§9.3　椭圆专题检测1.在矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为(　　)A.2　　B.2　　C.4　　D.4答案　D　依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长2b=2=2=4.2.(2018广西桂林、柳州联考,10)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A　依题意,设|PF2|=m,则有|PF1|=2m,|F1F2|=m,则椭圆的离心率e===.故选A.3.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为(　　)A.　　B.1　　C.　　D.答案　D　不妨设A点在B点上方,由题意知:F2(1,0),将F2的横坐标代入椭圆方程+=1中,可得A点纵坐标为,故|AB|=3,所以内切圆半径r===(其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长).故选D.一题多解　由椭圆的通径公式得|AB|==3,则=×2×3=3,又易得△ABF1的周长C=4a=8, 则由=C·r可得r=.故选D.4.(2020陕西百校联盟9月联考,10)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与椭圆C交于M,N两点,且=,若|OA|=|AF2|,则直线l的斜率为(　　)A.±1　　B.±　　C.±　　D.±答案　B　设M(x1,y1),N(x2,y2),则两式相减可得+=0,又由题意知A为线段MN的中点,故A,故kOA·kMN=-,因为|OA|=|AF2|,所以kOA=-kMN,所以kMN=±,故直线l的斜率为±.5.(2018广东惠州三调,16)设A、B为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A,B的点P,使得·=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　. 答案　解析　由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(a-x,-y),又·=0,∴(a-x)(-x)+y2=0,得y2=ax-x2>0,∴02b2,又b2=a2-c2,∴>, 又0b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,已知∠F1PF2=120°,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为　　　　. 答案　解析　设|PF2|=m,∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=3m,由可得4c2=13×,∴离心率e==.12.(2019江苏淮阴中学期初)若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为　　　　. 答案　解析　不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),根据椭圆与正方形的对称性,可画出满足题意的图形,如图所示,因为|OB|=a,所以|OA|=a,所以点A的坐标为,又点A在椭圆上,所以+=1,所以a2=3b2,所以a2=3(a2-c2),所以3c2=2a2,所以椭圆的离心率e==. 13.(2019江苏海安中学月考)设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为　　　　. 答案　15解析　如图,|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+=15.14.(2019北京丰台一模文,20)已知椭圆W:x2+2y2=2,直线l1:y=kx+m(km≠0)与椭圆W交于A,B两点,直线l2:y=kx-m与椭圆W交于C,D两点.(1)求椭圆W的离心率;(2)证明:四边形ABCD不可能为矩形.解析　(1)由题知解得则e==,所以椭圆W的离心率为.(2)证明:由于两直线关于原点中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形,所以不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),C(-x1,-y1),D(-x2,-y2)(x1≠±x2), 则②-①得2(-)=-(-),所以kAB·kAD=·==-≠-1.所以AB不垂直于AD.所以四边形ABCD不可能为矩形.15.(2018江苏南通高三调研测试,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,B1,B2是椭圆+=1(a>b>0)的短轴端点,P是椭圆上异于点B1,B2的一动点.当直线PB1的方程为y=x+3时,线段PB1的长为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点Q满足:QB1⊥PB1,QB2⊥PB2,求证:△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值.解析　设P(x0,y0),Q(x1,y1).(1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,从而b=3.由得+=1.所以x0=-.因为|PB1|==|x0|,所以4=·,解得a2=18.所以椭圆的标准方程为+=1. (2)解法一:直线PB1的斜率为=,由QB1⊥PB1,得直线QB1的斜率为=-.于是直线QB1的方程为y=-x+3.同理直线QB2的方程为y=-x-3.联立两直线方程,消去y,得x1=.因为P(x0,y0)在椭圆+=1上,所以+=1,从而-9=-.所以x1=-.所以==2.解法二:设直线PB1,PB2的斜率分别为k,k',则直线PB1的方程为y=kx+3.由QB1⊥PB1,得直线QB1的方程为y=-x+3.将y=kx+3代入+=1,得(2k2+1)x2+12kx=0,因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以x0≠0,从而x0=-.因为P(x0,y0)在椭圆+=1上,所以+=1, 从而-9=-.所以k·k'=·==-,得k'=-.由QB2⊥PB2,得直线QB2的方程为y=-x-3=2kx-3.联立得x=,即x1=.所以===2.评析　第(2)问有两种解法,是选用不同的参数求解的,解法一是用点参数,解法二是用斜率作为参数表示其他量,这是两种常用方法.16.(2018江苏南京、盐城高三二模,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,上顶点A到右焦点的距离为.过点D(0,m)(m≠0)作不垂直于x轴,y轴的直线l交椭圆E于P,Q两点,C为线段PQ的中点,且AC⊥OC.(1)求椭圆E的方程;(2)求实数m的取值范围;(3)延长AC交椭圆E于点B,记△AOB与△AOC的面积分别为S1,S2,若=,求直线l的方程.解析　(1)由题意得所以c=1,b2=a2-c2=1,所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)解法一:由(1)得A(0,1).设P(x1,y1),Q(x2,y2),C(x0,y0),其中x0,y0均不为0,且x1≠x2.因为P,Q两点都在椭圆E上,所以+2=2,+2=2,两式相减得×=-.又=,所以×=-,即=2y0(m-y0).①又AC⊥OC,所以×=-1,即=y0(1-y0).②由①②得y0=2m-1,=(1-2m)(2m-2)∈(0,2),所以0,所以实数m的取值范围为.(3)解法一:设B(x3,y3),点B在椭圆E上,所以+2=2.又AC⊥OC,所以×=-1,即y3=-x3+1,代入上式消去y3,得x3=,所以===.由(2)知y0=2m-1,=(1-2m)(2m-2),b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点P是椭圆的上顶点的一个动点,△PF1F2面积的最大值是4.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,·=0,且||+||=,求此时直线AC的方程.解析　(1)由题意知,当点P是椭圆的上顶点或下顶点时,△PF1F2面积取得最大值,此时,=·2c·b=4,又e==,结合a2=b2+c2,所以a=4,b=2,c=2.所以所求椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知F1(-2,0),由·=0得AC⊥BD.①当直线AC与BD有一条直线的斜率不存在时,||+||=14,不符合题意; ②设直线AC的斜率为k(k存在且不为0),则直线BD的斜率为-.直线AC的方程为y=k(x+2),联立消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0,设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以||=|x1-x2|=.同理可得||=,由||+||==,解得k2=1,故直线AC的方程为y=±(x+2).思路分析　(1)根据离心率e=,△PF1F2面积的最大值是4,结合a2=b2+c2,即可求出a、b,从而得结果;(2)直线与曲线方程联立,根据根与系数关系,弦长公式将||+||用k表示,解方程即可得k的值.方法点拨　求椭圆标准方程时一般利用待定系数法,根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a,b,即可得到椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后利用根与系数的关系解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决.18.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且·=.(1)求弦AB的长;(2)当直线l的斜率k=,且直线l'∥l时,l'交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:直线AP,AQ与 x轴围成一个等腰三角形.解析　(1)由题意可知2c=2,c=,F(,0),设A(x0,y0),B(-x0,-y0),则M,N,由·==,则+=5,则|AB|=2=2.(2)证明:直线l的斜率k=,则l:y=x,y0=x0,由+=5,得A(2,1),将c=代入椭圆方程解得a=2,b=,∴椭圆的方程为+=1.由题意设l':y=x+m(m≠0),联立整理得x2+2mx+2m2-4=0,Δ=4m2-4(2m2-4)>0,即m∈(-2,0)∪(0,2).设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,P(x1,y1),Q(x2,y2),则k1=,k2=.由x2+2mx+2m2-4=0,可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,所以k1+k2=+=== ==0,即k1+k2=0.∴直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.