§8.2　空间点、线、面的位置关系专题检测1.(2019江西八校4月联考,5)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下面四个命题:①若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ;②若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;③若m∥α,n⊂α,则m∥n;④若α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n,则m∥n.其中正确命题的序号是(　　)A.①④　　B.①②　　C.②③④　　D.④答案　D　对于①,垂直于同一个平面的两个平面可能相交,也可能平行,所以命题①错误;对于②,在两个相互垂直的平面内的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,所以命题②错误;对于③,若m∥α,n⊂α,则直线m与n可能平行,也可能异面,所以③错误;对于④,由面面平行的性质定理可知命题④正确,故选D.方法总结　对点、线、面的位置关系的判断,常采用穷举法,即对各种位置关系都进行考虑,要充分利用几何模型的直观性.2.(2019广西桂林高三4月联考,6)已知平面α,β,γ两两垂直,直线a,b,c满足a⊂α,b⊂β,c⊂γ,则直线a,b,c的位置关系不可能是(　　)A.两两平行　　B.两两垂直C.两两相交　　D.两两异面答案　A　假设a,b,c三条直线两两平行,如图所示,设α∩β=l,∵a∥b,a⊄β,b⊂β,∴a∥β.又知a⊂α,α∩β=l,∴a∥l,又知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,∴l⊥γ,又知a∥b,a∥l,∴a⊥γ,又知c⊂γ,∴a⊥c,所以假设不成立.故三条直线a,b,c不可能两两平行,因此选A.3.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(　　)A.①③　　B.②③　　C.②④　　D.②③④答案　C　由题意可知题图①中,GH∥MN,因此直线GH与MN共面;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH与MN共面;题图④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以直线GH与MN异面.故选C.4.(2020北京西城二模,10)佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效,因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目.图1的▱ABCD由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得如图2所示的六面体形状的香囊,那么在图2这个六面体中,棱AB与CD所在直线的位置关系为(　　),图1图2A.平行　　B.相交C.异面且垂直　　D.异面且不垂直答案　B　将图1标上字母如图所示,图1沿虚线折起后如图2.图2由图可知,点D、E重合,点A、C重合,点B、F重合,△ABD为等边三角形,所以棱AB与CD所在直线相交且夹角为60°.故选B.解后反思　本题考查折叠问题,主要弄清折叠前后点、线、角度的变化.5.(2017内蒙古包头十校联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成角θ的取值范围是(　　)A.0<θ<　　B.0<θ≤C.0≤θ≤　　D.0<θ≤答案　D　如图,因为A1B∥CD1,所以∠D1CP(或其补角)即为异面直线CP与BA1所成的角,由题意知点P不能与D1重合,当点P无限与D1靠近时,∠D1CP无限接近于0,当点P由点D1向点A移动时,∠D1CP变大,当点P与点A重合时,∠D1CP最大,为,故∠D1CP的取值范围是,所以异面直线CP与BA1所成角θ的取值范围是,选D.6.(2019福建四地七校10月联考,10)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP=B1Q,则下列命题错误的是(　　),A.存在P,Q在某一位置时,AB∥PQB.△BPQ的面积为定值C.当PA>0时,直线PB1与AQ是异面直线D.无论P,Q运动到任何位置,均有BC⊥PQ答案　B　对于A,当P,Q分别为AD1和B1C的中点时,AB∥PQ,故A正确.对于B,当点P在点A处时,△BPQ的面积为;当点P在AD1的中点处时,△BPQ的面积为,所以△BPQ的面积不为定值,故B错误.对于C,当PA>0时,假设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,与已知AP和B1Q异面相矛盾,所以直线PB1与AQ是异面直线,故C正确;对于D,BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PQ,故D正确.综上,本题选B.7.(2017辽宁五市八校第二次联考)设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点P到平面ABC,平面ABA1,平面ADA1的距离相等,则符合条件的点P(　　)A.仅有一个　　B.有有限多个C.有无限多个　　D.不存在答案　A　与平面ABC,平面ABA1距离相等的点位于平面ABC1D1上;与平面ABC,平面ADA1距离相等的点位于平面AB1C1D上;与平面ABA1,平面ADA1距离相等的点位于平面ACC1A1上.据此可知,满足题意的点位于平面ABC1D1,平面AB1C1D,平面ACC1A1的公共点处,满足题意的点仅有一个,为正方体的中心.选A.8.(2020云南名校高三开学考试,12)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AD,AB,BB1的中点,那么正方体内过E,F,G的截面面积为(　　)A.3　　B.3　　C.2　　D.2答案　B　如图所示,过点E,F,G的截面是一个边长为的正六边形,其面积为6××()2=3.故选B.9.(2020贵州遵义绥阳一模,11)如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE=SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　)A.　　B.　　C.　　D.,答案　D　本题以圆锥为载体进行设题,考查异面直线所成角的定义及求法,正切函数,平行线分线段成比例,考查逻辑推理、数学运算的核心素养,考查学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或其补角)即为异面直线SC与OE所成的角.∵SE=SB,∴SE=BE,又OB=3,∴OF=OB=1.∵SO⊥OC,SO=OC=3,∴SC=3.∵SO⊥OF,∴SF==.∵OC⊥OF,∴CF=.∴在等腰△SCF中,tan∠CSF==.故选D.方法总结　解决异面直线成角问题常用平移法,平移直线有三种方法:中位线、平行四边形、补体平移.本题可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,得出∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据数量关系可得出tan∠CSF的值.10.(2019河北衡水三模,12)已知在高为2,底面边长为3的正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F,G分别是A1C1,A1B1,AB上的点,且有C1E=A1F=BG=1,则过点E,F,G的平面截正三棱柱所得的截面的面积为(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　D　如图所示,在平面ABB1A1内,连接GF并延长与AA1的延长线交于点P,∵A1F=BG=1,AB=3,∴AG=2,A1F∥AG且A1F=AG,∴A1为AP的中点.连接PE并延长与AC的延长线交于点H,交线段CC1于点N,∵A1E∥AC,A1为AP的中点,∴E为PH的中点,∵C1E=1,A1C1=3,∴A1E=2,AH=4,CH=1,∴N为CC1的中点,连接GH交BC于点M,连接MN,则EF∥GH.由连线知平面GMNEF为所求截面.∵∠EA1F=60°,A1E=2,A1F=1,∴EF⊥A1B1,∴GH⊥AB,又知EF⊥A1A,A1A∩A1B1=A1,∴EF⊥平面ABB1A1.又∵∠ABC=60°,∴BM=2,则CM=1,在Rt△PEF中,PF=,EF=,∴S△PEF=××=.在Rt△PGH中,PG=2,GH=2,∴S△PGH=×2×2=2.在△MNH中,NH=NM=,MH=,∴S△MNH=××=,∴截面的面积S=S△PGH-S△PEF-S△MNH=2--=.故选D.11.(2016广西南宁二模,16)已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,给出下列四个命题:①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.其中正确命题的个数为　　　　. 答案　2解析　①中m,n可能异面或相交,故不正确;②因为m∥α,n⊥β,且α⊥β成立时,m,n两直线的位置关系可能是相交、平行、异面,故不正确;③因为m⊥α,α∥β可得出m⊥β,再由n∥β可得出m⊥n,故正确;④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故③④正确.评析　本题考查了立体几何的几种基本关系,空间思维能力.,12.(2017广西柳州模拟,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=2,BC=AA1=2,AB=2,D是线段AB上一点,且AC1∥平面CDB1,则直线AC1与CD所成角的余弦值为　　　　. 答案　解析　连接BC1交B1C于点O,则O为BC1的中点,连接OD.因为AC1∥平面CDB1,AC1⊂平面AC1B,平面CDB1∩平面AC1B=OD,所以AC1∥OD,则D为AB的中点,于是∠ODC或其补角即为直线AC1与CD所成的角.由AC=2,BC=2,AB=2,得AB2=AC2+BC2,则∠ACB=90°,所以DC=AB=.由BC=AA1=BB1=2,得CB1=4.则OC=CB1=2.由AC=2,CC1=AA1=2,得AC1=2,所以DO=AC1=,所以cos∠ODC===.13.(2018皖南八校联考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于点B,C),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为　　　　. 答案　解析　当点M为线段BC的中点时,由题意可知,截面为四边形AMND1,从而当0时,平面AMN与平面A1B1C1D1也有交线,故截面为五边形,所以若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为.