§2.3 基本不等式与不等式的综合应用专题检测1.(2020山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lgx(x>0) B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)答案 C 本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于x2+≥2=x,当且仅当x=时,取“=”,故A不正确;对于B,当x∈(π,2π)时,sinx<0,sinx+≤-2,故B不正确;对于C,x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0恒成立,故C正确;对于D,当x=0时,=1,故D不正确.2.(2020西南四省八校9月联考,12)若x>0,y>0,x+2y=1,则的最大值为( )A. B. C. D.答案 C =,∵x>0,y>0,x+2y=1,∴+=·1=(x+2y)=5++≥5+2=5+4=9,当且仅当即x=y=时,取“=”,∴≤,故的最大值为,选C.
3.(2020山东青岛期初调研,8)函数f(x)=x2+x+(x>0)的最小值为( )A.4+2 B.4 C.8 D.+2答案 A ∵x>0,∴f(x)=x2+x+=x2++x+≥2+2=4+2,当且仅当即x=时取“=”,∴f(x)min=4+2,故选A.4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )A.3 B.2 C.3 D.2答案 B ∵a>0,b>0,∴a+1>1,b+1>1,又∵+=1,∴a+2b=[(a+1)+2(b+1)]-3=[(a+1)+2(b+1)]·-3=1+++2-3≥2=2,当且仅当=时取“=”,故选B.5.(2018河北大名一中月考)已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是( )A. B. C. D.-答案 D 由题意知x1,x2是方程x2-4ax+3a2=0的两根.由根与系数的关系得x1x2=3a2,x1+x2=4a,∴x1+x2+=4a+,∵a<0,∴-≥2=,即4a+≤-,当且仅当4a=,即a=-时,取“=”,故x1+x2+的最大值为-.故选D.6.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f(x)=x2ex,若a>0,b>0,p=f,q=f,r=f(ab),
则( )A.q≤r≤p B.q≤p≤r C.r≤p≤q D.r≤q≤p答案 D 因为-=-=≥0,所以≥,又≥(a>0,b>0),所以≥ab.易得函数f(x)=x2ex在(0,+∞)上单调递增,所以f(ab)≤f≤f,即r≤q≤p.7.(2020河南濮阳第二次检测,9)已知a>2,b>2,则+的最小值为( )A.2 B.4 C.6 D.16答案 D 因为a>2,b>2,所以a-2>0,b-2>0.令x=b-2,y=a-2,则x>0,y>0.原式=+≥2=2≥2=2=2≥2=16.当且仅当x=y=2时取等号.故选D.思路分析 利用换元思想,设x=b-2,y=a-2,则x>0,y>0,将原式化为+,两次使用基本不等式求解.8.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当+取最小值时,n的值为( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 D 由已知得a+b=18,则+=×=≥×(26+10)=2,当且仅当b=5a时取等号,此时a=3,b=15,可得n=9.故选D.9.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f(x)=+x+sinx,若正实数a,b满足
f(4a)+f(b-9)=0,则+的最小值是( )A.1 B. C.9 D.18答案 A 因为f(x)=+x+sinx,所以f(-x)=-x-sinx=-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,易知f(x)单调递增,又正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,所以4a+b-9=0,所以+=(4a+b)=4+++1=≥×(5+2)=1,当且仅当=,即b=2a=3时,取等号.故选A.10.(2020黑龙江道里检测,10)设a,b,c,d均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为( )A.8 B.4+2 C.5+2 D.4答案 B ∵a,b,c,d均大于零且abcd=1,m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,∴a2+b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd≥2ab+2·2+ab+cd=4+3ab+cd≥4+2=4+2,当且仅当a=b,c=d,3ab=cd,即a=b=,c=d=时取等号,∴a2+b2+m的最小值为4+2.故选B.11.(多选题)(2020山东烟台期中,11)下列结论正确的是( )A.若a>b>0,c
B.若x>y>0,且xy=1,则x+>>log2(x+y)C.设{an}是等差数列,若a2>a1>0,则a2>D.若x∈[0,+∞),则ln(1+x)≥x-x2
答案 AC 对于A,∵c-d>0,∴->->0,又∵a>b>0,∴->->0,∴>,故A正确;对于B,∵x>y>0,且xy=1,∴可取x=2,y=,此时x+=4,==,log2(x+y)=log2>log22=1,故不满足x+>>log2(x+y),故B不正确;对于C,∵{an}是等差数列,∴a2=.又∵a3-a2=a2-a1>0,∴a3>a2>a1>0,∴>,即a2>,故C正确;对于D,令f(x)=ln(1+x)-x+x2,x≥0,则f'(x)=-1+x===,x>0,令f'(x)>0,可得x>3,令f'(x)<0,可得0a可得x-a>0,则x-a+≥2=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,上式取得最小值4,则5-a≤4,可得a≥1,故a的最小值为1.
13.(2020上海复旦大学附中9月综合练,8)已知≤+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是 . 答案 [-3,1]解析 由已知≤+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立可知,a2+2a+2≤+x对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,令g(x)=+x,x>1,则g(x)=+x-1+1≥2+1=5,当且仅当x=3时取“=”,∴a2+2a+2≤g(x)min=5,∴a2+2a-3≤0,∴-3≤a≤1,故答案为[-3,1].14.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(acos2x-3)sinx≥-3对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 . 答案 解析 令g(x)=(acos2x-3)sinx,sinx=t,-1≤t≤1,则原函数化为g(t)=(-at2+a-3)t,即g(t)=-at3+(a-3)t,由-at3+(a-3)t≥-3整理得(t-1)[-at(t+1)-3]≥0,由t-1≤0知,-at(t+1)-3≤0,即a(t2+t)≥-3,当t=0,-1时该不等式恒成立,当0
