专题七　平面向量备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、平面向量的概念、线性运算及基本定理1.理解平面向量的概念,向量相等及几何表示,理解向量的加、减法,数乘向量的运算及其几何意义,理解两向量共线的意义及表示.2.熟练掌握向量的线性运算,能进行准确、快捷的向量计算.1.从近几年高考情况来看,考题难度以中低档为主,题型主要以选择题或填空题的形式出现,分值为5分.2.本专题内容在2020年的高考试题中多以平面向量的线性运算、平面向量的数量积为考查点(如2020新高考Ⅰ卷第7题是以正六边形为背景考查向量数量积的运算,2020课标Ⅰ卷理数第14题考查了单位向量与用数量积求向量的模,2020天津卷第15题以四边形为载体考查用基底表示平面向量及求数量积,同时与最值问题相联系),近几年的高考试题都注重学生对平面向量的基本知识和基本解题方法的考查.3.本专题重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.1.结合图形理解平面向量的概念、向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.2.理解平面向量基本定理的实质,会用给定的基底表示向量.3.通过建立平面直角坐标系能求出向量的坐标,会进行平面向量的和、差、数乘向量及数量积的坐标运算.4.掌握用数量积的定义、几何意义求两向量的数量积并能用数量积求两向量夹角,判断或证明向量垂直、求向量的模.5.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.二、平面向量的数量积及向量的综合应用1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.掌握求向量长度的方法;能运用数量积表示两个向量的夹角;会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.了解平面向量基本定理及其意义.【真题探秘】命题立意本题以正六边形为背景,考查求两个向量数量积的取值范围问题.解题过程如图,过点P作PP1⊥直线AB于P1,过点C作CC1⊥直线AB于C1,过点F作FF1⊥直线AB于F1,·=||·||·cos∠PAB,当∠PAB为锐角时,||·cos∠PAB=||,当∠PAB为钝角时,||·cos∠PAB=-| |,所以当点P与C重合时,·最大,此时·=||||=6,当点P与F重合时,·最小,此时·=-||·||=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-2<·<6.故选A.拓展延伸利用向量常解决的几何问题:(1)证明线线平行,或判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件,a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0(x2≠0,y2≠0)(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).(2)求向量的模|a|==(其中a=(x,y)).(3)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).(4)求夹角问题:利用夹角公式cosθ==(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).用向量方法解决几何问题的步骤:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020课标Ⅰ理,145填空题易数量积的定义及夹角与模问题求向量的模定义法数学运算2020新高考Ⅱ,35单项选择题易向量的线性运算向量的线性运算定义法逻辑推理数学运算2020新高考Ⅰ,75单项选择题中数量积的综合应用求数量积的取值范围分类讨论法数学运算逻辑推理直观想象2020北京,135填空题中数量积的综合应用求向量的模、数量积定义法数学运算逻辑推理2020天津,155填空题难数量积的综合应用建立函数模型求数量积最值定义法数学运算逻辑推理直观想象2020课标Ⅰ文,145填空题易数量积的定义及夹角与模问题向量的坐标运算、数量积公式法数学运算2.命题规律与探究1.从近几年高考情况来看,本专题内容的考题难度以中、低档为主, 题型主要以选择题或填空题的形式出现,分值为5分.2.本专题内容在高考试题中以平面向量的线性运算、平面向量的数量积为主要考查点,考查学生对平面向量的基本知识和基本解题方法的掌握情况.3.在处理与平面向量有关的问题时,注意坐标法和基底法在解题中的应用.4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.3.命题变化与趋势1.高考对本专题内容的考查较为稳定,考查方式及题目难度在近两年中变化不大,延续此前的考试风格.2.考查内容主要体现在以下方面:①以平面几何为背景考查平面向量的线性运算以及共线问题;②以平面向量的夹角、模长等内容为入手点,考查平面向量的坐标运算以及数量积等问题;③以平面向量的数量积为载体,考查向量数量积的坐标运算、几何意义及取值范围问题,从而体现向量的工具性.同时注意方程思想、数形结合思想以及整体意识在解决平面向量问题中的应用.§7.1　平面向量的概念、线性运算及基本定理基础篇【基础集训】考点一　平面向量的概念及线性运算1.下列命题中,正确的个数是(　　)①单位向量都相等;②模相等的两个平行向量是相等向量;③若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b;④若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.A.0　　B.1　　C.2　　D.3答案　A2.设D为△ABC中BC边上的中点,且O为AD上靠近点A的三等分点,则(　　) A.=-+　　B.=-C.=-　　D.=-+答案　D3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于(　　)A.　　B.2　　C.3　　D.4答案　D4.(2a-3b)-3(a+b)=　　　　. 答案　-a-4b考点二　平面向量基本定理及坐标运算5.如图,在△ABC中,=,P是BN的中点,若=m+,则实数m的值是(　　)A.　　B.1　　C.　　D.答案　C6.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A 7.向量a=,b=(cosα,1),且a∥b,则cos2α=(　　)A.　　B.-　　C.　　D.-答案　C8.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若(a+b)∥(4b-2a),则实数x的值是(　　)A.-2　　B.3　　C.　　D.2答案　D9.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=　　　　. 答案　4[教师专用题组]【基础集训】考点一　平面向量的概念及线性运算1.(2019天津耀华中学统练(2),2)已知A、B、C、D是平面内任意四点,现给出下列式子:①+=+;②+=+;③-=+.其中正确的有(　　)A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.3个答案　C　①式的等价式是-=-,左边=+,右边=+,不一定相等;②式的等价式是-=-,即=成立;③式的等价式是=++=成立.综上可知正确的是②③.故选C.2.(2016青海西宁二诊,7)已知点P为△ABC所在平面内一点,边AB的中点为D,若2=(1-λ) +,其中λ∈R,则P点一定在(　　)A.AB边所在的直线上　　B.BC边所在的直线上C.AC边所在的直线上　　D.△ABC的内部答案　C　因为2=(1-λ)+,所以2(+)=-λ+,2+2=-λ+,+2-=-λ,因为D为边AB的中点,所以=-λ,所以P点一定在AC边所在的直线上.思路分析　利用向量的线性运算化简后,结合共线向量定理求解.解题关键　由向量的线性运算得=-λ是求解关键.3.(2018江西师大附中12月模拟,10)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=(　　)A.　　B.C.　　D.答案　D　因为D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点,所以+2+3=(+)+2×(+)+3××(+)=+++++=++=+=,故选D.4.(2018福建高三4月质检,3)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系:在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是(　　) A.-=　　B.+=C.-=　　D.+=答案　A　由题意得,-=-===,所以A正确;+=+==,所以B错误;-=-==,所以C错误;+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,所以D错误.故选A.5.(2019湖南顶级名校摸底考试,4)如图,已知=a,=b,=4,=3,则=(　　)A.b-a　　B.a-bC.a-b　　D.b-a答案　D　=+=+=(-)-=-=b-a.选D.6.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是(　　)A.λμ=1　　B.λμ=-1C.λ-μ=1　　D.λ+μ=2答案　A　若A,B,C共线,则∥,即存在实数k,使得=k.∵=a+μb,=λa+b,∴a+μb=k(λa+b),即(1-kλ)a+(μ-k)b=0. ∵a,b是不共线的非零向量,∴解得λμ=1.故A,B,C三点共线的充要条件为λμ=1.故选A.7.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=(　　)A.-　　B.-C.-+　　D.-+答案　C　如图,取AB的中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以==-=-,∴=+=+=+=+,于是=-=-=-=-+,故选C.解题关键　选定向量、为基底,正确利用向量的线性运算是求解关键.8.(2018吉林长春模拟,6)在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且=+,则=(　　)A.　　B.　　C.　　D. 答案　B　设直线AD与BC交于点E,=x.∵=+,∴=+.∵E、B、C三点共线,∴+=1,∴x=,∴=,∵=+,∴+=,∴=5.∵=+,∴(-)=(-),∴=.设S△DEC=2x,则S△DBE=3x,∵=5,∴S△ABD=5×3x=15x,∴===.考点二　平面向量基本定理及坐标运算1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=,b=(cosα,1),且a∥b,则cos2α=(　　)A.　　B.-　　C.　　D.-答案　C　∵a∥b,a=,b=(cosα,1),∴-tanαcosα=0,即sinα=,∴cos2α=1-2sin2α=1-2×=.故选C.2.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2), 且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)A.(-∞,2)　　B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)　　D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案　D　根据题意知,向量a,b是不共线的两个向量,∵a=(1,2),b=(m,3m-2),∴≠,解得m≠2.∴m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞).故选D.3.(2019安徽合肥第一次质检,5)设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为(　　)A.　　B.(-6,8)C.　　D.(6,-8)答案　D　因为向量b与向量a方向相反,所以可设b=λa=(-3λ,4λ),λ<0,则|b|===5|λ|=-5λ=10,所以λ=-2,所以b=(6,-8).故选D.4.(2019浙江温州高三适应性测试,4)在△ABC中,D是线段BC上一点(不包括端点),=λ+(1-λ),则(　　)A.λ<-1　　B.-1<λ<0C.0<λ<1　　D.λ>1答案　C　由已知可得-=-λ+(1-λ)(-),即=(1-λ),因为D是线段BC上一点(不包括端点),所以0<1-λ<1,解得0<λ<1.5.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=(　　)A.-2　　B.-　　C.-　　D. 答案　A　∵=+=+=-+=-,=λ+μ,∴λ=1,μ=-,∴=-2.故选A.6.(2019湖北重点中学第一次联考,5)已知向量a=(-2,1),b=(-1,3),则(　　)A.a∥b　　B.a⊥bC.a∥(a-b)　　D.a⊥(a-b)答案　D　根据题意,依次分析选项:对于A,向量a=(-2,1),b=(-1,3),有1×(-1)≠(-2)×3,则a∥b不成立,故A错误;对于B,向量a=(-2,1),b=(-1,3),有a·b=(-2)×(-1)+1×3=5,则a⊥b不成立,故B错误;对于C,向量a=(-2,1),b=(-1,3),有a-b=(-1,-2),且(-2)×(-2)≠1×(-1),则a∥(a-b)不成立,故C错误;对于D,向量a=(-2,1),b=(-1,3),则a-b=(-1,-2),有a·(a-b)=(-1)×(-2)+1×(-2)=0,则a⊥(a-b),故D正确.故选D.7.(2018辽宁大连期末,8)在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　(　　)A.　　B.2　　C.　　D.1答案　C　∵在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,∴=+,=+=+, =+=+.∵=λ+μ,其中λ,μ∈R,∴=+=λ+μ=+,∴∴(λ+μ)=2,解得λ+μ=.故选C.思路分析　以,为基底,利用向量加法、减法和数乘的运算,解方程组求解.解题关键　把,用,表示是求解关键.8.(2019河北3月质检,6)在△ABC中,O为△ABC的重心.若=λ+μ,则λ-2μ=(　　)A.-　　B.-1　　C.　　D.-答案　D　如图,连BO并延长交AC于点M,∵点O为△ABC的重心,∴M为AC的中点,∴===-+=-+(-)=-+,又知=λ+μ,∴λ=-,μ=,∴λ-2μ=--2×=-,故选D.9.(2017福建福州3月质检,6)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(　　)A.4　　B.6　　C.8　　D.9 答案　C　∵=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),∴=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),∵A,B,C三点共线,∴=λ,即(a-1,1)=λ(-b-1,2),∴可得2a+b=1,∵a>0,b>0,∴+=(2a+b)=2+2++≥4+2=8,当且仅当=,即a=,b=时取等号,故+的最小值为8,故选C.规律总结　三点共线常用的处理办法有:(1)转化为向量共线,再利用向量共线的坐标表示求解;(2)利用直线的斜率相等求解.综合篇【综合集训】考法一　与平面向量线性运算有关的解题策略1.(2020河北邯郸一模,4)在平行四边形ABCD中,若=4,则=(　　)A.-+　　B.+ C.-+　　D.-+答案　A2.(2020河北廊坊第一次联考,6)在△ABC中,=2,E是AD的中点,则=(　　)A.+　　B.-C.-　　D.+答案　A3.(2020山东滨州三模,5)已知点O是△ABC内一点,且满足+2+m=0,=,则实数m的值为(　　)A.-4　　B.-2　　C.2　　D.4答案　D4.(2019安徽安庆调研,6)如图,直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线AC于K,其中,=,=,=λ,则λ的值为(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A5.(2019福建泉州四校第二次联考,11)如图,=2,=2,=m,=n,若m=,则n=(　　) A.　　B.　　C.　　D.答案　A考法二　与平面向量坐标运算有关的解题策略6.(2020百校联考高考考前冲刺(二),2)已知向量a=(1,0),b=(1,),则与2a-b共线的单位向量为(　　)A.　　B.C.或　　D.或答案　D7.(2020河南开封二模,11)在△ABC中,A=,AB=3,AC=4,动点P在△ABC的内切圆上,若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　　)A.　　B.　　C.1　　D.2答案　C8.(2019北京西城月考,5)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1),若∥,则实数m的值为(　　)A.-　　B.-3　　C.-　　D.答案　B9.(2020天津南开中学统练(23),5)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=,AB=2,AD=1,若M,N分别是边AD,CD上的点,且满足==λ,其中λ∈[0,1],则·的取值范围是(　　) A.[-3,-1]　　B.[-3,1]　　C.[-1,1]　　D.[1,3]答案　A[教师专用题组]【综合集训】考法二　与平面向量坐标运算有关的解题策略1.(2019江苏扬州质检,9)若向量a与b既不平行也不垂直,则称向量a与b斜交.已知向量m=(1,3)与n=(-2,t)斜交,则实数t的取值范围是(　　)A.(-∞,-6)∪B.(-∞,-6)∪∪C.∪(6,+∞)D.∪∪(6,+∞)答案　B　根据题中定义,有解得故实数t的取值范围是(-∞,-6)∪∪.故选B.2.(2018天津六校期中联考,16)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·=5,=10.(1)求D点的坐标;(2)若D点在第二象限,用,表示;(3)设=(m,2),若3+与垂直,求的坐标.解析　(1)设D(x,y), 由题意得=(1,2),=(x+1,y),∴(3分)即解得或∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(5分)(2)∵D点在第二象限,∴D(-2,3).∴=(-1,3).设=k+n,∵=(-2,1),∴(-2,1)=k(1,2)+n(-1,3),(7分)∴∴∴=-+.(9分)(3)∵3+与垂直,∴(3+)·=0,(11分)又∵3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),∴m+14=0,∴m=-14,∴的坐标为(-14,2).(13分)