§6.1 数列的概念及表示专题检测1.在数列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2,n∈N*),则a2018的值为( )A.- B.5 C. D.答案 B 在数列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2,n∈N*),所以a2=1-=5,a3=1-=,a4=1-=-,所以{an}是以3为周期的周期数列,所以a2018=a672×3+2=a2=5,故选B.2.(2018广东广州一模,9)已知数列{an}满足a1=2,2anan+1=+1,设bn=,则数列{bn}是( )A.常数列 B.摆动数列 C.递增数列 D.递减数列答案 D 由a1=2及2anan+1=+1,得an+1=+>2=1,所以0
0,a>1且f(10)0(n∈N*).(1)写出a1,a2,a3的值,并求出数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求证:0,所以a1=2,由S2==2+a2得a2=4,同理得a3=6.(3分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,所以(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因为an>0,所以an-an-1-2=0,(5分)所以数列{an}是等差数列,an=2n.(7分)(2)证明:由(1)得Sn=n(n+1),则bn=,(10分)所以bn>n,则Tn>.(12分)又bn=<=n+,所以Tn<+=.(14分)综上可得0,所以λ≤,设f(n)=,则f(n+1)-f(n)=-=,当n≥4时,n2-n-8>0,n2+3n-4>0,n2+n-6>0,所以f(n+1)>f(n),又可验证当n=3时,f(4)-f(3)>0也成立,所以当n≥3时,数列{f(n)}为递增数列,所以f(n)min=f(3)=,即λ≤.综上所述,实数λ的取值范围为.12.(20195·3原创题)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设cn=1-(n∈N*),定义所有满足cm·cm+1<0的正整数m的个数,称为这个数列{cn}的变号数,求数列{cn}的变号数.解析 (1)依题意,知Δ=a2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f(x)=x2-4x+4.所以Sn=n2-4n+4.当n=1时,a1=S1=1-4+4=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-5.所以an=(2)由题意得cn=
由cn=1-(n≥2)可知,当n≥5时,恒有cn>0.又c1=-3,c2=5,c3=-3,c4=-,c5=,c6=,所以c1·c2<0,c2·c3<0,c4·c5<0,所以数列{cn}的变号数为3.
