2011年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）)1.下列方程中是关于的一元二次方程的是()A.B.ܾC.D.ݔ൅ݔ2.如图，某反比例函数的图象过点，则此反比例函数表达式为A.ݔ.Dݔ.Cݔ.Bݔ3.如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若൅，则等于（）A.B.C.D.൅4.如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，则tan的值为()A.B.C.D.5.抛物线ݔ的顶点坐标是（）A.B.C.D.6.如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是()试卷第1页，总13页 A.B.C.D.7.一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是（）A.＝，＝൅B.＝＝C.＝D.＝8.点sincos关于轴对称的点的坐标是（）A.B.C.D.9.如图所示的二次函数ݔܾ的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：ܾ耀；耀；ܾܽ；ܾܽ．你认为其中错误的有（）A.个B.个C.个D.个10.用配方法解方程൅时，原方程应变形为（）A.B.C.D.11.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（）A.B.C.D.12.如图，过点、，圆心在等腰的内部，＝，＝，＝．则的半径为()A.B.C.D.13.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A.B.C.D.试卷第2页，总13页 14.如图，已知：正方形边长为，，，，分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（）A.B.C.D.15.如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数ݔ的图象上．若点的坐标为，则的值为（）A.B.C.D.或二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）)16.如图，是的半径，点、在上，＝，则＝________度．17.某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度为，坝外斜坡的坡度为，则两个坡角的和为________.试卷第3页，总13页 18.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移൅米，半圆的直径为米，则圆心所经过的路线长是________米．19.关于的方程ܾ＝的解是＝，＝，，，ܾ均为常数，，则方程ܾ＝的解是________．20.如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为，则第个矩形的面积为________．三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）)21.已知是锐角，且sin൅，计算costan的值．22.如图，有、两个转盘，其中转盘被分成等份，转盘被分成等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为ݔ为标坐的点定确而从，ݔ．记ݔ．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标；（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当ܽ时甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？对谁有利？23.今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一．某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过小时及未超过小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图．根据图示，解答下列问题：（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过小时”的学生的概率是多少？（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；（3）年兰州市区初二学生约为万人，按此调查，可以估计年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过小时的学生约有多少万人？试卷第4页，总13页 （4）请根据以上结论谈谈你的看法．24.已知：如图，一次函数ݔ数函例比反与象图的＝ݔ耀的图象交于点．轴于点，ݔ、轴交别分象图的数函次一．点于轴ݔ轴于点、点，且＝，．（1）求点的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？25.如图，在单位长度为的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点、、．（1）请完成如下操作：①以点为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接、．（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：________、________；②的半径________（结果保留根号）；③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为________（结果保试卷第5页，总13页 留）；④若，试判断直线与的位置关系并说明你的理由．26.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对ܽ，如图①，在中，，顶角的正对记作ܽ，这时ܽ底边/腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）ܽ________．（2）对于ܽܽ，的正对值ܽ的取值范围是________．（3）如图②，已知sin，其中为锐角，试求ܽ的值．൅27.已知：如图所示的一张矩形纸片耀，将纸片折叠一次，使点与点重合，再展开，折痕交边于点，交边于点，分别连接和．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，的面积为，求的周长；（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．28.如图所示，在平面直角坐标系ݔ中，正方形的边长为，点、分别在ݔ轴的负半轴和轴的正半轴上，抛物线ݔܾ经过点、和．试卷第6页，总13页 （1）求抛物线的解析式．（2）如果点由点出发沿边以݉的速度向点运动，同时点由点出发沿边以݉的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设①试求出与运动时间之间的函数关系式，并写出的取值范围；൅②当取时，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）在抛物线的对称轴上求点，使得到、的距离之差最大，求出点的坐标．试卷第7页，总13页 参考答案与试题解析2011年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（本题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.C2.B3.C4.B5.A6.D7.D8.B9.D10.C11.A12.C13.A14.B15.D二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分）16.17.൅18.൅19.＝，＝20.三、解答题（本题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21.解：∵sin，∴൅，∴൅，∴原式．22.解：（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标；解法一：画树状图法试卷第8页，总13页 解法二：列表法（2）这个游戏不公平．如图，和൅൅其中ܽ的可能性为，意味着甲获胜的可能性为，同样乙获胜的可能性为，对乙有利．23.解：（1）利用超过小时的占，得出，∴选出的恰好是“每天锻炼超过小时”的学生的概率是；（2）∵൅（人），൅人，∴“没时间”锻炼的人数是；试卷第9页，总13页 （3）（万人），∴年兰州市初二学生每天锻炼未超过小时约有万人．（4）根据同学们的锻炼身体时间情况可以发现，同学们需要加强锻炼．说明：内容健康，能符合题意即可．24.∵一次函数ݔ与＝ݔ轴相交，∴令＝，解得ݔ＝，得的坐标为；∵，，＝，＝＝，∴，则，＝，∴＝＝，∴＝＝，在中，∴，即，∴＝，故，把坐标代入ݔ＝，得到，则一次函数的解析式为：ݔ；把坐标代入反比例函数解析式得＝，则反比例解析式为：ݔ；ݔ根据图象可得：，ݔ解得：或ݔݔ故直线与双曲线的两个交点为，，∵耀，∴当耀时，一次函数的值小于反比例函数的值．൅25.①；②൅③．试卷第10页，总13页 ൅,,൅,26.．（2）当接近时，ܽ接近，当接近时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故ܽ接近．于是ܽ的取值范围是ܽܽܽ．故答案为ܽܽܽ．（3）如图，在中，，sin．൅在上取点，使，连接，作，为垂足，令，൅，则൅，又在中，，sin．൅，．∴sin൅൅，．则在中，൅൅于是在中，，．൅由正对的定义可得：ܽ．൅27.（1）证明：由题意可知，，∵݉݉，∴，，∴，∴，又݉݉，∴四边形是平行四边形，由图形折叠的性质可知，，∴四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形，∴，设，ܾ，∵的面积为，∴ܾ，ܾ，∴ܾ，∴ܾ或ܾ（不合题意，舍去），∴的周长为；（3）解：存在，过点作的垂线，交于点，点就是符合条件的点；试卷第11页，总13页 证明：∵，，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴．28.抛物线的解析式为：ݔ．（2）①由图象知：，，∴，，即൅．答：与运动时间之间的函数关系式是൅，的取值范围是．②解：假设存在点，可构成以、、、为顶点的平行四边形．∵൅，൅൅∴当时，൅，得，解得，（不合题意，舍去），此时点的坐标为，点的坐标为，若点存在，分情况讨论：假设在的右边，如图所示，这时，݉݉，则的横坐标为，的纵坐标为，即，代入ݔ，左右两边相等，∴这时存在满足题意；假设在的左边时，这时，݉݉，൅则代入，ݔ，左右不相等，∴不在抛物线上．试卷第12页，总13页 综上所述，存在一点满足题意．则存在，点的坐标是；（3）如图，，∵关于抛物线的对称轴的对称点为，过、的直线与抛物线的对称轴的交点为所求，理由是：∵，若不为与的交点，则三点、、构成三角形，∴ܽ，即到、的距离之差为时，差值最大，ܾ设直线的解析式是ݔܾ，把、的坐标代入得：，ܾ解得：，ܾ，∴ݔ，抛物线ݔ的对称轴是，把代入得：ݔ∴的坐标为；答：的坐标为．试卷第13页，总13页