§2.3 基本不等式与不等式的综合应用基础篇【基础集训】考点一 基本不等式及其应用1.已知x∈,则x(1-4x)取最大值时x的值是( )A. B. C. D.答案 C2.下列结论正确的是 ( )A.当x>0且x≠1时,lgx+≥2B.当x∈时,sinx+的最小值为4C.当x>0时,+≥2D.当00,b>0,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+b+≥2 B.≤C.≤a+b D.(a+b)≥4答案 ABD考点二 不等式的综合应用6.设00成立,则实数x的取值范围为( )A.(-1,2) B.(1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)答案 D
9.对于实数a,b,m,下列说法:①若a>b,则am2>bm2;②若a>b,则a|a|>b|b|;③若b>a>0,m>0,则>;④若a>b>0,且|lna|=|lnb|,则2a+b的最小值为2.其中是真命题的为( )A.①② B.②③ C.③④ D.①④答案 B[教师专用题组]【基础集训】考点一 基本不等式及其应用1.(2020福建三明第一中学10月月考,9)已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )A.3 B.4 C.5 D.6答案 B ∵a,b的等比中项是1,∴ab=1,∴m+n=b++a+=a+b+=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.故选B.2.若正数m,n满足2m+n=1,则+的最小值为( )A.3+2 B.3+ C.2+2 D.3答案 A 因为2m+n=1,所以+=·(2m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即n=m时等号成立,所以+的最小值为3+2,故选A.3.(2019浙江镇海中学期中,14)已知x,y∈R,且4x2+y2+xy=1,则4x2+y2的最小值为 ,此时x的值为 . 答案 ;±
解析 1=4x2+y2+xy=4x2+y2+×2xy≤4x2+y2+×=(4x2+y2),所以4x2+y2≥,当且仅当2x=y时取等号,此时x=±.考点二 不等式的综合应用1.(2018山西第一次模拟,5)若P为圆x2+y2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA|+|PB|的最大值为( )A.2 B.2 C.4 D.4答案 B 当P与A或B重合时,|PA|+|PB|=2,当P与A不重合且与B不重合时,由题意知∠APB=90°,∴|PA|2+|PB|2=4,∴≤=2(当且仅当|PA|=|PB|时取等号),∴|PA|+|PB|≤2,∴|PA|+|PB|的最大值为2.故选B.2.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 . 答案 解析 要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需即解得-0,∴+=(2x+2y)=2+2a++≥2+2a+4≥8,解得a≥1,∴正实数a的最小值为1.5.网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销售量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-的函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司的最大月利润是 万元. 答案 37.5解析 由题意知t=-1(1≤x<3),设该公司的月利润为y万元,所以
y=x-32x-3-t=16x--3=16x-+-3=45.5-≤45.5-2=37.5,当且仅当x=时取等号,即最大月利润为37.5万元.综合篇【综合集训】考法一 利用基本不等式求最值1.(2020福建泉州测试,6)若x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值是( )A.10 B.4 C.8 D.6答案 C2.(2020山东泰安期末检测,6)若log3(2a+b)=1+lo,则a+2b的最小值为( )A.6 B. C.3 D.答案 C3.(2020河北衡水中学第九次调研,6)设m,n为正数,且m+n=2,则+的最小值为( )A. B. C. D.答案 D考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法4.(2020江苏宿迁开学考试,7)设m为实数,若函数f(x)=x2-mx+2在区间(-∞,2)上是减函数,对任意的x1,x2∈,总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则m的取值范围为( )A.[4,6] B.(4,6) C.(4,6] D.[4,6)答案 A
5.(2020北京中学生标准学术能力诊断,6)已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.答案 A6.(2020江苏常熟三模,7)已知正实数a,b满足a+=1,且+b≥2t2-7t恒成立,则实数t的取值范围为 . 答案 7.(2020江苏扬州江都大桥高级中学月考,15)已知1+2x+4x·a>0对一切x∈(-∞,1]恒成立,则实数a的取值范围是 . 答案 [教师专用题组]【综合集训】考法一 利用基本不等式求最值的方法1.(2018黑龙江七台河测试)已知m=8-n,m>0,n>0,则mn的最大值为( )A.4 B.8 C.16 D.32答案 C ∵m=8-n,∴m+n=8,又∵m>0,n>0,∴mn≤=16,当且仅当m=n=4时,等号成立.故选C.2.(2019新疆第一次毕业诊断,10)函数y=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m>0,n>0,则+的最小值是( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 C 对于函数y=loga(x-1)+1(a>0且a≠1),令x-1=1,求得x=2,y=1,可得函数的图象恒过定点A(2,1),因为点A在一次函数y=mx+n的图象上,所以有1=2m+n,因为m>0,n>0,所以
+=+=4++≥4+2=8,当且仅当=时,取等号,故+的最小值是8,故选C.3.(2019福建厦门3月联考,9)对任意m,n∈R+,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为( )A. B.2 C.4 D.答案 B ∵对任意m,n∈R+,都有m2-amn+2n2≥0,∴m2+2n2≥amn,即a≤=+恒成立,∵+≥2=2,当且仅当=时取等号,∴a≤2,故a的最大值为2,故选B.考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法1.(2018湖南长、望、浏、宁四县3月联合调研,12)设f(x)满足f(-x)=-f(x),且在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1,若f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1],当a∈[-1,1]时都成立,则t的取值范围是( )A.-≤t≤ B.t≥2或t≤-2或t=0C.t≥或t≤-或t=0 D.-2≤t≤2答案 B 若f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1],当a∈[-1,1]时都成立,则由已知易得f(x)的最大值是1,∴1≤t2-2at+1⇔2at-t2≤0.设g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使2at-t2≤0恒成立,只需满足⇒t≥2或t=0或t≤-2.故选B.2.已知x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则m的取值范围是( )A.2-21),则由已知得,函数f(t)=t2-mt+m+1在t∈(1,+∞)
上的图象恒在横轴的上方,则对于方程f(t)=0有Δ=(-m)2-4(m+1)<0或解得m<2+2.解法二:因为x∈(0,+∞),所以3x>1,3x-1>0,由9x-m·3x+m+1>0得m<,令f(x)=,所以f(x)==3x-1++2≥2+2(当且仅当3x=1+时取“=”).所以m<2+2.3.(2018河北衡水金卷(一),12)已知数列{an}中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,n∈N*,若对于任意的a∈[-2,2],n∈N*,不等式<2t2+at-1恒成立,则实数t的取值范围为( )A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-2]∪[1,+∞)C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.[-2,2]答案 A 由n(an+1-an)=an+1,得nan+1-(n+1)an=1,则有-==-,则有=+++…++a1=+++…++2=3-<3.∵对于任意的a∈[-2,2],n∈N*,不等式<2t2+at-1恒成立,∴2t2+at-1≥3,即2t2+at-4≥0.设f(a)=2t2+at-4,a∈[-2,2],可得f(2)≥0且f(-2)≥0,即有即可得t≥2或t≤-2,则实数t的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞),故选A.
