§6.3 等比数列基础篇【基础集训】考点一 等比数列的有关概念及运算1.Sn是正项等比数列{an}的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=( )A.2 B.3 C.1 D.6答案 A2.等比数列{an}的前n项和为Sn=32n-1+r,则r的值为( )A. B.- C. D.-答案 B3.已知{an}是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列的前n项和为Tn,则T5=( )A. B.31 C. D.7答案 A4.已知正项等比数列{an}满足log2an+2-log2an=2,且a3=8,则数列{an}的前n项和Sn= . 答案 2n+1-25.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.6.已知Sn为数列{an}的前n项和,且2Sn=3an-2(n∈N*).(1)求an和Sn;(2)若bn=log3(Sn+1),求数列{b2n}的前n项和Tn.
7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+λ(λ为常数).(1)试探究数列{an+λ}是不是等比数列,并求an;(2)当λ=1时,求数列{n(an+λ)}的前n项和Tn.考点二 等比数列的性质8.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18.若a1am=9,则m的值为( )A.8 B.13 C.10 D.11答案 C9.在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则的值为( )A.2 B.- C. D.-或答案 D10.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则( )A.a1<0,0
1C.a1>0,00,q>1答案 A[教师专用题组]【基础集训】考点一 等比数列的有关概念及运算1.在数列{an}中,满足a1=2,=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为( )A.126 B.256 C.255 D.254答案 D 数列{an}中,满足=an-1an+1(n≥2),则数列{an}为等比数列,设其公比为q,又由
a1=2,a6=64,得q5==32,则q=2,则S7==28-2=254,故选D.2.已知{an}是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列的前n项和为Tn,则T5=( )A. B.31 C. D.7答案 A 设等比数列{an}的公比为q,∵a6=8a3,∴q3=8,解得q=2.∴an=2n-1.∴=.∴数列是首项为1,公比为的等比数列,则T5==.故选A.考点二 等比数列的性质1.已知数列{an}为等比数列,且a1a13+2=4π,则tan(a2a12)的值为( )A. B.- C.± D.-答案 A ∵数列{an}为等比数列,∴a1a13==a2a12.再由a1a13+2=4π,可得a2a12=,∴tan(a2a12)=tan=tan=.2.(2020河北邯郸检测,8)已知{an}是首项为1的等比数列,若4an,2an+1,an+2成等差数列,则an= . 答案 2n-1解析 设等比数列的公比为q,由题意得4an+1=4an+an+2,故有4q=4+q2,∴q=2,∴an=2n-1.3.(2020浙江镇海中学期中,15)已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a4的最大值为 . 答案 解析 本题考查等比数列的概念、性质以及基本不等式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.∵25=a2a4+2a3a5+a4a6=2+a4(a2+a6)≥2+2=4,
∴≤.∵a4>0,∴00,所以an+1=3an,所以{an}是公比为3的等比数列,所以==q2=9.4.(2020山东菏泽一中2月自测,18)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1-2Sn=1,n∈N*.(1)证明:{Sn+1}为等比数列,求出{an}的通项公式;(2)若bn=,求{bn}的前n项和Tn,并判断是否存在正整数n使得Tn·2n-1=n+50成立.若存在,求出所有n的值;若不存在,说明理由.解析 (1)∵Sn+1-2Sn=1,∴Sn+1+1=2(Sn+1),n∈N*,∴{Sn+1}为等比数列,且公比为2,又∵S1+1=2,∴Sn+1=2n,∴Sn=2n-1,∴当n≥2时,Sn-1=2n-1-1,则an=Sn-Sn-1=2n-1,a1=1也满足此式,∴an=2n-1,n∈N*.(2)由(1)得bn==,则Tn=++…+,Tn=++…+,两式相减得:Tn=++…+-=2-,∴Tn=4-,代入Tn·2n-1=n+50得2n-n-26=0.令f(x)=2x-x-26(x≥1),则f'(x)=2xln2-1>0在x∈[1,+∞)上恒成立,∴f(x)=2x-x-26在x∈[1,+∞)上为增函数,又有f(5)·f(4)<0,∴不存在正整数n,使得Tn·2n-1=n+50成立.
