§2.2　二元一次不等式(组)与简单的线性规划(旧课标)专题检测1.(2020四川成都摸底测试,4)若实数x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为(　　)A.0　　B.2　　C.4　　D.6答案　A　解法一:画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由z=x-2y得y=x-z,其表示斜率为的动直线.由得A,由图可知,当动直线y=x-z经过点A时,z取得最小值,即zmin=1-2×=0.故选A.解法二:由得此时z=0;由得此时z=2;由得此时z=1.综上所述,z的最小值为0,故选A.2.(2019黑龙江哈师大附中二模,5)已知实数x,y满足约束条件则z=2-2x+y的最大值为(　　)A.　　B.　　C.　　D.2 答案　C　由实数x,y满足的约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,设u=-2x+y,则当u=-2x+y取得最大值时,z也取得最大值.联立解得故A的坐标为(1,1).由u=-2x+y得y=2x+u.由图可知,当直线y=2x+u过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时zmax=2-2+1=.故选C.3.(2019陕西三模,9)若实数x,y满足不等式组则z=|3x+y|的最大值为(　　)A.36　　B.18　　C.24　　D.12答案　B　解法一:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.因为在平面区域内x>0,y>0,所以z=|3x+y|=3x+y,即y=-3x+z.由图象可知,当直线过点B时,z取得最大值.由解得故B的坐标为(4,6),此时z=|3x+y|=|3×4+6|=18.所以zmax=18.故选B.解法二:作出可行域同解法一,z=×表示可行域内动点P(x,y)到直线3x+y=0的距离的 倍.由图可知点B(4,6)到直线3x+y=0的距离最大,所以zmax=|3×4+6|=18.4.(2019宁夏银川一中二模,7)如果点P(x,y)满足点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,则|PQ|的取值范围是(　　)A.[-1,-1]　　B.[-1,+1]C.[-1,5]　　D.[-1,5]答案　D　曲线x2+(y+2)2=1对应的圆心为M(0,-2),半径为r=1,作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,结合图象可知,当P位于点(-1,0)时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|=-1=-1.当P位于点(0,2)时,|PQ|取得最大值,最大值为2+3=5.综上,|PQ|的取值范围是[-1,5],故选D.56.(2018广东广州3月测试,8)若x,y满足约束条件则z=x2+2x+y2的最小值为(　　)A.　　B.　　C.-　　D.-答案　D　 画出约束条件对应的平面区域,如图中阴影部分所示,z=x2+2x+y2=(x+1)2+y2-1,其几何意义是平面区域内的点(x,y)到定点(-1,0)的距离的平方再减去1,观察图形可得,平面区域内的点与定点(-1,0)的距离的最小值为,故z=x2+2x+y2的最小值为-1=-,选D.解题技巧　解决非线性规划问题要注意三点:第一,明确可行域是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线;第二,确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率,还是求点到直线的距离;第三,结合图形确定最优解.6.(2020河南郑州一中、河北衡水中学等名校10月联考,8)若实数x,y满足不等式组且目标函数z=ax-2y的最大值为6,则实数a的值是(　　)A.4　　B.1或3　　C.2　　D.2或4答案　C　本题考查含参数的简单的线性规划问题.作出可行域,如图所示,目标函数可化为y=x-(a>0),由图可知当直线y=x-经过点A时,z取得最大值,由得A(a,1-a),所以zmax=a2-2(1-a)=6,解得a=2或a=-4(舍去).方法点拨　解决此类问题的方法:①构建模型;②判断二元一次不等式组表示的平面区域;③掌握求线性目标函数最值的一般步骤:一画、二移、三求. 7.(2019安徽六安一中模拟,5)已知实数x,y满足则z=的取值范围为(　　)A.　　B.(-∞,2]∪C.　　D.(-∞,0]∪答案　D　原不等式组可以等价转化为或画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,其中点A(-1,0),点B(3,2),而z==2+的几何意义为区域内的点(x,y)与点M(0,-2)连线的斜率k再加上2,结合图形可知k≥或k≤-2,因此z≥+2=或z≤-2+2=0.即z的取值范围为(-∞,0]∪,故选D.解题关键　①正确画出不等式组表示的平面区域是求解本题的基础,而正确处理绝对值问题是画图的关键;②明确目标函数的几何意义,确定最优解是解决此类问题的核心.8.(2019湖南炎德英才大联考(三),11)已知由不等式组确定的平面区域Ω的面积为7,定点M的坐标为(1,-2),若N∈Ω,O为坐标原点,则·的最小值是(　　)A.-8　　B.-7　　C.-6　　D.-4答案　B　画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由得C, 由图可知,S△AOD=×4×4=8,而直线y=kx+2恒过点B(0,2),且(0,0)恒满足y-kx≤2,当k=0时,y≤2,此时平面区域Ω的面积为6,6<7,当k>0时,平面区域Ω的面积小于6,不符合题意,由此可得k<0.依题意得S△BCD=×2×=1,解得k=-1或k=3(舍).所以点C的坐标为(-1,3),设N(x,y),z=·=x-2y.作出基本直线l0:x-2y=0,平移直线l0,可知当直线经过点C(-1,3)时,z取得最小值,zmin=-1-2×3=-7,故选B.思路分析　作出不等式组所表示的平面区域,根据区域面积求得k的值,从而得出点C的坐标,最后将·化为线性目标函数进行求解.9.(2018四川成都外国语学校12月月考,7)已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=y-ax仅在点(-3,0)处取到最大值,则实数a的取值范围为(　　)A.　　B.(3,5)C.(-1,2)　　D.答案　A　画出可行域如图所示,其中A(-3,0),C(0,1),若目标函数z=y-ax仅在点(-3,0)处取得最大值,由图知,直线z=-ax+y的斜率大于直线x-2y+3=0的斜率,即a>,故选A. 10.(2018山东栖霞一中4月模拟,8)已知实数x,y满足约束条件若目标函数z=y-ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个,则a的值为(　　)A.2　　B.1　　C.1或2　　D.-1答案　B　画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示(含边界).由z=y-ax(a≠0)得y=ax+z(a≠0).因为a≠0,所以要使z=y-ax取得最大值时的最优解有无数个,必有a>0.①当直线y=ax+z与直线AC重合,即a=1时,直线y=ax+z在y轴上的截距最大,此时z取得最大值,且最优解有无数个,符合条件;②当直线y=ax+z与直线BC重合时,直线y=ax+z在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,不符合条件.故a=1,选B.11.(2019浙江宁波北仑中学一模,9)若x,y满足约束条件则(x+1)y的取值范围为(　　)A.[-3,0]　　B.　　C.　　D.答案　D　由题意作出可行域如图所示, 易得A,B(-2,0),C,D(2,0),令z=(x+1)y,则当x=-1时,z=0;当x≠-1时,y=,显然,当曲线y=与直线AD:x+2y=2相切时,z取得最大值,设切点的横坐标为t(t≠-1),则由y'=-,得解得故zmax=.如图,当曲线y=过点C时,z取得最小值,zmin=(1+1)×=-3,综上,(x+1)y的取值范围是,故选D.12.(2020河南安阳一模,13)若x,y满足约束条件则z=的最大值为　　　　. 答案　解析　本题考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,z==·,表示可行域内的点(x,y)与点连线的斜率,由图可知,的最大值即为点与点A的连线的斜率,由得点 A的坐标为,所以zmax==.思路分析　①画出可行域;②确定z=的几何意义;③由数形结合确定最优解位置;④求出最大值.13.(2019浙江台州期末,13)已知x,y满足条件则z=2x+y的最大值是　　　　,的最小值是　　　　. 答案　6;解析　画出可行域如图所示,当y=-2x+z过点A(2,2)时,zmax=6;易知表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离,∴()min==.14.(2020安徽芜湖第一中学9月月考,13)已知正数x,y满足则z=4-x·的最小值为　　　　. 答案　 解析　作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(区域不含y轴).z=4-x·=·=.令z'=2x+y,作出基本直线l0:2x+y=0,平移l0知,直线过点A(1,2)时,z'取最大值4,此时z取得最小值,zmin==.技巧点拨　目标函数的最优解一般在可行域的顶点处取得,所以对于求线性目标函数的最值问题,可以直接求出可行域的顶点坐标,然后分别将顶点坐标代入目标函数,求出相应的值,从而可确定目标函数的最值.15.(2019重庆南开中学3月测试,14)已知定点A(2,0),点P(x,y)的坐标满足当(O为坐标原点)的最小值是2时,实数a的值是　　　　. 答案　2解析　作出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分):由题意知=(x,y),=(2,0),设z===x,因为(O为坐标原点)的最小值是2,所以x=2,此时点P落在直线x=a上,a=2.