§10.2　二项式定理基础篇【基础集训】考点　二项式定理1.(x+y)(2x-y)6的展开式中x4y3的系数为(　　)A.-80　　B.-40　　C.40　　D.80答案　D2.(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则x4的二项式系数为(　　)A.21　　B.35　　C.45　　D.28答案　B3.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得(x-2)(x+2)5,则a5=(　　)A.8　　B.10　　C.12　　D.1答案　A4.在的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有(　　)A.13项　　B.14项　　C.15项　　D.16项答案　C5.已知的二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是(　　)A.-84　　B.-14　　C.14　　D.84答案　A6.若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=(　　)A.0　　B.1　　C.32　　D.-1答案　A7.的展开式中各项系数的和为256,则该展开式的二项式系数的最大值为　　　　.  答案　68.在的展开式中,常数项为　　　　. 答案　-5[教师专用题组]【基础集训】考点　二项式定理1.(2020河南部分重点高中联考,9)已知(3x-1)n展开式的第5项的二项式系数最大,且n为偶数,则(3x-1)n展开式中x2的系数为(　　)A.-252　　B.252　　C.-28　　D.28答案　B　由题意可得n=8,则(3x-1)8的展开式的通项是Tr+1=(3x)8-r·(-1)r,令8-r=2,解得r=6,则展开式中x2的系数为32=252.2.(2019内蒙古包头二模,10)若的展开式中的各项系数的和为1,则该展开式中的常数项为(　　)A.672　　B.-672　　C.5376　　D.-5376答案　A　∵的展开式中的各项系数的和为(a-1)9=1,∴a=2.故展开式的通项公式为Tr+1=·(-1)r·29-r·x18-3r,令18-3r=0,求得r=6,可得该展开式中的常数项为·23=672,故选A.3.(2018辽宁沈阳育才学校五模,6)已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为(　　)A.5　　B.40　　C.20　　D.10答案　B　由的展开式的各项系数和为243, 得3n=243,即n=5,∴=,Tr+1=·(x3)5-r·=2r··x15-4r,令15-4r=7,得r=2,∴展开式中x7的系数为22×=40.故选B.思路分析　由已知可得n的值,写出二项展开式的通项,由x的指数为7求得r,进而求得含x7的项的系数.解后反思　本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,体现了转化的数学思想.4.(2016宁夏银川第一次联考,9)已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,则展开式中系数最大的项为第　　　　项. 答案　5解析　展开式的通项Tr+1=(-1)rxn-2r,第3项与第6项的二项式系数分别为,,∴=,∴n=7,∴系数最大的项为第5项,T5=(-1)4x-1.思路分析　先由二项式系数性质求n,再利用二项展开式的通项公式求第r+1项的系数,可得结论.易错警示　二项式(b+a)n的展开式中的第r+1项为arbn-r,而非ar+1bn-r-1,其中r∈N.综合篇【综合集训】考法一　求二项展开式中特定项或特定项的系数1.(2019豫南九校第三次模拟改编,7)的展开式中的常数项为(　　) A.560　　B.1120　　C.2240　　D.4480答案　B2.(2020福建毕业班质量检查测试)(2x-1)(x+2)5的展开式中,x3的系数是(　　)A.200　　B.120　　C.80　　D.40答案　B3.(2019江西红色七校第二次联考,5)(1+x2)·的展开式中,常数项为(　　)A.-15　　B.16　　C.15　　D.-16答案　B4.(2019宁夏银川九中月考)已知的展开式中含的项的系数为30,则a=(　　)A.　　B.-　　C.6　　D.-6答案　D5.(2019江西上饶二模,7)的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中x3的系数是(　　)A.-184　　B.-84　　C.-40　　D.320答案　A6.(2021届百校联盟普通高中教育教学质量监测)(3x-2)2(x-2)6的展开式中,x4的系数为(　　)A.0　　B.4320　　C.480　　D.3840答案　B考法二　求二项式系数和与展开式中各项系数和7.(2021届广东深圳外国语学校第一次月考)的展开式中,不含x的各项系数之和为　　　　. 答案　2568.(2020山东济宁一中一轮复习质量检测,14)已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的所有项系数之和为 27,则实数a=　　　　,展开式中含x2的项的系数是　　　　. 答案　2;23[教师专用题组]【综合集训】考法一　求二项展开式中特定项或特定项的系数问题1.(2020河南百校联盟9月联合检测,6)(1+x)5的展开式中x2的系数为(　　)A.-15　　B.-5　　C.10　　D.15答案　A　(1+x)5展开式的通项公式为Tr+1=×15-r·xr=xr,当r=2时,T3=x2=10x2,当r=4时,T5=x4=5x4,故(1+x)5的展开式中x2的系数为5+(-2)×10=-15.2.(2020重庆巴蜀中学高考适应月考一,13)二项式(2x+1)6的展开式中,第5项的系数为　　　　. 答案　60解析　因为二项式(2x+1)6展开式的通项为Tr+1=·(2x)6-r·1r,所以T5=·(2x)2=60x2,所以(2x+1)6的展开式中第5项的系数为60.3.(2017安徽合肥二模,15)在的展开式中,常数项为　　　　. 答案　-5解析　的展开式中的通项为Tr+1=(-1)4-r·(r=0,1,2,3,4).当r=0时,T1=1,当r≠0时,的通项为Tk+1=xr-k=(-1)k·xr-2k(k=0,…,r),令r-2k=0,即r=2k.∴r=2,k=1;r=4,k=2. ∴常数项为1-×+×1=-5.考法二　求二项式系数的和与展开式中各项系数和1.(2020吉林通化梅河口五中等校联考,8)若(2-3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a1+a2+a3+…+a6等于(　　)A.-4　　B.4　　C.-64　　D.-63答案　D　(2-3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,令x=0,可得a0=64,再令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a6=1,∴a1+a2+a3+…+a6=-63,故选D.2.(2020安徽江淮十校第一次联考,14)已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x2项的系数是　　　　. 答案　-30解析　本题考查了二项式中指定项的系数,解题时要充分利用展开式的通项求解,考查运算求解能力,属于中档题.由题意可知,(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为(1+1)·(2×1+a)5=2(2+a)5=2,解得a=-1,所以(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x-1)5=x(2x-1)5+(2x-1)5,所以展开式的通项为x·(2x)5-k·(-1)k+·(2x)5-r·(-1)r=·25-k·(-1)k·x6-k+·25-r·(-1)r·x5-r,令得因此,展开式中含x2项的系数为·21·(-1)4+·22·(-1)3=10-40=-30.