§5.2　三角恒等变换专题检测1.(2019山东淄博模拟文,4)2+=(　　)A.2cos2　　B.2sin2　　C.4sin2+2cos2　　D.2sin2+4cos2答案　B　===sin2+cos2,====-2cos2,∴2+=2sin2+2cos2-2cos2=2sin2.故选B.2.(2018福建福州3月模拟,4)cos15°-4sin215°cos15°=(　　)A.　　B.　　C.1　　D.答案　D　解法一:cos15°-4sin215°cos15°=cos15°-2sin15°·2sin15°cos15°=cos15°-2sin15°·sin30°=cos15°-sin15°=2cos(15°+30°)=2cos45°=.故选D.解法二:因为cos15°=,sin15°=,所以cos15°-4sin215°·cos15°=×-4××=×=.故选D.3.(2020山东省实验中学第二次诊断,6)已知cos=2cos(π+α),且tan(α+β)=,则tanβ的值为(　　)A.-7　　B.7　　C.1　　D.-1答案　B　本题考查了诱导公式及两角和的正切公式,重点考查了运算能力.因为cos=2cos(π+α),所以sinα=-2cosα,即tanα=-2,又tan(α+β)=,则=,代入tanα=-2,解得tanβ=7,故选B.思路分析　由诱导公式得sinα=-2cosα,由同角三角函数的基本关系可得tanα=-2,再由两角和的正切公式得tan(α+β)=,将tanα=-2代入运算即可.4.(2019四川成都二诊,6)若α,β∈,且sinα=,sin(α-β)=-,则sinβ=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　B　由α,β∈,且sinα=,可得cosα=-=-.由sin(α-β)=-,可得sinαcosβ-cosαsinβ=-,cosβ+sinβ=-,即2cosβ+sinβ=-,又sin2β+cos2β=1,所以sinβ=.故选B.5.(2019云南师大附中4月联考,4)已知sin(α+2β)=,cosβ=,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　D　由cosβ=<,β为锐角,得<β<,sinβ=,又α为锐角,∴<α+2β<π.∵sin(α+2β)=>0,∴<α+2β<π,∴cos(α+2β)=-,∴sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]=sin(α+2β)cosβ-cos(α+2β)sinβ=×-×=,故选D.6.(2019安徽十校联考,5)已知α为锐角,且7sinα=2cos2α,则sin=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A　由7sinα=2cos2α得7sinα=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sinα-2=0,解得sinα=-2(舍去)或sinα=,又由α为锐角,可得cosα=,∴sin=sinα+cosα=.7.(2019吉林实验中学期中,10)设α∈,β∈,且cosβ=tanα(1+sinβ),则(　　)A.α-β=　　B.α+β= C.2α-β=　　D.2α+β=答案　D　由cosβ=tanα(1+sinβ),可得cosβ=(1+sinβ),cosβcosα-sinαsinβ=sinα=cos,即cos(α+β)=cos,又α∈,β∈,则α+β∈(0,π),-α∈.故α+β=-α,即2α+β=.故选D.解后反思　三角恒等变换主要有以下四变:(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有切化弦、正弦与余弦互化等.(3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的是方便应用公式.(4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法通常有:常值代换、逆用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等.8.(2020河南、江西、湖南三省部分重点中学4月联考,7)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?”设θ=∠BAC,现有下述四个结论:①水深为12尺;②芦苇长为15尺;③tan=;④tan=-.其中所有正确结论的编号是(　　)A.①③　　B.①③④　　C.①④　　D.②③④答案　B　本题以数学文化为背景考查二倍角公式,两角和的正切公式,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.设BC=x尺,则AC=(x+1)尺,在Rt△ABC中,∵AB=5,∴52+x2=(x+1)2,∴x=12.∴tanθ=,∴tanθ==,解得tan=(负根舍去).∵tanθ=,∴tan==-,故正确结论的编号为①③④.9.(2016吉林东北师大附中等校联考,14)已知0<θ<π,tan=,那么sinθ+cosθ=　　　　. 答案　-解析　由tan==,解得tanθ=-,即=-,∴cosθ=-sinθ,∴sin2θ+cos2θ=sin2θ+sin2θ=sin2θ=1,∵0<θ<π,∴sinθ=,∴cosθ=-,∴sinθ+cosθ=-.10.(2017甘肃兰州实战模拟)若sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=,则cos(α-β)=　　　　. 答案　解析　将已知条件两边平方得sin2α+sin2β-2sinαsinβ=-,cos2α+cos2β-2cosαcosβ=,两式相加并化简得cos(α-β)=.11.(2017江苏盐城调研,4)若3sinα+cosα=0,则的值为　　　　. 答案　解析　∵3sinα+cosα=0,∴tanα=-,∴====. 12.(2018河南六市4月联考,4)已知cosα=,cos(α-β)=,若0<β<α<,则β=　　　　. 答案　解析　由cosα=,0<α<,得sinα===,由0<β<α<,得0<α-β<.又cos(α-β)=,∴sin(α-β)===.由β=α-(α-β)得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.∵β∈,∴β=.思路分析　β=α-(α-β),求出sinα与sin(α-β)的值,即可利用两角差的余弦公式求cosβ的值,从而得出β的大小.解题关键　细化角的范围及合理利用凑角法是解决本题的关键.13.(2019台州中学第一次模拟,15)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-,则cos2α=　　　　,tan(α-β)=　　　　. 答案　-;-解析　cos2α=cos2α-sin2α====-.因为2α∈(0,π),所以sin2α=.由α+β∈(0,π)且cos(α+β)=-,得sin(α+β)=,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=-×+×=,sin(α-β)=sin[2α-(α+β)]=sin2αcos(α+β)-cos2αsin(α+β)=×+×=-,所以tan(α-β)==-.