§5.2 三角恒等变换基础篇【基础集训】考点 三角函数式的求值和化简1.在平面直角坐标系中,角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,则sin=( )A. B.- C. D.-答案 A2.=( )A.- B.-1 C. D.1答案 D3.已知tan=-,且<α<π,则等于( )A. B.- C.- D.-答案 C4.已知sinα=,α∈,则cos的值为( )A. B. C. D.答案 A5.(多选题)下列式子的运算结果为的是( )A.tan25°+tan35°+tan25°tan35°B.2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)C.D.答案 ABC6.在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)在单位圆O上,设∠xOP=α,且α∈.若cos=-,则x0的值为 . 答案 -7.函数f(x)=cos+sin,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(α)=,α∈,求tan的值.[教师专用题组]【基础集训】考点 三角函数式的求值和化简1.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,3)sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是( )A.- B. C.- D.答案 D sin5°cos55°-cos175°sin55°=sin5°cos55°+cos5°sin55°=sin(5°+55°)=sin60°=,故选D.
2.(2020陕西汉中第六次模拟,5)化简:=( )A. B. C.1 D.-答案 A 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式以及辅助角公式的应用,通过代数式的化简考查学生的运算求解能力.====,故选A.方法点拨 三角函数式化简的步骤:(1)差异分析:观察角、函数名称间的差异;(2)探寻联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系;(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异转化,即“变角变名变结构”.3.(2019镇海中学期中考试,7)已知sin=-,则cos2α+sin2α=( )A. B.- C.- D.答案 A 设-α=t,则sint=-,cos2α+sin2α=2sin=2sin=2cos2t=2(cos2t-sin2t)=2×=,选A.4.(2018贵州贵阳第二次适应性考试,13)已知tan(π+α)=2,则cos2α+sin2α= . 答案 解析 ∵tan(π+α)=2,∴tanα=2.cos2α+sin2α====.5.(2019河南顶级名校第四次联合质量测评,16)已知α∈,β∈,sin(2α+β)=sinβ,则= . 答案 5解析 因为sin(2α+β)=sinβ,即sin[(α+β)+α]=sin[(α+β)-α],则sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα],有sin(α+β)cosα=5cos(α+β)sinα,得到tan(α+β)=5tanα,所以=5.解题关键 把sin(2α+β)=sinβ变为sin(α+β+α)=sin(α+β-α),恰当变角是解决本题的关键.6.(2018贵州凯里一中1月月考,15)已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=,则tanα的最大值是 . 答案 解析 因为α,β均为锐角,所以cosα≠0,cosβ≠0.由cos(α+β)=得cosαcosβ-sinαsinβ=,则sinβcosβ-tanαsin2β=tanα,即(1+sin2β)tanα=sinβcosβ,所以tanα====,因为β为锐角,所以tanβ>0,所以2tanβ+≥2,得tanα≤=当且仅当tanβ=时等号成立.∴tanα的最大值为.综合篇【综合集训】考法一 三角函数式的化简方法1.(2019山东夏津一中月考,4)cos4-sin4=( )A.0 B.- C. D.1答案 C2.(2020四川邻水实验学校月考一,2)=( )
A.2 B. C.1 D.-1答案 D3.(2020山东潍坊期末,5)已知sin=,α∈,则cosα=( )A. B. C. D.答案 A4.(2020山东青岛二模,13)已知tanθ=3,则= . 答案 5.(2020江苏苏州五校月考,8)已知cos=,θ∈,则sin的值为 . 答案 -6.(2020江苏南通海门中学检测,17)已知0<α<,<β<π,tan2α=-,sinβ=.(1)求tanα的值;(2)求cos(α-2β)的值.考法二 三角函数式的求值方法7.(2019江西九江十校联考,8)已知cos=,则sin的值为( )A.- B. C. D.-答案 B8.(2020山东滨州三校联考,7)若sin=,则cos+2α=( )A.- B.- C. D.答案 A9.(2020福建宁德模拟考,8)已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值等于( )A.- B. C.- D.答案 D10.(2020山东滨州三模,15)已知α,β,γ∈,sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,则cos(α-β)= ,α-β= . 答案 ;-11.(2020江苏扬州高邮开学考,17)在平面直角坐标系xOy中,锐角α的顶点为坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边上有一点P(1,2).(1)求cos2α+sin2α;(2)若sin(α-β)=,且β∈,求角β的值.[教师专用题组]【综合集训】考法一 三角函数式的化简方法1.(2018北京通州期中,2)已知cosα=,0<α<π,则tan=( )A. B.-1 C. D.-7答案 D ∵cosα=,0<α<π,∴sinα=,∴tanα=,∴tan====-7.故选D.2.(2019广西南宁摸底考试,6)若tan+tan=,则tanx=( )
A.-2 B.2 C. D.-答案 C tanx=tan+=,tan=,tan=,则tan·tan=-1,即tanx==.故选C.3.(2020全国卷24省4月联考,5)已知sin(α+15°)=,则cos(α-30°)=( )A. B.- C.或 D.或-答案 D ∵sin(α+15°)=,∴cos(α+15°)=或-.当cos(α+15°)=时,cos(α-30°)=cos[(α+15°)-45°]=cos(α+15°)cos45°+sin(α+15°)sin45°=×=;当cos(α+15°)=-时,cos(α-30°)=cos[(α+15°)-45°]=cos(α+15°)·cos45°+sin(α+15°)sin45°=×=-,∴cos(α-30°)=或-,故选D.4.(2020百师联盟第五次联考,13)已知sinsin=,则sin= . 答案 解析 sinsin=sinsin-=sincos=sin=,所以sin=.
