高中数学高考冲刺经典题解析1.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为cA.B.C.D.2.若，则的大小关系是aA.B.C.D.3.已知点是重心,,若,则的最小值是cA.B.C.D.4.方程有且仅有两个不同的实数解，则以下有关两根关系的结论正确的是bAB．C．D．5.已知函数时，只有一个实根；当k∈（0，4）时，只有3个相异实根，现给出下列4个命题：①和有一个相同的实根；②有一个相同的实根；③的任一实根大于的任一实根； ④的任一实根小于任一实根.其中正确命题的序号是①②④6．B7． 8解:(Ⅰ)取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点,所以GM//FA,又EC面ABCD,FA面ABCD,∵CE//AF,∴CE//GM,………………2分∵面CEGM面ABCD=CM,EG//面ABCD,∴EG//CM,………………4分∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM∴EGAB,EGAF, ∴EG面ABF.…………………6分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2,则B（）E(0,1,1)F（0，-1，2）=(0，-2,1),=(,-1，-1),=(,1，1),………………8分设平面BEF的法向量=（）则令，则,∴=（）…………………10分同理，可求平面DEF的法向量=（-）设所求二面角的平面角为，则=.…………………12分9 解：(Ⅰ)茎叶图……………………2分或………………2分 从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；………………4分（Ⅱ）设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于秒的概率为：；……………8分(此部分，可根据解法给步骤分:2分)（Ⅲ）设甲同学的成绩为，乙同学的成绩为，则，……………10分得，如图阴影部分面积即为，则.…………12分10．解：（Ⅰ）设，，由，得，…………2分 代入，得.……………4分（Ⅱ）①当斜率不存在时，设，由已知得，由，得所以，当且仅当，即时，等号成立.此时最大值为.……………………5分②当斜率存在时，设其方程为，由，消去整理得，由，得①设，则②………7分③原点到直线距离为，④…………………9分由面积公式及③④得 ………………11分综合①②，的最大值为，由已知得，所以.…………………12分11．解：(Ⅰ)的定义域为，若则在上单调递增，……………2分若则由得，当时，当时，，在上单调递增，在单调递减.所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在单调递减.……………4分(Ⅱ),令,,令, ,………………6分,,.……………8分(2),以下论证.……………10分,,,综上所述，的取值范围是………………12分12．△如图，曲线是以原点为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，.（1）求曲线和的方程；（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于四点，若为中点、为中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由. 【解析】（1）解法一：设椭圆方程为，则，得.设，则，，两式相减得，由抛物线定义可知，则或（舍去）所以椭圆方程为，抛物线方程为.解法二：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线，作轴于，则由抛物线的定义得，所以，得，所以c＝1，(，得）,因而椭圆方程为，抛物线方程为. （2）设把直线13．等比数列中，函数，则=。14.。当对数函数的图象至少经过区域内的一个点时，实数a的取值范围为。15．已知P是圆上任意一点，点F2的坐标为（1，0），直线m分别与线段F1P、F2P交于M、N两点，且（1）求点M的轨迹C的方程； （2）斜率为k的直线与曲线C交于P、Q两点，若（O为坐标原点）。试求直线在y轴上截距的取值范围； 16．设F1，F2是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，且，则的值为（B）A．B．C．2D．3方法一：设点的坐标，列等式解决；方法二：用平行四边形或三角形解决。17．已知P是椭圆上任一点，分别是椭圆的两个焦点，若的周长为6，且椭圆的离心率为。求椭圆的标准方程；过椭圆的右焦点F作直线与椭圆交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且，试求以AB为直径的圆的方程。若M（x，y）是（2）中所求圆上任一点，求的取值范围。第二问要用多种方法来考虑：1列方程组得关于y的一元二次不等式，根与系数的关系；2。设元，列等式消元。18．已知公差不为0的等差数列中，成等比数列。已知数列的公差的取值范围是，求的前9项和的取值范围。若，且数列的前n项和为，若＞0时，＜恒成立，试求的公差的取值范围。此题的关键是恒成立如何成立？ 19．已知函数，则函数的不同零点共有个。20．如下图是函数的图象的一部分，则=A-3B2CD111ayx21．已知O为坐标原点，点A、B分别是椭圆C：的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：相离（），P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N。（1）当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值。（2）若存在点P使得为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围。 ABPMNOyx22．已知函数。函数在上是减函数，函数在上是增函数。（1）求函数f(x)，g(x)的表达式。（2）若不等式f(x)≥mg(x)对恒成立，求实数m的取值范围。23．在四边形ABCD中，AB=2，，则四边形ABCD的面积为。24．已知x，y满足条件，点M(2，1)，点P(x，y)，那么的最大值为。25．若0＜，且为偶函数，则a+2b的最 小值为。26．过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T）交双曲线左支于点M，交双曲线右支于点P。若M为线段FP的中点，则()A1B2C3D427．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上单调，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为A．f(b－2)＝f(a＋1)B．f(b－2)>f(a＋1)C．f(b－2)-242．（本小题满分12分）已知方向向量为的直线l过椭圆的焦点以及点（0，），直线l与椭圆C交于A、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为。（1）求椭圆C的方程（2）过左焦点且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，（O坐标原点），求直线m的方程解：（1）直线与x轴交点即为椭圆的右焦点∴c=2由已知⊿周长为，则4a=，即，所以故椭圆方程为………………………………4分（2）椭圆的左焦点为，则直线m的方程可设为代入椭圆方程得：设………6分∵所以，，即……………9分 又原点O到m的距离，则解得…………………………12分43．(本小题满分12分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试.两个班同学的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：按照大于或等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩.(1)完成下面2X2列联表，并判断能否有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 (2)从B班参加测试的20人中选取2人参加某项活动，2人中成绩优秀的人数记为X，求X的分布列与数学期望.附：44．已知函数是定义域为的偶函数，f(x)且在上单调递增,则不等式的解集为（D）A．B．C．D．45．由曲线围成的图形的面积等于（A）A．B．C．D． ABCDPE46．不等式对恒成立，则x的取值范围是________________．x≤-1或x≥47．已知正方形ABCD边长为1，图形如示，点E为边BC的中点，正方形内部一动点P满足:P到线段AD的距离等于P到点E的距离，那么P点的轨迹与正方形的上、下底边及BC边所围成平面图形的面积为_________．48．（本小题满分12分）已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R）（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+;（3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由． 49．已知双曲线的左右焦点是，设是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则双曲线的离心率是. 50．设集合，函数且，则的取值范围是.51.（本小题满分12分）：已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切.(Ⅰ)求圆的标准方程；（Ⅱ）设点为圆上一动点,轴于,若动点满足,(其中为非零常数),试求动点的轨迹方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时,得到曲线，与垂直的直线与曲线交于、两点,求面积的最大值.解:(Ⅰ)设圆的半径为,圆心到直线距离为，则2分圆的方程为3分（Ⅱ）设动点,,轴于,由题意,，所以5分即:，将2009051520090515代入,得7分（Ⅲ）时,曲线方程为，设直线的方程为8分设直线与椭圆交点 联立方程得9分因为，解得，且……10分点到直线的距离.（当且仅当即时取到最大值）面积的最大值为.12分52.（本小题满分12分）：设函数(Ⅰ)当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.（Ⅲ）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.解：(Ⅰ)函数的定义域为.当时，2分当时，当时，无极大值.4分（Ⅱ）5分当，即时， 在定义域上是减函数；当，即时，令得或令得当，即时，令得或令得综上，当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增；8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值，是最小值.，10分而经整理得，由得，所以12分53．在所在的平面内有一点P，如果,那么的面积与的面积之比是AA．B．C．D．54．在区间[－1，1]上任取两数s和t，则关于x的方程的两根都是正数的概率为B A．B．C．D．55．已知函数是上的奇函数，且当时，函数若>，则实数的取值范围是DA．B．C．D．56．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点为动点，已知点，，直线与的斜率之积为.（I）求动点轨迹的方程;（II）过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)，求证：直线过定点.解一：（1）由题知：…………2分化简得：……………………………4分（2）设，:，代入整理得…………6分，，………………………………8分的方程为令，得………10分 直线过定点.………………12分解二：设，:，代入整理得…………6分,，…………8分的方程为令，得……10分直线过定点.…………12分解三：由对称性可知，若过定点，则定点一定在轴上，设，:，代入整理得…………6分,，…………8分设过定点，则，而则…………10分直线过定点.…………12分 57.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（A）(A)(B)(C)(D)58.　已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝(C)：A．B．C．45D．5559．设函数，则的值为________.60.　（本小题满分12分）设，．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，，，，，所以曲线在处的切线方程为；4分 （2）存在，使得成立等价于：，考察，，递减极（最）小值递增由上表可知：，，所以满足条件的最大整数；8分3）当时，恒成立，等价于恒成立，记，，。记，，由于，,所以在上递减，又h/（1）=0，当时，，时，，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以。12分（3）另解：对任意的，都有成立等价于：在区间上，函数的最小值不小于 的最大值，由（2）知，在区间上，的最大值为。，下证当时，在区间上，函数恒成立。当且时，，记，，当，；当，，所以函数在区间上递减，在区间上递增，，即，所以当且时，成立，即对任意，都有。12分61．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，则满足=62.(本小题共12分)已知函数的部分图象如图所示．（I）求函数的解析式；（II）在△中，角的对边分别是若的取值范围．（1）由图像知，的最小正周期，故…（2分）将点代入的解析式得，又 故所以………………4分ks5u（2）由得所以……………………6分因为所以………………8分……………………10分……………………12分63．（本小题满分12分）已知函数，其中.（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；ks5u（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.（Ⅰ）解：.依题意，令，解得.经检验，时，符合题意.……4分（Ⅱ）解：①当时，.ks5u故的单调增区间是；单调减区间是.②当时，令，得，或.当时，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和 .当时，的单调减区间是.当时，，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和.③当时，的单调增区间是；单调减区间是.综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和.ks5u……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意.当时，在的最大值是，由，知不合题意.当时，在单调递减， 可得在上的最大值是，符合题意.所以，在上的最大值是时，的取值范围是.…………12分64．若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是C：A．B．C．D.65．如图，在直角梯形中，，∥，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设（，），则取值范围是AA．B．C．D．66．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是67．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q=（，1），p=（，）且．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函数式的取值范围． 解：（I）∵，∴，…………（2分）根据正弦定理，得，又，…………（4分），，，又；sinA=…………（6分）（II）原式，…………（8分），…………（10分）∵，∴，∴，∴，∴的值域是．…………（12分）68．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝l,且f(x)的导函数>，则满足2f(x)0时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.解:（Ⅰ）当时，若，则，原命题等价于在R上有解．……………2分法一：当时，显然成立； 当时，∴　，即．综合所述　．…………………5分法二：等价于在R上有解，即∴　．………………5分（Ⅱ）设，不妨设，则，，，两式相减得：，……………7分整理得则，于是，…………………9分而令，则设，则，∴　在上单调递增，则，于是有，即，且， ∴　，即．…………………12分76．设函数在处有极值，（1）求函数的单调区间。（2）设，若恒成立，求实数k的范围。77．是偶函数，且在[0，+）上是增函数，不等式对x∈[，1]恒成立，则实数a的取值范围是AA．[-2,0]B．[-5,0]C．[-5,1]D．[-2,1]78．设x，y满足约束条件,若目标函数（其中b>a〉0)的最大值为5，则8a+b的最小值为CA.3B.4C.5D.679．ΔABC的外接圆圆心为O，半径为2，，且，向量在方向上的投影为AA.B.C.3D.—380．若，则二项式展开式中常数项是________.-16081．在中，角A，B,C；的对边为a，b,c，点（a,b)在直线上.(I)求角C的值； (II)若，求ΔABC的面积.（I）由题得，由正弦定理得，即.………………3分由余弦定理得，结合,得.………………6分（II）由得，从而.………………9分所以的面积，………………12分已知椭圆的左焦点为F,左右顶点分别为A、C,上顶点为B,O为原点，P为椭圆上任意一点.过F,B,C三点的圆的圆心坐标为(m,n)(I)当时，求楠圆的离心率的取值范围；(II)在（I)的条件下，椭圆的离心率最小时，若点D(b+1，0),的最小值为.，求椭圆的方程.解：(Ⅰ)设半焦距为c.由题意的中垂线方程分别为，于是圆心坐标为.………………2分所以=，即,即 ,所以，于是即，所以,即.………………5分（II）当时，，此时椭圆的方程为，设，则，所以.…8分当时，上式的最小值为，即=，得；………………10分当时，上式的最小值为，即=，解得不合题意，舍去.综上所述，椭圆的方程为.………………12分已知函数在x=0，处存在极值.(I)求实数a、b的值；(II)函数y=f(x)的图像上存在两点A，B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围； (III）当c=e时，讨论关于x的方程的实根个数.解（I）当时，.………………1分因为函数f(x)在处存在极值，所以解得.………………3分(II)由（I）得根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设.若，则，由是直角得，，即，即.此时无解；………………5分若，则.由于AB的中点在轴上，且是直角，所以B点不可能在轴上，即.同理有，即=0，.因为函数在上的值域是，所以实数的取值范围是.………………7分（III）由方程，知，可知0一定是方程的根，………………8分所以仅就时进行研究：方程等价于构造函数 对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，当时取得最大值，其值域是；对于部分，函数，由，知函数在上单调递增.所以，①当或时，方程有两个实根；②当时，方程有三个实根；③当时，方程有四个实根.………………12分已知函数，且图像在点处的切线斜率为为自然对数的底数).(I)求实数a的值；(II)设，求的单调区间；(III)当时，证明：.解：（Ⅰ），，依题意，所以.……2分（Ⅱ）因为，，所以，.设，则……4分当时，是增函数.对，，即当时，，故在上为增函数，……6分 当时，.是减增函数.对，，即当时,，故在上为增函数，所以，的单调增区间为，.……8分（Ⅲ）要证，即证，即，.……10分，因为，由⑵知，，所以.……12分已知集合，定义函数.若点的外接圆圆心为D,且，则满足条件的函数有C：A.6个B.10个C.12个D.16个过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为CA．B．C．D．在中，是边中点，角，，的对边分别是，，，若，则的形状为CA.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形. 直线（）与函数，的图象分别交于、两点，当最小时，值是BA.B.C.D.在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．（I）求曲线E的方程；（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点M在曲线E上时，求的值．解：（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，∴得…2分由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋＝1．…5分（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M 坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－．…7分y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，即＋＝1，解得k2＝2．…9分这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－，(x＋y)(x＋y)＝(2－x)(2－x)＝4－2(x＋x)＋(x1x2)2＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝，cosá，ñ＝＝－．…12分已知.（I）求函数f（x）的最小值；（II）（i）设（ii）若，且证明：解： （Ⅰ）f¢(x)＝x－＝．…1分当x∈(0，a)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增．当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝a2－a2lna．…4分（Ⅱ）（ⅰ）设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则当0＜t＜a时，g¢(t)＝f¢(a＋t)＋f¢(a－t)＝a＋t－＋a－t－＝＜0，…6分所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0，故f(a＋t)＜f(a－t)．…8分（ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，因0＜a－x1＜a，则由（ⅰ），得f(2a－x1)＝f(a＋(a－x1))＜f(a－(a－x1))＝f(x1)＝f(x2)，…11分 又2a－x1，x2∈(a，＋∞)，故2a－x1＜x2，即x1＋x2＞2a．…12分