§9.5 抛物线基础篇【基础集训】考点一 抛物线的定义及标准方程1.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,若F到直线y=x的距离为,则p为( )A.2 B.4 C.2 D.4答案 B2.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )A.3 B.4 C. D.答案 A3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,△ABC三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为x+4y-20=0,则抛物线的方程为( )A.y2=16x B.y2=8xC.x2=16y D.x2=8y答案 C4.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线方程为( )A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=x答案 B5.已知抛物线C:y=mx2(m∈R,m≠0)过点P(-1,4),则抛物线C的准线方程为 . 答案 y=-
6.抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为 . 答案 137.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,若△FPM是边长为6的等边三角形,则此抛物线的方程为 . 答案 y2=6x考点二 抛物线的几何性质8.已知点F是抛物线y2=2x的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=4,则线段MN中点的横坐标为( )A. B.2 C. D.3答案 A9.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )A.2 B.2 C.2 D.4答案 C10.抛物线x2=y的焦点F的坐标为 ,若该抛物线上有一点P满足|PF|=,且P在第一象限,则点P的坐标为 . 答案 ;(1,1)考点三 直线与抛物线的位置关系11.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )
A. B. C. D.答案 D12.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2 B.3 C. D.答案 B13.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 . 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)[教师专用题组]【基础集训】考点一 抛物线的定义及标准方程1.(2017辽宁鞍山铁东四模,7)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,则抛物线的方程是( )A.y2=4x B.y2=2x C.y2=8x D.y2=6x答案 C 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x1,y1),Q(x2,y2),∴|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2+=x1+x2+p,∵线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,∴10=6+p,得p=4,∴抛物线方程为y2=8x,故选C.2.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐
标是(2,2),则p的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 D 抛物线C:y2=2px的焦点为F,设M,由中点坐标公式可知+=2×2,y1=2×2,解得p=4,故选D.3.(2018江苏南京、盐城高三一模,6)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则实数p的值为 . 答案 6解析 c2=4+5=9,故双曲线的右焦点为(3,0),所以=3,解得p=6.考点二 抛物线的几何性质1.(2019云南曲靖一中1月月考,10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B. C. D.答案 D 解法一:由公式得S△AOB=,其中θ=30°,p=,所以S△AOB=,选D.解法二:易知直线AB的方程为y=,与y2=3x联立并消去x得4y2-12y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-.S△OAB=|OF|·|y1-y2|=×=.故选D.2.(2019广东佛山一中高三期中,5)已知正六边形ABCDEF的边长是2,一条抛物线恰好经过该正六边形相邻的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是( )A. B. C. D.2答案 B 如图所示,
x轴过正六边形的中心O',且平分其一组对边,设B(x0,1),则A(x0+,2),设抛物线方程为y2=2px,p>0,则解得p=,因此焦点到准线距离为,故选B.3.(2020北师大附中期中,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上一点,且满足|MN|=2|NF|,则∠NMF= . 答案 解析 本题考查抛物线的定义,考查学生运用数形结合的思想方法分析问题与解决问题的能力,体现直观想象与数学运算的核心素养.过点N作NH⊥准线l,垂足为H,由抛物线的定义可得|NF|=|NH|,在直角三角形NMH中,由|MN|=2|NH|,可得cos∠MNH==,故∠NMF=∠MNH=.综合篇【综合集训】考法一 求与抛物线定义有关问题的方法1.(2019湖南岳阳二模,4)过抛物线x2=4y的焦点F作直线,交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=( )A.5 B.6 C.8 D.10答案 C2.(2020山东滨州三模,7)已知抛物线C:y2=4x与圆E:(x-1)2+y2=9相交于A,B两点,点M为劣弧
上不同A,B的一个动点,平行于x轴的直线MN交抛物线于点N,则△MNE的周长的取值范围为( )A.(3,5) B.(5,7) C.(6,8) D.(6,8]答案 C3.(2019吉林第三次调研测试,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长取最小值时,线段PF的长为( )A.1 B. C.5 D.答案 B4.(多选题)(2020山东聊城二模,10)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(1,1),则下列结论正确的是( )A.点P到抛物线焦点的距离为B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则△OPQ的面积为C.过点P与抛物线相切的直线方程为x-2y+1=0D.过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M,N点,则直线MN的斜率为定值答案 BCD考法二 抛物线焦点弦问题的求解方法5.(2020山东临沂、枣庄临考演练,6)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F的直线与抛物线交于A,B两点,AB的中点为C,过C作抛物线准线的垂线,交准线于C1,若CC1的中点为M(1,4),则p=( )A.4 B.8 C.4 D.8答案 B
6.(多选题)(2020山东威海三模,11)已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x1,y1),B(1,2),C(x2,y2),F为抛物线的焦点,则( )A.抛物线的准线方程为x=-1B.若++=0,则,,成等差数列C.若A,F,C三点共线,则y1y2=-1D.若=6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2答案 ABD7.(2020山东仿真联考2,14)已知抛物线y2=2px(p>0)与直线l:4x-3y-2p=0在第一、四象限分别交于A,B两点,F是抛物线的焦点,若||=λ||,则λ= . 答案 4[教师专用题组]【综合集训】考法一 求与抛物线定义有关问题的方法1.(2019江苏盐城中学月考)已知抛物线C1:x2=2py(p>0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若△FAB的面积等于1,则C1的方程是 . 答案 x2=2y解析 由题意得F,不妨设A,B,所以S△FAB=·2p·p=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y.2.(2016江苏扬州中学月考,12)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,并且△ABC的重心是抛物线的焦点,BC边所在的直线方程为4x+y-20=0,则抛物线的方程为 . 答案 y2=16x解析 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由可得2y2+py-20p=0,设B(x1,y1),C(x2,y2),
则y1+y2=-,故x1+x2=5-+5-=10-(y1+y2)=10+.设A(x3,y3),由三角形重心为F,可得=,=0,所以x3=-10,y3=,因为A在抛物线上,所以=2p,从而p=8,所以所求抛物线方程为y2=16x.
