高中数学不等式证明专题讲解例1若，证明（且）．分析1用作差法来证明．需分为和两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．解法1（1）当时，因为，所以．（2）当时，因为所以．综合（1）（2）知．分析2直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．解法2作差比较法．因为，所以．例2设，求证：证明：∵，∴∴.∴又∵，∴. 例3对于任意实数、，求证（当且仅当时取等号）证明：∵（当且仅当时取等号）两边同加，即：（1）又：∵（当且仅当时取等号）两边同加∴∴（2）由（1）和（2）可得（当且仅当时取等号）．例4已知、、，，求证证明：∵∴∵，同理：，。∴例５已知，求证：＞0.证明一：(分析法书写过程)为了证明＞0只需要证明＞∵∴ ∴＞0∴＞成立∴＞0成立证明二：(综合法书写过程)∵∴∴＞＞0∴＞成立∴＞0成立例6若，且，求证：证明：为要证只需证，即证，也就是，即证，即证，∵，∴，故即有，又由可得成立，∴所求不等式成立．例7若，求证．证法一：假设，则，而，故．∴．从而，∴．∴．∴．这与假设矛盾，故．证法二：假设，则，故，即，即，这不可能．从而． 证法三：假设，则．由，得，故．又，∴．∴，即．这不可能，故．例8设、为正数，求证．分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法．证明：要证，只需证，即证，化简得，．∵，∴．∴．∴原不等式成立．例9已知，求证．证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数．∵，∴可设，，其中．∴．由，故．而，，故．例10设是正整数，求证．分析：要求一个项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．证明：由，得． 当时，；当时，……当时，．∴．例11已知，求证：．证明：欲证，只须证．即要证，即要证．即要证，即要证．即要证，即．即要证　　　（*）∵，∴（*）显然成立，故例12如果，，，求证：．证明：∵　　　　　． ∴．例13已知，，，求证：在三数中，不可能都大于．证明：假设三数都大于，即，，．又∵，，，∴，，．∴　　　①又∵，，．以上三式相加，即得：　　②显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证．例14已知、、都是正数，求证：．证法一：要证，只需证，即，移项，得．由、、为正数，得．∴原不等式成立．证法二：∵、、为正数，．即，故．， ．说明：题中给出的，，，，只因为、、都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了．例15已知，，且．求证：．证明：令，，且，则∵，∴，即成立．例16已知是不等于1的正数，是正整数，求证．证明：∵是不等于1的正数，∴，∴．①又．②将式①，②两边分别相乘得，∴．例17已知，，，，且，求证．证明：要证，只需证，只需证．∵，，，∴，，，∴，∴成立．∴． 例18求证．证明：∵，∴．例19在中，角、、的对边分别为，，，若，求证．分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．证明：∵，∴．由余弦定理得∴，∴=