2014年广西北海市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，计36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的．）)1.计算ⅈ앐ɷⅈ灰앐的结果是（）A.ⅈB.ⅈC.D.2.从上面看如图所示的几何体，得到的图形是（）A.B.C.D.3.甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，每人各射击次，他们射击成绩的平均数都是′环，各自的方差见如下表格：甲乙丙丁方′灰′͵灰′͵灰′差由上可知射击成绩最稳定的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁4.若两圆的半径分别是晦䁚和晦䁚，圆心距为晦䁚，则这两圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.外离5.在平面直角坐标系中，点ⅈ앐在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.如图香䁨中，、分别是边香、䁨的中点，已知㜵，则香䁨的长为（）A.B.C.D.7.下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A.个B.个C.灰个D.个试卷第1页，总11页 8.下列命题中，不正确的是（）A.边形的内角和等于ⅈ앐B.两组对边分别相等的四边形是矩形C.垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半9.已知一个扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的弧长是앐A.B.͵C.D.10.北海到南宁的铁路长千米，动车运行后的平均速度是原来火车的′倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了′小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（）A.ɷ′㜵B.ⅈ′㜵′′C.ɷ′㜵D.ⅈ′㜵′′11.如图，香䁨中，䁨香＝͵，在同一平面内，将香䁨绕点旋转到的位置，使得䁨香，则香等于（）A.灰B.C.D.͵䁪12.函数㜵䁪ɷ与㜵䁪앐在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）)13.已知㜵灰，则的补角等于________度．试卷第2页，总11页 14.因式分解：ⅈ＝________．15.若一元二次方程ⅈ͵ɷ䁚＝有两个相等的实数根，则䁚的值为________．16.某校男子足球队的年龄分布如图的条形统计图，则这些足球队的年龄的中位数是________岁．䁪䁪灰䁪䁪͵17.下列式子按一定规律排列：，，，，…，则第个式子是________．͵18.如图，反比例函数㜵앐的图象交香的斜边于点，交直角边香于点䁨，点香在轴上．若䁨的面积为，㜵，则的值为________．三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）)ⅈ19.计算：앐ⅈⅈɷ͵ⅈ灰ɷ앐．灰灰ɷ㜵灰20.解方程组．ⅈ㜵21.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同，现在两辆汽车经过这个十字路口．（1）请用“树形图”或“列表法”列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；（2）求这两辆汽车都向左转的概率．22.已知香䁨中，＝，香＝．（1）求作：，使得经过、䁨两点，且圆心落在香边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：香䁨是（1）中所作的切线．试卷第3页，总11页 23.如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算䁨的长度．（结果保留小数点后两位；参考数据：sinnat，͵′㜵soc，͵͵灰′㜵㜵′）24.某经销商从市场得知如下信息：品牌手表香品牌手表进价（元/块）͵售价（元/块）͵他计划用万元资金一次性购进这两种品牌手表共块，设该经销商购进品牌手表块，这两种品牌手表全部销售完后获得利润为元．（1）试写出与之间的函数关系式；（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于′͵万元，该经销商有哪几种进货方案？（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？25.如图앐，是正方形香䁨的边香䁨上的一个点（与香、䁨两点不重合），过点作射线，在射线上截取线段，使得㜵；过点作香䁨交香䁨的延长线于点．（1）求证：㜵香；（2）连接䁨，如图앐，求证：䁨平分䁨；香灰（3）当㜵时，求sin䁨的值．香䁨26.如图앐，抛物线㜵ⅈɷɷ晦与轴交于、香两点，与轴交于点䁨，其中点的坐标为ⅈ앐．（1）求此抛物线的解析式；试卷第4页，总11页 （2）①若点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于，连接䁨，以为直径作，如图앐，试求当䁨与相切时点的坐标；②点是轴上的动点，在抛物线上是否存在一点，使、䁨、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第5页，总11页 参考答案与试题解析2014年广西北海市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，计36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的．）1.A2.C3.A4.C5.B6.C7.C8.B9.D10.D11.C12.B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13.灰͵14.ⅈ앐15.16.䁪͵17.18.三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）19.原式＝灰ⅈɷⅈ＝．灰ɷ㜵灰20.，ⅈ㜵①+②得：͵＝，解得：＝，把＝代入①得͵ɷ＝灰，解得：＝ⅈ灰，㜵则原方程组的解是．㜵ⅈ灰21.两辆汽车所有种可能的行驶方向如下：甲汽车左转右转直行乙汽车左转（左转，左转）（右转，左转）（直行，左转）右转（左转，右转）（右转，右转）（直行，右转）直行（左转，直行）（右转，直行）（直行，直行）试卷第6页，总11页 由上表知：两辆汽车都向左转的概率是：．22.作图如图：证明：如图，连接䁨，∵＝䁨，＝∴香䁨＝，又∵香＝，∴香䁨ɷ香＝∴䁨香＝∴䁨香䁨∴香䁨是的切线．23.解：由已知有：香㜵，香䁨㜵，䁨㜵䁨㜵∴香䁨㜵，∴䁨㜵，香又∵tan香㜵，香∴香㜵香tan香，䁨又∵cos香㜵cos䁨㜵，䁨∴䁨㜵䁨cos香㜵香ⅈ香䁨앐cos香㜵香tan香ⅈ香䁨앐cos香㜵′ⅈ′앐′͵灰′䁚앐．24.＝ⅈ͵앐ɷ͵ⅈ앐ⅈ앐＝ɷ͵，其中͵ɷⅈ앐，得，试卷第7页，总11页 即＝ɷ͵Ͳ앐；令͵，则ɷ͵͵，∴͵′，又∵，∴͵′∴经销商有以下三种进货方案：方香案品品牌牌（（块块））①②③∵＝ɷ͵，，∴随的增大而增大，∴＝时，取得最大值，又∵ɷ͵＝灰，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是灰元．25.（1）证明：∵，∴香ɷ㜵，又∵香ɷ香㜵，∴㜵香，又∵香䁨，∴香㜵㜵，在香与中，香㜵香㜵，㜵∴香앐，∴㜵香；（2）证明：由（1）知：香䁨㜵香㜵，∴香䁨ⅈ䁨㜵ⅈ䁨，∴香㜵䁨，又∵㜵香，∴㜵䁨，又∵䁨㜵，∴䁨㜵㜵䁨，∴䁨平分䁨；（3）解：如图，作䁨于，∵䁨㜵，䁨㜵㜵，试卷第8页，总11页 ∴䁨，䁨䁨∴㜵，香灰根据㜵，设香㜵灰䁪，则䁨㜵䁪，㜵䁪，㜵䁨㜵灰䁪，香䁨∴㜵䁪，䁨㜵灰䁪，䁨䁪灰∴㜵，䁨㜵䁪，灰䁪䁪䁨∴sin䁨㜵㜵．䁨26.方法一：解：（1）由已知有：ⅈⅈ앐ɷⅈ앐ɷ晦㜵，∴晦㜵灰，抛物线的解析式是：㜵ⅈɷɷ灰，（2）①令앐，앐，则앐，앐，由（1）知䁨灰앐，连接䁨、，∵、䁨与相切，∴䁨㜵䁨，䁨㜵，∴䁨㜵，∴䁨，䁨∴㜵，灰∴㜵，又∵点在抛物线上，满足解析式㜵ⅈɷɷ灰，灰∴㜵앐，又∵，灰∴㜵ɷ앐，灰灰灰∴㜵灰ɷ앐，则点的坐标是：（ɷ灰ɷ앐）．试卷第9页，总11页 ②假设存在满足条件的点䁪앐．若构成的四边形是䁨，（下图）则与䁨关于直线㜵对称，∴点的坐标是：灰앐；若构成的四边形是䁨，（下图）则由平行四边形的性质有㜵ⅈ灰，又∵ⅈ䁪ɷ䁪ɷ灰㜵ⅈ灰，∴䁪㜵͵，此时点的坐标是：͵ⅈ灰앐方法二：（1）略．（2）①连接䁨，，∵为抛物线：㜵ⅈɷɷ灰上的一点，∴设ⅈɷɷ灰앐，∴앐，∵为中点，∴앐，∵䁨灰앐，䁨与相切，∴䁨㜵，䁨㜵䁨，∵轴，∴䁨ɷ䁨㜵∴䁨ɷ䁨㜵∴䁨，∴䁨㜵ⅈ，灰ɷ灰ⅈⅈ灰㜵灰∴㜵ⅈ，∴，ⅈⅈ灰ⅈ灰㜵灰ɷ灰ɷ灰∴앐．②∵是轴上的动点，∴设앐，∵ⅈ앐，䁨灰앐，ⅈ㜵䁨ⅈ㜵ɷ∴，∴，ⅈ㜵䁨ⅈ㜵灰㜵ⅈɷ㜵ⅈ同理：或，㜵灰㜵ⅈ灰试卷第10页，总11页 ɷ㜵∴ⅈɷ앐ɷɷɷ灰㜵灰，∴，ɷ㜵ⅈⅈ㜵∴ⅈⅈⅈ앐ⅈⅈɷ灰㜵灰，∴，ⅈⅈ㜵∴ⅈⅈ㜵ⅈ，灰ⅈ㜵灰ɷⅈɷ앐͵，综上所述，满足题意的点ɷ，앐灰ⅈ͵ⅈ͵ⅈ灰앐．试卷第11页，总11页