§8.5 空间向量及其在立体几何中的应用应用篇【应用集训】1.(多选题)(2020山东滨州模拟,10)已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD相交于点O,将△ABD沿BD折起,使顶点A至点M,在折起的过程中,下列结论正确的是( )A.BD⊥CMB.存在一个位置,使△CDM为等边三角形C.DM与BC不可能垂直D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°答案 ABD2.(2020河北衡水中学七调,11)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是对角线AC1上的点(点M与A、C1不重合),则下列结论正确的个数为( )①存在点M,使得平面A1DM⊥平面BC1D;②存在点M,使得DM∥平面B1CD1;③若△A1DM的面积为S,则S∈;④若S1、S2分别是△A1DM在平面A1B1C1D1与平面BB1C1C的正投影的面积,则存在点M,使得
S1=S2.A.1 B.2 C.3 D.4答案 C3.(2020湖北襄阳优质高中联考,18)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,∠ABC=60°,E为棱BC的中点,F为棱PC的动点.(1)求证:AE⊥平面PAD;(2)若锐二面角E-AF-C的正弦值为,求点F的位置.4.(2019安徽六安一中4月月考,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.5.(2019北京怀柔一模文,18)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC,D,E分别为PA,AC的中点.(1)求证:DE∥平面PBC;(2)求证:BC⊥平面PAB;(3)在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.
[教师专用题组]【应用集训】1.如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1⊥底面ABC,∠A1AC=60°.(1)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;(2)已知点D满足=+,在直线AA1上是否存在点P,使DP∥平面AB1C?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.解析 (1)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于点O,连接BO,∴A1O⊥平面ABC.又∠A1AC=60°,且各棱长都相等,∴AO=1,OA1=OB=,BO⊥AC.故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B1(,1,),A1(0,0,),C(0,1,0),∴=(0,1,),=(,2,),=(0,2,0).设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,得n=(-1,0,1).设侧棱AA1与平面AB1C所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|===,∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值为.(2)∵点B的坐标为(,0,0),∴=(-,-1,0),=(-,1,0),∵=+,∴=(-2,0,0),∴点D的坐标为(-,0,0).假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y1,z1),∴=(,y1,z1).∵DP∥平面AB1C,且n=(-1,0,1)为平面AB1C的一个法向量,∴-+z1=0,即z1=.易知与共线,故设=λ,∴∴y1=0.又DP⊄平面AB1C,故存在点P,使DP∥平面AB1C,其坐标为(0,0,),即恰好为A1点.2.(2018青海西宁湟中一中月考,18)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且BC=BB1=,∠A1AB=∠A1AD=60°.(1)求证:BD⊥CC1;(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.
解析 (1)证明:连接A1B,A1D,AC,因为AB=AA1=AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B=A1D.设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC=O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由A1B=A1D=,及BD=AB=2,知A1B⊥A1D,于是AO=A1O=BD=AA1,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩BD=O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直,如图,以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1),C(-1,0,0),=(0,2,0),==(-1,0,1),==(-1,1,0),由==(-1,0,1),得D1(-1,-1,1).设=λ(λ∈[0,1]),易知E(-λ-1,λ-1,1),所以=(-λ-1,λ,1).设平面B1BD的法向量n=(x,y,z),由得令x=1,得n=(1,0,1),设直线DE与平面BDB1所成角为θ,则sinθ=|cos<,n>|==,解得λ=或λ=-(舍去),
所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.3.(2019湖北七市(州)教科研协作体3月联考,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=3,AC=2,点E是PD的中点.(1)求证:PB∥平面AEC;(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M-AC-E的余弦值为?若存在,确定M的位置;若不存在,请说明理由.解析 (1)证明:连接BD交AC于点F,连接EF,如图,在△PBD中,由已知得EF∥PB,(2分)又EF⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,∴PB∥平面AEC.(4分)(2)由题意知,AC,AB,AP两两垂直,如图,以A为坐标原点,以AC,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z
轴建立空间直角坐标系A-xyz.则C(2,0,0),D(2,-3,0),P(0,0,3),B(0,3,0),E,设M(x0,y0,z0),=λ(0<λ<1),则(x0,y0,z0-3)=λ(0,3,-3),得M(0,3λ,3-3λ),(6分)设平面AEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,n1·=0,=,=(2,0,0),得取y1=1,得n1=(0,1,1).设平面MAC的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2·=0,n2·=0,=(0,3λ,3-3λ),=(2,0,0),得取z2=1,得n2=.(9分)设二面角M-AC-E的大小为θ,∵二面角M-AC-E的余弦值为,∴θ为锐角,则cosθ===,(10分)化简得9λ2-9λ+2=0,解得λ=或λ=.易知λ=时,θ为钝角,∴λ=,∴=.故=时,二面角M-AC-E的余弦值为.(12分)4.(2020天津北辰第一次诊断测试,17)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,四边形ADPQ是梯形,PD∥QA,∠PDA=,平面ADPQ⊥平面ABCD,且AD=PD=2QA=2.
(1)求证:QB∥平面PDC;(2)求二面角C-PB-Q的大小;(3)已知点H在棱PD上,且异面直线AH与PB所成角的余弦值为,求线段DH的长.解析 本题考查线面平行、二面角,考查立体几何中的探索性问题.∵平面ADPQ⊥平面ABCD,平面ADPQ∩平面ABCD=AD,PD⊂平面ADPQ,∠PDA=,∴直线PD⊥平面ABCD.以点D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,0),Q(2,0,1),P(0,0,2).(1)证明:易知=(-2,0,0)是平面PDC的一个法向量,=(0,2,-1),∴·=0,又直线QB⊄平面PDC,∴QB∥平面PDC.(2)=(2,2,-2),=(0,2,-2),设n1=(x1,y1,z1)为平面PBC的法向量,则即
不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面PBQ的法向量,=(2,2,-2),=(2,0,-1),则即不妨设z2=2,可得n2=(1,1,2),∴cos==,又知二面角C-PB-Q为钝二面角,∴二面角C-PB-Q的大小为.(3)设H(0,0,h)(0≤h≤2),则=(-2,0,h),=(2,2,-2),|cos<,>|=,即=,∴6h2-25h+24=0,解得h=或h=(舍去).故线段DH的长为.创新篇【创新集训】1.(多选题)(2020山东青岛三模)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1上运动,则下列命题中正确的是( )A.若点P总满足PA⊥BD1,则动点P的轨迹是一条直线B.若点P到点A的距离为,则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆D.若点P到直线AD与到直线CC1的距离相等,则动点P的轨迹是双曲线答案 ABD
2.(2020湖北荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联盟联考,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,下列命题正确的个数是( )①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为;③若P在半圆弧上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为.A.1 B.2 C.3 D.4答案 C3.(2020湖南湘东六校联考,19)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)证明:直线BC∥平面OEF;(2)在线段DF上是否存在一点M,使得二面角M-OE-D的余弦值是?若不存在,请说明理由;若存在,请求出M点所在的位置.
