§7.2 平面向量的数量积及向量的综合应用基础篇【基础集训】考点一 平面向量的数量积1.已知向量=(1,2),=(-3,1),则·=( )A.6 B.-6 C.-1 D.1答案 B2.已知a=(-1,3),b=(m,m-4),c=(2m,3),若a∥b,则b·c=( )A.-7 B.-2 C.5 D.8答案 A3.已知|a|=1,|b|=2,且a⊥(a+b),则a在b方向上的投影为( )A.-1 B.1 C.- D.答案 C考点二 平面向量数量积的应用4.已知向量a=(,0),b=(0,-1),c=(k,),若(a-2b)⊥c,则k=( )A.2 B.-2 C. D.-答案 B5.已知单位向量e1,e2的夹角为θ,且tanθ=2,若向量m=2e1-3e2,则|m|=( )A.9 B.10 C.3 D.答案 C6.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 C7.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于( )A.- B.1 C.2 D.答案 B8.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )A.- B. C. D.答案 B[教师专用题组]【基础集训】考点一 平面向量的数量积1.(2017北京东城一模,5)已知向量a,b满足2a+b=0,a·b=-2,则(3a+b)·(a-b)=( )A.1 B.3 C.4 D.5答案 B ∵2a+b=0,∴a与b的夹角为π,且|b|=2|a|,又∵a·b=-2,∴|a|·|b|·cosπ=-2,∴|a|=1,|b|=2,故(3a+b)·(a-b)=3|a|2-2a·b-|b|2=3×1-2×(-2)-4=3.2.(2018河南新乡二模,5)若向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,则m·n=( )A.0 B.4 C.- D.-答案 D ∵向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,
∴2k-1-4k=0,解得k=-,∴m=,∴m·n=-2×4+×1=-.故选D.3.(2017曲一线命题专家高考模拟磨尖卷四·沈阳卷,15)若a,b是两个互相垂直的单位向量,则向量a-b在向量b方向上的投影为 . 答案 -解析 向量a-b在向量b方向上的投影为===-.思路分析 利用投影的定义,求的值.考点二 平面向量数量积的应用1.(2018北京石景山一模,5)已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为( )A.1 B. C.2 D.3答案 D 因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,所以a·b=|a|·|b|cos120°=3×2×=-3,因为(a+mb)⊥a,所以(a+mb)·a=a2+ma·b=32-3m=0,解得m=3,故选D.2.(2017北京西城二模,6)设a,b是平面上的两个单位向量,a·b=.若m∈R,则|a+mb|的最小值是( )
A. B. C. D.答案 C 由题意得|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=1+m+m2=+,故当m=-时,|a+mb|2取得最小值,为,此时|a+mb|取得最小值,为,故选C.3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=( )A.1 B. C.2 D.2答案 D 由题意可知,|a|=,|b|=3,a∥b,且a与b方向相反.由c·(4a+b)=5,可得4a·c+b·c=5,由c与b的夹角为120°可得c与a的夹角为60°,所以b·c=|b||c|cos120°=-|c|,a·c=|a||c|cos60°=|c|.所以4×|c|+=5,解得|c|=2,故选D.4.(2018湖北宜昌二模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若=λ+,且⊥,则实数λ的值为( )A. B. C.6 D.答案 A 因为=λ+,且⊥,所以有·=(λ+)·(-)=λ·-λ+-·=(λ-1)·-λ+=0,整理可得(λ-1)×3×4×cos120°-9λ+16=0,
解得λ=,故选A.解题关键 解答本题的关键是由题意得出·=(λ+)·(-)=0,进而求得λ的值.5.(2017重庆育才中学模拟,6)过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB,若在该圆上存在一点C,使得=a+b(a、b∈R),则以下说法正确的是( )A.点P(a,b)一定在单位圆内B.点P(a,b)一定在单位圆上C.点P(a,b)一定在单位圆外D.当且仅当ab=0时,点P(a,b)在单位圆上答案 B 易知||==1.∵⊥,||=||=1,∴||==1,∴OP==1,又圆的半径为1,∴点P一定在单位圆上.故选B.6.(2018江西九江二模,6)在Rt△ABC中,AB=AC,点M、N是线段AC的三等分点,点P在线段BC上运动且满足=k,当·取得最小值时,实数k的值为( )A. B. C. D.答案 C 建立平面直角坐标系,如图所示,设AB=AC=3,P(x,3-x)(0≤x≤3),则M(1,0),N(2,0),=(1-x,x-3),=(2-x,x-3),
则·=2x2-9x+11=2+,∴当x=时,·取得最小值,此时P,∴k==.故选C.7.(2018河北唐山二模,7)在△ABC中,∠C=90°,AB=6,点P满足CP=2,则·的最大值为( )A.9 B.16 C.18 D.25答案 B ∵∠C=90°,AB=6,∴·=0,∴|+|=|-|=||=6,∴·=(+)·(+)=+·(+)+·=·(+)+4,∴当与+方向相同时,·(+)取得最大值2×6=12,∴·的最大值为16.故选B.8.(2017甘肃嘉峪关二模,7)若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足=+,则·的值为( )A.2 B.- C. D.-2答案 A 如图所示,A,B,C,∴=,=(3,0),∴=+=+(3,0)=,∴=+=,
∴=-=,=-=,∴·=-1×+×=2,故选A.思路分析 建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解.方法总结 向量的坐标运算体现了数形结合的思想方法,因此,在解题时应充分重视.9.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则·的取值范围是( )A. B.[-1,1) C. D.[-1,0)答案 A 如图,连接OC.·=(-)·(-)=·-·-·+=·+=-1+,∵∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点,∴||∈,∴·∈,故选A.解题关键 题中的隐含条件·=-1,+=0是解题关键.10.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足a·(a+b)=0,2|a|=|b|,则向量a,b的夹角
为 . 答案 解析 设a与b的夹角为θ,因为a·(a+b)=0,所以a·a+a·b=0⇒|a|·|a|+|a|·|b|cosθ=0,又因为2|a|=|b|≠0,所以|a|·|a|+2|a|·|a|cosθ=0,即1+2cosθ=0,所以cosθ=-,从而θ=.11.(2017宁夏银川质检,13)在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点E为DC的中点,则·= . 答案 -3解析 解法一:由已知,可得=+=+,=+=-,∴·=·=-=1-4=-3.解法二:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0,0),B(4,0),E(2,1),∴=(2,1),=(-2,1),∴·=-4+1=-3.思路分析 解法一利用平面向量的几何性质解题,解法二通过建立平面直角坐标系,求出各点坐标,利用向量的坐标运算解题.解法一侧重于逻辑推理,对思维能力要求较高,解法二的解题关键是建立恰当的平面直角坐标系,侧重于计算,思路简单.两种解法各有优劣,可根据实际情况灵活选用.12.(2016北京朝阳期中,7)在△ABC中,已知·=4,||=3,M,N分别是BC边上的三等分点,则·的值是( )
A.5 B. C.6 D.8答案 C 解法一:如图,设BC的中点为O,连接AO.由·=4,||=3,可得(+)·(+)=(+)·(-)=-=-=4,∴=.∴·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-=6.故选C.解法二:∵||=3,∴|-|2=9.∴+-2·=9,又·=4,∴+=17.又∵=+=+(-)=+,=+=+(-)=+,∴·=·=(+)+·=+=6.13.(2018北京通州期中,13)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足=2,
则·(+)的值为 . 答案 -4解析 ∵AM=3,点P在AM上,且满足=2,∴||=2.∵M是BC的中点,∴+=2=,∴·(+)=·=-||2=-4.综合篇【综合集训】考法一 求向量模的方法1.(2019甘肃静宁一中三模)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=( )A. B. C.2 D.5答案 D2.(多选题)(2020山东临沂、枣庄临考演练,9)设向量a=(2,0),b=(1,1),则( )A.|a|=|b| B.(a-b)∥b C.(a-b)⊥b D.a与b的夹角为答案 CD3.(2020浙江温州二模(4月),12)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则|a+b|= ,b在a上的投影等于 . 答案 ;4.(2020浙江绍兴嵊州期末,16)已知单位向量a,b满足|a-2b|=|2b|,设向量c=a+x(2b-a),x∈[0,1],
则|c+a|的取值范围是 . 答案 考法二 求平面向量夹角的方法5.(2020山东青岛期末,3)向量a,b满足|a|=1,|b|=,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为( )A.45° B.60° C.90° D.120°答案 C6.(2020皖江名校联盟第五次联考,6)已知单位向量a满足2|a|=|b|,|a+2b|=,则a与b的夹角为( )A.30° B.60° C.90° D.120°答案 D7.(多选题)(2020山东泰安二模,10)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,下列说法正确的是( )A.a与b的夹角为钝角B.向量a在b方向上的投影为C.2m+n=4D.mn的最大值为2答案 CD8.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 . 答案 [教师专用题组]【综合集训】考法一 求向量模的方法1.(2019吉林第一次调研,5)已知等边△ABC的边长为2,则|+2+3|=( )
A.2 B.2 C.4 D.12答案 A 由题意得·=-2,·=-2,·=-2,则|+2+3|2=+4+9+4·+6·+12·=4+16+36-8-12-24=12,∴|+2+3|=2.故选A.2.(2017湖南永州一模,11)已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(x∈R且x≠0,y∈R),则的最大值为( )A. B. C. D.3答案 A ==,当=-=时,4-4·+4取得最小值,且最小值为3,所以的最大值为,则所求最大值为.3.已知在△ABC中,D为BC的中点,若∠BAC=120°,·=-1,则||的最小值为( )A. B. C. D.答案 B 显然有||=|+|.因为·=-1,∠BAC=120°,所以||·||==2,可得||2=(||2+||2-2)≥(2||·||-2)=,
所以||min=.4.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( )A.[3,] B.[3,5]C.[3,4] D.[,5]答案 B ∵a、b均为单位向量,且a·b=0,∴设a=(1,0),b=(0,1).设c=(x,y),由|c-4a|+|c-3b|=5,得+=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距离之和为5,令c的起点为坐标原点O,则c的终点的轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段,又|c+a|=表示M(-1,0)到线段AB上的点的距离,且最小值是点M(-1,0)到直线3x+4y-12=0的距离,∴|c+a|min==3.又最大值为|MA|=5,∴|c+a|的取值范围是[3,5].故选B.5.(2018河北衡水中学六调,8)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则||的取值范围是( )A.[,2] B.[,2)C.(,) D.[,2]
答案 B ∵=(3,1),=(-1,3),∴=m-n=(3m+n,m-3n),则||==,令t=,则||=t,而m+n∈[1,2],即1≤m+n≤2,又m>0,n>0,故在平面直角坐标系中表示如图(阴影区域不包括横轴与纵轴的相应部分),t=表示阴影区域中任意一点与原点(0,0)的距离,分析可得,≤t<2.结合||=t,得≤||<2.故选B.考法二 求向量夹角的方法1.已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角为( )A. B. C. D.答案 C 设a与b的夹角为θ.∵(a-b)·(a+b)=-15,∴a2-b2=-15,又|a|=,∴|b|=5.又a·b=-,∴cosθ===-,又θ∈[0,π],∴θ=.故选C.2.已知i、j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a、b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( )
A. B.C.∪ D.(-∞,-2)∪答案 D 由题意知a=(1,-2),b=(1,λ),因为a、b的夹角为锐角,所以cos
==>0,且a与b不共线,即λ<且λ≠-2.故选D.3.a,b是非零向量,若a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直.试求a与b的夹角.解析 解法一:设a与b的夹角为θ.由题意知∴由①-②得46a·b-23b2=0,所以b2=2a·b. ③将③代入②得a2=2a·b,∴|a|=|b|,∴由b2=2a·b可知|b|2=2|a||b|cosθ,∴cosθ=,∵0°≤θ≤180°,∴θ=60°,即向量a与b的夹角为60°.解法二:设a与b的夹角为θ.由题意知∴①×15+②×8得|a|=|b|,由①得7|a|2+16|a||b|cosθ-15|b|2=0,∴7+16cosθ-15=0,∴cosθ=,∵0°≤θ≤180°,∴θ=60°,即向量a与b的夹角为60°.
