专题九　平面解析几何备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.从近几年高考情况来看,直线和圆主要考查方程的求法,常以选择题、填空题的形式出现;对于圆锥曲线,基础题目主要考查定义与方程、几何性质,特别是双曲线的几何性质(离心率、渐近线)及抛物线的几何性质.解答题通常以椭圆及抛物线为背景,考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题、证明问题及直线过定点问题.1.直线与圆的问题求解一定要注意数形结合的方法,充分利用圆的几何性质解题.2.恰当选择直线和曲线方程形式,简化计算.3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆锥曲线的交点坐标问题,常常“设而不求”,利用根与系数的关系解题.4.圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧:代点相减法(点差法).5.直线与椭圆或直线与抛物线的位置关系为基本题型,考查曲线的弦长,动点的轨迹方程和有关几何量的求解等.掌握基本解题方法:先联立方程(二次方程和一次方程),再把几何条件代数化,最后结合函数、不等式等知识,解决求值、范围、最值等问题.二、两直线的位置关系1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.三、直线、圆的位置关系1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.四、椭圆、双曲线、抛物线1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.【真题探秘】命题规律,解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,把已知几何条件代数化转化为代数问题来解决.易错警示(1)设直线方程时,应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.总结提升近几年平面解析几何题的呈现形式:第一问往往是求曲线的方程问题;第二问往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.常常需要应用根与系数的关系和判别式.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020北京,54选择题易圆的方程圆心与原点距离的最小值转化法数形结合法数学运算2020课标Ⅰ理,115选择题中直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆相切,直线方程数形结合法数学运算逻辑推理2020课标Ⅰ文,65选择题易直线与圆的位置关系半径、弦长的一半、弦心距的关系数形结合法数学运算逻辑推理2.命题规律与探究1.从2020年高考情况来看,本专题内容的考题与往年相差不大,考题难度以中档为主,题型主要以选择题、填空题的形式出现(如2020年新高考Ⅰ卷第9题B选项、课标Ⅰ卷理数第11题),分值一般为5分.2.本专题内容在高考试题中以考查直线、圆的方程及位置关系为主,常用的解题方法为数形结合法、转化法.注意待定系数法在求解方程问题中的应用.3.在处理直线与圆的位置关系及弦长问题时,常利用几何法.4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理、直观想象.3.命题变化与趋势1.2020年高考对本专题内容的考查方式及题目难度变化不大,延续此前的考试风格,突出直线的基础地位.2.考查内容主要体现在以下方面:①求直线方程与圆的方程;②以直线、圆的位置关系为背景考查与圆有关的弦长、弦中点、切线以及最值等问题;③以直线、圆及圆锥曲线的融合为背景考查根与系数的关系,整体代换思想的应用.这些内容依然是高考考查的重点,因此在备考复习之中应加以重视.同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解题中的应用.4.真题典例,核心考点　(1)直线、圆的方程;(2)直线与圆、圆与圆的位置关系.命题要求　(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程;(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;(3)能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.知识储备　(1)以线段AB为直径的圆的方程已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(2)两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则有一条公共弦,两圆方程相减得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,即为圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.思路分析　由题意可判断直线2x+y+2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0相离,根据圆的知识可知,四点A,P,B,M共圆,且AB⊥MP,根据|PM|·|AB|=4S△PAM=4|PA|与|PA|=可知,当直线MP⊥l时,|MP|最小,也就是|PM|·|AB|最小,求出以MP为直径的圆的方程,根据圆系的知识可知,直线AB是以MP为直径的圆与圆☉M的公共弦,将两圆方程相减即可求出直线AB的方程.命题规律　本章常考题型及方法(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定.(2)利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围.(3)利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长.(4)由直线与圆的位置关系判定有关几何量的最值问题.(5)考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.[教师专用,题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,95多项选择题中椭圆、双曲线的定义和标准方程椭圆、双曲线的标准方程、双曲线的渐近线定义法数学运算2020新高考Ⅰ,2212解答题难圆锥曲线的综合问题直线与椭圆的位置关系、定值(点)问题定义法分类讨论法数学运算逻辑推理2020天津,75选择题中双曲线的几何性质求双曲线的方程定义法数学运算逻辑推理2020课标Ⅰ理,155填空题中双曲线的几何性质双曲线的离心率的求法公式法数学运算2020新高考Ⅰ,135填空题易抛物线的几何性质求抛物线过焦点的弦长公式法逻辑推理数学运算2020课标Ⅰ,文21,理2012解答题难圆锥曲线的综合问题椭圆的定值、定点问题直接法逻辑推理数学运算2020课标Ⅰ文,115选择题中双曲线的定义与标准方程求焦点三角形的面积定义法公式法数学运算2020北京,2015解答题难圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的位置关系数形结合法数学运算2020北京,125填空题中双曲线的几何性质由标准方程求焦点和渐近线公式法数学运算2020北京,74选择题易抛物线的几何性质抛物线的定义定义法数学运算2.命题规律与探究1.从2020年高考情况来看,本专题内容依然为高考热点,考题以中、高难度为主,题型涵盖选择题、填空题和解答题,分值约为20分.2.本专题内容在高考试题中命题形式多样,客观题主要考查圆锥曲线的定义(如2020年新高考Ⅰ卷第9题)、方程和几何性质(如2020年课标Ⅰ卷理数第15题考查求双曲线的离心率),解答题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系及其相关的弦长、弦中点、定点、最值范围等问题.3.在求解圆锥曲线方程时注意待定系数法与定义法的应用,在解决与圆锥曲线弦中点有关问题时注意点差法和根与系数的关系的应用.4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算、直观想象和逻辑推理.3.命题变化与趋势1.2020年高考对本章的考查方式及题目难度变化不大,延续此前的考试风格.2.考查内容主要体现在以下方面:①以圆锥曲线方程为背景考查标准方程的应用(如2020年新高考Ⅰ卷第9题).②以直线与圆锥曲线的位置关系为背景考查弦长(如2020年新高考Ⅰ卷第,13题,可以直接用过抛物线焦点的弦长公式,也可以用通用的弦长公式求解).③以直线与圆锥曲线的位置关系为载体考查定点、定值,取值范围以及存在性问题.④以平面几何知识或圆锥曲线相关内容为载体考查动点轨迹方程的求解.这些内容均为高考考查的重点和热点,因此在备考复习中应加强训练,同时在备考时还需要加强对数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想在解决圆锥曲线综合问题中的应用.§9.1　直线方程与圆的方程基础篇【基础集训】考点一　直线方程1.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是(　　)A.[0,π]　　B.∪C.　　D.∪答案　B2.已知直线l过点(1,2),且在纵轴上的截距为横轴上的截距的两倍,则直线l的方程为(　　)A.2x-y=0　　B.2x+y-4=0C.2x-y=0或x+2y-2=0　　D.2x-y=0或2x+y-4=0答案　D3.(多选题)下列说法正确的是(　　)A.截距相等的直线都可以用方程+=1表示B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ(x-1)D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,答案　BD4.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为　　　　　　　. 答案　4x-3y+9=0考点二　圆的方程5.已知点A(-2,-1),B(1,3),则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)A.+(y+1)2=25　　B.+(y-1)2=25C.+(y+1)2=　　D.+(y-1)2=答案　D6.若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)A.0　　B.1　　C.2　　D.3答案　B7.已知A(0,),B(1,0),O为坐标原点,则△ABO的外接圆方程是(　　)A.x2+y2-x-y=0　　B.x2+y2+x+y=0C.x2+y2-x+y=0　　D.x2+y2+x-y=0答案　A8.已知△ABC三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),则△ABC外接圆的方程为　　　　　　　　　. 答案　(x+3)2+(y-1)2=25[教师专用题组]【基础集训】考点二　圆的方程,1.(2017广东东莞二模,6)平面内动点P到两点A、B的距离之比为常数λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆,若已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为(　　)A.x2+y2-12x+4=0　　B.x2+y2+12x+4=0C.x2+y2-x+4=0　　D.x2+y2+x+4=0答案　D　由题意,设P(x,y),则=,化简可得x2+y2+x+4=0,故选D.2.(2020浙江温州一模,12)已知+=1与x轴,y轴分别交于点A,B,则|AB|=　　　　;以线段AB为直径的圆的方程为　　　　　　　. 答案　2;x2+y2-4x-2y=0解析　本题考查了两点之间的距离公式和利用圆心坐标和半径求圆的方程,属于基础题.由题意,可得点A(4,0),B(0,2),由两点间的距离公式得|AB|==2.以线段AB为直径的圆,其圆心为(2,1),半径为,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,即x2+y2-4x-2y=0.一题多解　用向量法求圆的方程:设M(x,y)为所求圆上任意一点,则·=0,即(x-4)x+y(y-2)=0,即x2+y2-4x-2y=0.综合篇【综合集训】考法一　求直线的倾斜角和斜率1.(2019湖南长沙长郡中学月考,5)已知点(-1,2)和在直线l:ax-y+1=0(a≠0)的同侧,则直线,l的倾斜角的取值范围是(　　)A.　　B.∪C.　　D.答案　D2.(2020广西玉林期末,7)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是(　　)A.-11或k或k<1　　D.k>或k<-1答案　D3.(2020百所名校单元示范卷(五),13)直线l经过A(2,1),B(1,m2),m∈R两点,那么直线l的倾斜角α的取值范围为　　　　　　　　　. 答案　∪考法二　求直线的方程4.(2020山西大同重点中学第六次模拟,7)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为(　　)A.x-2y+3=0　　B.2x+y-3=0C.x-2y-3=0　　D.2x-y-3=0答案　D5(2020豫西五校5月联考,5)过点P(1,2)作直线l,若点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则直线l的方程为(　　),A.4x+y-6=0或x=1　　B.3x+2y-7=0C.4x+y-6=0或3x+2y-7=0　　D.3x+2y-7=0或x=1答案　C6.(多选题)(2020山东聊城一中月考,10)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l方程可能为(　　)A.x-y+1=0　　B.x+y-3=0C.2x-y=0　　D.x-y-1=0答案　ABC考法三　对称问题7.(2020河南郑州二模,4)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为(　　)A.(x+3)2+(y+2)2=4　　B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4　　D.(x+6)2+(y+4)2=4答案　C8.(2020甘肃民勤一中期末,8)如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(　　)A.2　　　　　　　　　　B.3　　C.6　　　　　　　　　　D.2答案　D9.(2019豫南九校第四次联考,14)已知△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为　　　　　. 答案　x+7y-6=0考法四　求圆的方程,10.(2020重庆育才中学3月月考,7)圆C是以直线l:(2m+1)x+(m+1)y+2m=0上的定点为圆心,4为半径的圆,则圆C的方程为(　　)A.(x+2)2+(y-2)2=16　　B.(x-2)2+(y-2)2=16C.(x-2)2+(y+2)2=16　　D.(x+2)2+(y+2)2=16答案　A11.(2020陕西西安中学4月周考,5)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长为6,则圆C的方程为(　　)A.x2+y2-2x-4y-8=0B.x2+y2+2x-4y-8=0C.x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0D.x2+y2+2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0答案　C12.(2019福建漳州八校期中联考,14)已知圆心在直线x-2y-3=0上,且圆经过点A(2,-3),B(-2,-5),则该圆的方程为　　　　　　　　　　　. 答案　x2+y2+2x+4y-5=0(或(x+1)2+(y+2)2=10)13.(2019湖北1月联考)过点A(0,1)和B(1,2),且与x轴相切的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　. 答案　(x-1)2+(y-1)2=1或(x+3)2+(y-5)2=25[教师专用题组]【综合集训】考法三　对称问题1.(2017河北五校联考,5)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为(　　)A.2x+3y-12=0　　B.2x-3y-12=0C.2x-3y+12=0　　D.2x+3y+12=0答案　D　由ax+y+3a-1=0,可得a(x+3)+(y-1)=0,令可得x=-3,y=1,∴M(-3,1),M,不在直线2x+3y-6=0上,设直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6),则=,解得c=12或c=-6(舍去),∴所求直线方程为2x+3y+12=0,故选D.2.(2018河北唐山模拟,13)若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l的方程是　　　　　　　. 答案　x-2y+2=0解析　由得即两直线的交点坐标为(2,2),在直线2x-y-2=0上取一点A(1,0),设A关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a,b),则即解得即对称点的坐标为(4,3),则l的方程为=,整理得x-2y+2=0.3.一束光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),则入射光线所在直线的方程为　　　　　. 答案　5x-4y+2=0解析　设点Q(1,1)关于直线l的对称点为Q'(x',y'),连接QQ'交l于点M,由题知kl=-1,∴kQQ'=1,∴QQ'所在直线的方程为y-1=x-1,即x-y=0,由解得∴M,∴解得即Q'(-2,-2),由光学知识可知,点Q'在入射光线所在的直线上,又kPQ'==,∴,入射光线所在的直线方程为y-3=(x-2),即5x-4y+2=0.4.(2019广东六校联考,15)已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4,一束光线从点P出发,经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T,则|PQ|+|QT|的值为　　　　. 答案　4解析　点P关于x轴的对称点为P'(-1,-2),由反射的对称性可知,直线P'Q与圆相切,|PQ|+|QT|=|P'Q|+|QT|=|P'T|,∵圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为A(3,4),半径r=2,∴|AP'|2=(-1-3)2+(-2-4)2=52,|AT|=r=2,∴|PQ|+|QT|=|P'T|==4.考法四　求圆的方程1.(2018北京丰台一模,10)圆心为(1,0),且与直线y=x+1相切的圆的方程是　　　　　　　　. 答案　(x-1)2+y2=2解析　因为圆心为(1,0),所以设圆的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),因为该圆与直线y=x+1相切,所以r==.故所求圆的方程为(x-1)2+y2=2.2.(2018北京东城二模,13)直线x-y-1=0被圆C所截得的弦长为,则圆C,的方程可以为　　　　　　　　.(写出一个即可) 答案　x2+y2=1(符合题意即可)解析　假设圆心C在原点,则圆心(0,0)到直线x-y-1=0的距离d==,则2=,∴r=1,∴x2+y2=1.3.(2019北京西城期末文,10)以抛物线y2=8x的焦点为圆心,且与直线y=x相切的圆的方程为　　　　　　. 答案　(x-2)2+y2=2解析　依题意可知,抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),圆心到直线y=x的距离即为圆的半径,半径为=,故圆的标准方程为(x-2)2+y2=2.4.(2020北京人大附中开学测试,12)已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上,若圆C与两个坐标轴都相切,则圆C的标准方程是　　　　　　　　. 答案　+=解析　本题考查圆的方程的求法、直线与圆相切,考查学生推理论证能力及运算求解能力,体现数学运算的核心素养.设圆心C(a,b),半径为r,由圆心C在直线y=2x+1上,得b=2a+1,由圆心C(a,b)在第二象限得由圆C与两坐标轴相切得所以解得所以圆C的标准方程是+=.