线的斜率k==,∴b=1,∴c==,∴双曲线的焦距为2c=2.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.2020年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在,党中央的坚强领导和统一指导下,全国人民众志成城、团结一心,掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下面的图展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况.根据该折线图判断,下列结论正确的是( )A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和答案 BC 由题图可知,16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势,但具体到每一天有增有减,故A错误;因为每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量,所以16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数,故B正确;易知16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000,故C正确;20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和,故D错误,故选BC.10.已知P是双曲线C:-=1上任一点,A,B是双曲线上关于坐标原点对称的两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|≥t恒成立,且实数t的最大值为,则下列说法正确的是( )A.双曲线的方程为-y2=1B.双曲线的离心率为2C.函数y=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图象恒过C的一个焦点D.直线2x-3y=0与C有两个交点答案 AC 设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y)(x1≠x,y1≠y),则-=1,-=1,两式相减得+=0,即,=,∴=,∴·=,∴|k1|+|k2|=+=+≥2,又t的最大值为,∴m=1,故双曲线的方程为-y2=1,故A正确;∵a=,b=1,∴c=2,∴e=,故B错误;易知双曲线的一个焦点为(2,0),函数y=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图象恒过点(2,0),故C正确;双曲线的一条渐近线为y=x,直线2x-3y=0的斜率为,>,且该直线过原点,∴直线2x-3y=0与双曲线没有交点,故D错误,故选AC.11.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M分别为棱CD,CC1的中点,Q为面对角线A1B上任一点,则下列说法正确的是( )A.平面APM内存在直线与A1D1平行B.平面APM截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为C.直线AP和DQ所成角可能为60°D.直线AP和DQ所成角可能为30°答案 BC 易知直线A1D1∥平面ABCD,平面ABCD∩平面APM=AP,直线AP与直线A1D1不平行,故A错误;平面APM截正方体所得截面为四边形APMB1,且四边形APMB1为等腰梯形,=×=,故B正确;当Q与A1重合时,两直线的夹角最小,当Q与B重合时,两直线的夹角最大,∴cosθ∈,故C正确,D错误.故选BC.12.关于函数f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列说法正确的是( )A.当a=1时,f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时,f(x)存在唯一极小值点x0且-10,f(x)在(-π,+∞)上均存在零点D.存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点答案 ABD 当a=1时,f(x)=ex+sinx,x∈(-π,+∞),∴f(0)=1,切点为(0,1),f'(x)=ex+cosx,∴f'(0)=2,∴切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0,故A正确;a=1时,f'(x)=ex+cosx,f″(x)=ex-sinx>0(x>-π)恒成立,∴f'(x)单调递增,f'=+cos<0,f'=>0,故f(x)存在唯一极小值点x0,且x0∈,则f'(x0)=0,即+cosx0=0,f(x0)=+sinx0=sinx0-cosx0=sin∈(-1,0),故B正确;f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),令f(x)=0,则ex+asinx=0,当x=kπ,k>-1且k∈Z时,显然没有实根,故x≠kπ,k>-1且k∈Z,∴a=-,令h(x)=-,∴h'(x)=,令h'(x)=0,得x=+kπ,k≥-1,k∈Z,∴h(x)在上单调递减,在,(k∈N)上单调递增,在,(k∈N)上单调递减,∴h(x)的极小值为h=≥(k∈N),h(x)的极大值为h=-≤-(k∈N),∴a∈(0,)时,y=a与y=h(x)的图象没有交点,即f(x)在(-π,+∞)上没有零点,故C错误;存在a<0,使得f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点,此时a=-,故D正确,故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x的不等式x+≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为 . 答案 1解析 关于x的不等式x+≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,即x-a+≥5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,,由x>a,可得x-a>0,则x-a+≥2=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,上式取得最小值4,则5-a≤4,可得a≥1,则a的最小值为1.14.(2020甘肃兰州4月诊断考试,15)大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示,开口为正六边形ABCDEF,侧棱AA',BB',CC',DD',EE',FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,因此,有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B'C'D'=109°28'16″.已知一个蜂房中,BB'=DD'=5,AB=2,tan54°44'08″=,则此蜂房的表面积是 . 答案 216解析 本题主要考查多面体表面积的计算,考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算.连接BD,B'D',则BD
