§7.1 平面向量的概念、线性运算及基本定理专题检测1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为( )A. B.C. D.答案 A ∵向量a=(2,-9),b=(-3,3),∴a-b=(5,-12),设与a-b同向的单位向量为e=(x,y),则a-b=λe(λ>0),|e|=1,∴x=,y=,x2+y2=1,解得λ=13,x=,y=-,故选A.2.(2017河北石家庄二中月考,7)M是△ABC所在平面内一点,++=0,D为AC的中点,则的值为( )A. B. C.1 D.2答案 B 连接MD.因为++=0,D为AC的中点,所以-=+=2,所以=-,故M在中线BD上,且为靠近D的一个四等分点,故=.3.(2018辽宁丹东五校协作体联考,8)P是△ABC所在平面上的一点,满足++=2,若S△ABC=6,则△PAB的面积为( )A.2 B.3 C.4 D.8答案 A ∵++=2=2(-),
∴3=-=,∴∥,且方向相同.∴===3,∴S△PAB==2.故选A.4.(2019广西名校高三联考,9)在△ABC中,点F为AB边上靠近点A的三等分点,点E为AC边上靠近点A的三等分点,BE与CF相交于点O,则=( )A.+ B.+C.+ D.+答案 D 连接EF,由AB=3AF,AC=3AE可得EF∥BC,且BC=3EF,由△EOF∽△BOC,得=,则BO=3OE,故有=3,则-=3(-),即=+=+.5.(2018四川成都三诊,6)已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t的值为( )A. B. C. D.答案 B 以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC,连接OF,与BC相交于点E,则E为BC的中点.
∵=(+),∴+=2=2,∴点O是线段AE的中点.∵=t,B,O,D三点共线,∴点D是BO与AC的交点.过点O作OM∥BC交AC于点M,则点M为AC的中点,∴OM=EC=BC,=,∴DM=MC,∴AD=AM=AC,∴t=.6.(2018安徽淮南一模,8)已知G是△ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且=x,=y(x,y>0),则3x+y的最小值是( )A. B.+ C. D.答案 B 设BC的中点为D,则==+=+,
∵M,G,N三点共线,∴+=1.又x>0,y>0,∴3x+y=(3x+y)=++≥+2=+.当且仅当=,即x=+时取等号,∴3x+y的最小值是+.故选B.7.(2018海南海口模拟,10)点O为△ABC内一点,且存在正数λ1,λ2,λ3使λ1+λ2+λ3=0,设△AOB,△AOC的面积分别为S1,S2,则S1∶S2=( )A.λ1∶λ2 B.λ2∶λ3 C.λ3∶λ2 D.λ2∶λ1答案 C 取λ1=,λ2=,λ3=.∵λ1+λ2+λ3=0,∴++=0,∴+2+3=0,设2=,3=,如图,则O是三角形AB1C1的重心,故三角形AOB1和三角形AOC1的面积相等,又S△AOB=,S△AOC=,∴△AOB与△AOC的面积之比是∶=,即λ3∶λ2.故选C.
思路分析 利用特值法和数形结合的方法求解.疑难突破 抓住三角形重心O的几何意义,并灵活利用数形结合是突破难点的关键.8.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则实数λ+μ= . 答案 解析 如图,∵=+=+=+,①=+=+,②由①②得=-,=-,∴=+=+=-+-=+,又∵=λ+μ,∴λ=,μ=,∴λ+μ=.9.(2018中原名校9月联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且=2,AM与BN相交于点P,则= .
答案 4解析 设=a,=b,=μ,∵A、P、M共线,∴存在唯一实数λ,使得=λ.又M为BC的中点,∴=(+)=(a+b).∴=λ(a+b).又=+=+μ=+μ(-)=+μ=(1-μ)a+μb.根据平面向量基本定理得解得λ=,μ=.∴=,=.∴||∶||=4∶1,即=4.思路分析 选{,}为一组基底,设=a,=b,=μ,由A,P,M共线得=λ(a+b),同理得=(1-μ)a+μb,利用平面向量基本定理构造λ,μ的方程组,求得λ与μ的值,从而得出的值.10.(2018福建福州二模,16)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,若=x+y(x,y∈R),则x-y的值为 . 答案 -1
解析 如图,延长DC,AB,交于点E,因为∠DCA=2∠BAC,所以∠BAC=∠CEA.又∠ABC=90°,所以=-.因为=x+y,所以=-x+y.因为C,D,E三点共线,所以-x+y=1,即x-y=-1.思路分析 根据∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,可延长DC,AB,交于点E,把转化为-,再利用C、D、E三点共线求解.解题关键 作出适当的辅助线,将问题转化为三点共线的问题进行求解.规律总结 已知=x+y,若A,B,C三点共线,则x+y=1;反之亦成立.11.(2016甘肃天水校级期中)已知O是△ABC的外心,且AB=5,AC=8,存在非零实数x,y,使=x+y,且x+2y=1,则cos∠BAC= . 答案 解析 如图所示,取AC的中点D,则=2,∴=x+2y,∵x+2y=1,∴O,D,B三点共线,连接BO.∵O是△ABC的外心,∴OD⊥AC,
∴BD⊥AC,且D为AC的中点,在Rt△ABD中,AB=5,AD=4,∴cos∠BAC=cos∠BAD=.解后反思 考查三角形外心的定义,三点共线的充要条件,向量数乘的几何意义,以及三角函数的定义.可作出图形,并取AC的中点D,由=x+2y,x+2y=1,得出O,D,B三点共线是解题关键.12.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),12)已知平行四边形ABCD,||=2||=2,且·=1,=,=2,则·= ;若DE和AF交于点M,且=x+y,则x+y= . 答案 ;解析 ·=(+)·(-)=·=--·=.=+,设=,则=+λ,m+(1-m)==λ+λ⇒⇒λ=,故=+⇒x+y=.13.(2017河北百校联盟4月联考,14)已知在△ABC中,点D满足2+=0,过点D的直线l与直线AB,AC分别交于点M,N,=λ,=μ.若λ>0,μ>0,则λ+μ的最小值为 . 答案 解析 连接AD.因为2+=0,所以=,=+=+=+(-)=+
.因为D、M、N三点共线,所以存在x∈R,使=x+(1-x),则=xλ+(1-x)μ,所以xλ+(1-x)μ=+,根据平面向量基本定理,得xλ=,(1-x)μ=,所以x=,1-x=,所以+=1,所以λ+μ=(λ+μ)·=≥,当且仅当λ=μ时等号成立,∴λ+μ的最小值为.思路分析 利用2+=0及向量的线性运算可得=+,然后利用D、M、N三点共线再次得到的表达式,从而利用平面向量基本定理得出λ与μ的关系,最后利用基本不等式求出λ+μ的最小值.方法归纳 如果a,b不共线,那么“λ1a+μ1b=λ2a+μ2b”的充要条件为“λ1=λ2且μ1=μ2”,我们常用这个结论得出不含向量的方程组.14.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足=+.(1)求证:A,B,C三点共线,并求的值;(2)已知A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M,x∈(0,π),且函数f(x)=·+·||的最小值为,求实数m的值.解析 (1)∵=+,∴-=(-),∴=.又∵,有公共点B,
∴A,B,C三点共线.∵=,∴=3.(2)∵A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M,O(0,0),∴=(1,sinx),=,∴·=1+sinx+sin2x,又=(sinx,0),x∈(0,π),∴||=sinx,∴f(x)=·+·||=sin2x+2msinx+1.设t=sinx.∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.①当-m≤0,即m≥0时,y=t2+2mt+1无最小值,不合题意;②当0<-m≤1,即-1≤m<0时,当t=-m时,ymin=1-m2=,∴m=-;③当-m>1,即m<-1时,当t=1时,ymin=2+2m=,∴m=-,此时m>-1,不合题意.综上可知,m=-.
