§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差基础篇【基础集训】考点一 离散型随机变量及其分布列1.设随机变量X的分布列如下,则P(|X-2|=1)等于( )X1234PmA. B. C. D.答案 C2.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及数学期望.考点二 离散型随机变量的均值与方差3.已知X的分布列为X-101
P设Y=2x+3,则E(Y)的值为( )A. B.4 C.-1 D.1答案 A4.已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=-x,若01,故A不符合题意;B选项的分布列中,-<0,故B不符合题意;C选项的分布列中,满足0≤P≤1以及各概率之和等于1,故C符合题意;D选项的分布列中,+2a+a2+2=(a+1)2+>1,故D不符合题意.故选C.2.(2019广东汕头一模,5)已知离散型随机变量X的分布列为X0123
Pm则X的数学期望E(X)=( )A. B.1 C. D.2答案 B 由题意可得++m+=1,可得m=.则E(X)=0×+1×+2×+3×=1,故选B.3.(2020山西太原模拟,6)某射手射击所得环数ξ的分布列如下表:ξ78910Px0.10.3y已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为( )A.0.8 B.0.6C.0.4 D.0.2答案 C 由题中表格可知x+0.1+0.3+y=1,7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9,解得y=0.4.故选C.4.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为 (用式子表示). 答案 解析 设二级品有X台,由题意知随机变量X服从超几何分布,则取二级品1台时,P(X=1)=;取二级品0台时,P(X=0)=,故P(X≤1)=P(X=1)+P(X=0)=.5.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每名同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.解析 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).∴P(X=0)==,P(X=1)==.P(X=2)==,P(X=3)==.随机变量X的分布列为X0123P6.(2018北京东城二模,16)某银行的工作人员记录了3月1日到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数,如图所示:从这15天中随机选取一天,随机变量X表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.(1)请把X的分布列补充完整;X891011121314
P(2)令m为X的数学期望,若P(m-n≤X≤m+n)>0.5,求正整数n的最小值;(3)由图判断,从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大?(结论不要求证明)解析 (1)X的分布列为X891011121314P(2)由(1)可得X的数学期望为E(X)=8×+9×+10×+11×+12×+13×+14×=10,所以m=10.因为P(10-1≤X≤10+1)==<0.5,P(10-2≤X≤10+2)==>0.5,所以nmin=2.(3)第10日或第11日.考点二 离散型随机变量的均值与方差1.(2018广东省际名校联考(二),11)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球,现从中逐个不放回地摸出小球,直到取出所有红球为止,则摸取次数X的数学期望是( )A. B. C. D.答案 D 当X=k时,第k次取出的必然是红球,而前(k-1)次中,有且只有1次取出的是红球,其余取出的皆为黑球,故P(X=k)==,于是得到X的分布列为
X234567P故E(X)=2×+3×+4×+5×+6×+7×=.故选D.2.(2018安徽合肥第一中学冲刺,8)某班级有男生32人,女生20人,现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员.男生当选的人数记为ξ,则ξ的数学期望为( )A. B. C. D.答案 C 由题意得ξ=0,1,2,3,4.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=.故选C.3.(2020四川绵阳模拟,7)小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分,现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为X,则X的期望为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C 由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4,设其他两位同学为a,b,小明为c,列表如下:abc手心手心手背手心手背手背手心手心手心手心手背手心手背手心手背手背手心手心手背手背手背手背手背手心
共有8种情况,小明得1分的结果有6种情况,∴小明每局得1分的概率P=,∴X~B,∴E(X)=4×=3.故选C.4.离散型随机变量ξ的分布列如下表,若Eξ=1,则Dξ的值为 . ξ012P0.2ab答案 0.4解析 ∵Eξ=1,∴结合离散型随机变量ξ的分布列,得解得a=0.6,b=0.2,∴Dξ=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.5.(2018河南南阳一中第七次考试,14)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则E(ξ)= . 答案 解析 由题意知ξ=2,3,4,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)=1--=.因此E(ξ)=2×+3×+4×=.6.(2020甘肃、青海、宁夏联考,18)某厂销售部以箱为单位销售某种零件,每箱的定价为200元,低于100箱按原价销售;不低于100箱通过双方议价,买方能以优惠8%成交的概率为0.6,以优惠6%成交的概率为0.4.(1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件,两单位各自达成的成交价相互独立,求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率;(2)某单位需要这种零件650箱,求购买总价X的数学期望.解析 (1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6=0.24,
所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率为1-0.24=0.76.(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为Y元,则Y=184或188.Y的分布列为Y184188P0.60.4则E(Y)=184×0.6+188×0.4=185.6(元).从而购买总价X的数学期望E(X)=185.6×650=120640(元).思路分析 (1)先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率,再由对立事件得所求概率;(2)先写出在折扣优惠中每箱零件的价格的取值,再列分布列求解,从而求得答案.综合篇【综合集训】考法 求离散型随机变量的期望与方差的方法1.(2020浙江东阳中学月考,7)已知随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=( )A. B. C. D.1答案 B2.(2021届浙江嘉兴9月教学测试,14)已知盒中装有n(n>1)个红球和3个黄球,从中任取2个球(取到每个球是等可能的),随机变量X表示取到黄球的个数,且X的分布列为:X012Pab则n= ;E(X)= . 答案 3;13.(2021届浙江高考选考科目9月联考,13)17世纪,有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战,
给他出了一道题目:甲、乙两个人赌博,他们两人获胜的概率相等,比赛规则是先胜三局者为赢家,一共进行五局,赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那么如何分配这100法郎才比较公平?因为甲输掉后两局的可能性只有×=,也就是说,甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1-=,甲有75%的期望获得100法郎;而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲,乙连续赢得后两局的概率为×=,即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期望”这个词,数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足P(ξ=i)=a·(i=1,2,3,4),则a= ;若E(bξ+1)=,则b= . 答案 1;4.(2019广东佛山顺德第二次教学质量检测,18)某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的糕点只能销毁.经过长期调研,统计了一下该新品的日需求量.现将近期一个月(30天)的需求量展示如下:日需求量X(个)20304050天数510105(1)从这30天中任取两天,求两天的日需求量均为40个的概率;(2)以上表中的频率作为概率,列出日需求量X的分布列,并求该月的日需求量X的期望;(3)根据(2)中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望为;现有员工建议扩大生产,一天生产45个,求对应利润的期望,判断此建议该不该被采纳.5.(2019安徽宣城二模,19)某中学利用周末组织教职工进行了一次秋季登山健身的活动,有N人参加,现将所有参加者按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)共七组,其频率分布直方图如图所示,已知[25,30)的参加者是6人.
(1)根据频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数;(2)已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学教师的概率;(3)组织者从[45,55)的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为X,求X的分布列和均值.[教师专用题组]【综合集训】考法 离散型随机变量的期望与方差的方法1.(2019山东临沂期末,3)在掷一枚图钉的随机试验中,令X=若随机变量X的分布列如下:X01P0.3p则EX=( )A.0.21 B.0.3 C.0.5 D.0.7答案 D 由随机变量X的分布列得p=1-0.3=0.7,∴EX=0×0.3+1×0.7=0.7.2.(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主在一旅游景点设摊,在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则如下:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色,则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润X(单位:元)的期望是( )A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
答案 A 游客摸出的2个小球同色的概率为=,所以摊主从每次游戏中获得的利润的分布列为X-11P因此EX=-1×+1×=0.2.3.(2020北京清华大学中学生标准学术能力测试,8)已知随机变量ξ的分布列为ξxyPyx则下列说法正确的是( )A.存在x,y∈(0,1),E(ξ)>B.对任意x,y∈(0,1),E(ξ)≤C.对任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ)D.存在x,y∈(0,1),D(ξ)>答案 C 根据分布列的性质有y+x=1,则E(ξ)=2xy≤2=当且仅当x=y=时取等号,所以A、B错误;由于E(ξ)=2x(1-x),D(ξ)=x(1-x)(2x-1)2,且x∈(0,1)时,有(2x-1)2∈[0,1),显然有任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ)≤,故C正确,D错误,故选C.4.(2020北京十三中开学摸底,14)同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上,ξ=0表示结果中没有正面向上,则Eξ= . 答案 解析 本题考查两点分布的期望,
通过两点分布的期望考查学生运用数学知识与方法分析问题、解决问题的能力,体现逻辑推理的核心素养.由题意知,本题符合两点分布,结果中没有正面向上的概率为,此时ξ=0,而ξ=1时对应概率为,∴Eξ=1×+0×=.5.现有2位男生,3位女生去参加一个联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.(1)为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的正方体骰子决定自己去参加哪个联欢项目,掷出点数为1或2的人去参加甲联欢项目,掷出点数大于2的人去参加乙联欢项目.求这5人中恰好有3人去参加甲联欢项目的概率;(2)若从这5人中随机选派3人去参加甲联欢项目,设ξ表示这3人中女生的人数,求随机变量ξ的分布列与数学期望.解析 (1)依题意知,这5个人中,每个人去参加甲联欢项目的概率为,去参加乙联欢项目的概率为.记“这5人中恰有3人去参加甲联欢项目”为事件A,则P(A)=·=.(2)随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,P(ξ=k)=(k=1,2,3).所以ξ的分布列为ξ123PEξ=1×+2×+3×=.
