2015年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．)1.的相反数是()A.B.C.D.2.下列几何体中，正视图是矩形的是（）A.B.C.D.3.某班开展分钟仰卧起坐比赛活动，名同学的成绩如下（单位：个）：、、、、．这组数据的众数是（）A.B.C.D.4.下列说法不一定成立的是（）A.若‸㠳，则൅‸㠳൅B.若൅‸㠳൅，则‸㠳C.若‸㠳，则‸㠳D.若‸㠳，则‸㠳5.如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、．已知，则的值为（）A.B.C.D.6.二次函数൅൅的最大值为A.B.C.D.7.如图，已知的三个顶点均在格点上，则cos的值为（）试卷第1页，总14页 A.B.C.D.8.电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱到：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得均？”刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．”若用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少”的狗有条，“三多”的狗有条，则解此问题所列关系式正确的是()൅A.൏൏൏൅B.൏൏൏、为奇数൅C.൏൏、为奇数൅൏൏D.൏൏、为奇数9.已知二次函数＝൅㠳൅的图象如图所示，记＝㠳൅൅൅㠳൅，＝൅㠳൅൅㠳．则下列选项正确的是（）A.൏B.‸C.＝D.、的大小关系不能确定10.如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结，．则面积的最大值是()试卷第2页，总14页 A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．)11.的倒数是________．12.函数的自变量的取值范围是________．13.九年级班名学生参加学校的植树活动，活动结束后，统计每人植树的情况，植了棵树的有人，植了棵树的有人，植了棵树的有人，那么平均每人植树________棵．14.如图，在等腰三角形中，，垂直平分，已知，则________．15.如图，已知、，将香绕着点香逆时针旋转，使点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为________．16.在直角坐标系香中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．൏例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．（1）若点是一次函数൅图象上点的“可控变点”，则点的坐标为________．（2）若点在函数൅的图象上，其“可控变点”的纵坐标的取值范围是，则实数的取值范围是________．三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.)൅cos൅17.计算：．൏18.求不等式组的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．൅试卷第3页，总14页 19.化简求值：，其中．四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．)20.如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，交于点．求证：.若，，求的长．21.某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩分成四类，并制作了如下的统计图表：类别成绩频数甲൏乙൏丙൏丁根据图表信息，回答下列问题：（1）该班共有学生________人；表中＝________；（2）将丁类的五名学生分别记为、、、、，现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛，请借助树状图、列表或其他方式求一定能参加决赛的概率．22.“六一”期间，小张购进只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：型号进价（元/只）售价（元/只）型型试卷第4页，总14页 （1）小张如何进货，使进货款恰好为元？（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.)23.如图，四边形中，，，，tan．（1）求边的长；（2）如图，将直线边沿箭头方向平移，交于点，交于点（点运动到点停止）．设，四边形的面积为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．24.如图所示，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作垂直轴于点，连接．若的面积为．求的值；轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.)25.已知中，是香的弦，斜边交香于点，且，延长交香于点．（1）图的、、、、五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段的长？请说明理由；（2）如图，过点作香的切线，交的延长线于点．①若时，求sin的值；试卷第5页，总14页 ②若‸时，试猜想sin的值．（用含的代数式表示，直接写出结果）26.如图，二次函数＝൅㠳൅的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点．若tan＝，一元二次方程൅㠳൅＝的两根为、．（1）求二次函数的解析式；（2）直线绕点以为起始位置顺时针旋转到位置停止，与线段交于点，是的中点．①求点的运动路程；②如图，过点作垂直轴于点，作所在直线于点，连结、，在运动过程中，的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结，求周长的最小值．试卷第6页，总14页 参考答案与试题解析2015年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.A2.B3.C4.C5.D6.C7.D8.B9.A10.C二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11.12.13.14.15.16.，．三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.17.解：原式൅．൏18.解：൅解不等式①得：൏；解不等式②得：．则不等式组的解集是：൏．19.原式൅൅，൅当时，原式．൅试卷第7页，总14页 四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．20.证明：∵，∴，根据折叠的性质，，∴，∴，在和中，，，，∴.解：在中，∵，，∴，在中，∵，，∴，∴，∴，∴．21.,列表如下：---------------所有等可能的情况有种，其中一定参加的情况有种，则（一定参加）．22.设文具为只，则文具为只，可得：൅＝，解得：＝．答：文具为只，则文具为＝只；设文具为只，则文具为只，可得൅Ψ൅ͷ，试卷第8页，总14页 解得：，设利润为，则可得：＝൅＝൅＝൅，因为是减函数，所以当＝时，利润最大，即最大利润＝൅＝元．五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.23.解：（1）如图，分别延长、相交于，在中，∵tan，，，∴，，，又∵൅，൅，∴，由tan，得cos，∴cos，∴；（2）如图，由（1）可知tan，∴，如图，由，可知，∴，∴，即൅，൅∵四边形，∴൅൅൅，∴当点到达点时，点在点处，由，，∴，∴自变量的取值方范围为：൏．24.解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于，两点，∴，两点关于原点对称，试卷第9页，总14页 ∴香香，∴香的面积香的面积，又∵是反比例函数图象上的点，且轴于点，∴香的面积，∴，∵‸，∴．轴上存在一点，使为直角三角形．将与联立成方程组得：，，，，解得：或，，∴，，①当时，如图，设直线的关系式为൅㠳，将代入上式得：㠳，∴直线的关系式为൅，令得：，∴；②当时，如图，设直线的关系式为൅㠳，试卷第10页，总14页 将代入上式得：㠳，∴直线的关系式为，令得：，∴；③当时，如图，∵香为线段的中点，∴香香，∵，∴香，，由勾股定理得：香香൅，∴香，∴．根据对称性，当为直角顶点，且在轴负半轴时，．故轴上存在一点，使为直角三角形，点的坐标为或或或．六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25.解：（1）．理由：连接、，如图，∵，∴，∴．∵，∴；（2）连接、，如图，∵，∴是香的直径．∵是香香的切线，∴，∴．试卷第11页，总14页 又∵，∴，∴，∴．①当时，，，∴，∴．∵，∴．∴sinsin；൅②当‸时，sin．൅提示：∵，，∴൅൅൅，∴൅൅，∴൅．∵，∴൅．൅∴sinsin．൅൅26.∵函数＝൅㠳൅与轴交于、两点，且一元二次方程൅㠳൅＝两根为：，，∴、，即香＝，又∵tan＝，∴香＝，即，将、代入＝൅㠳中，得：㠳，൅㠳解得：，㠳∴二次函数的解析式为：൅；①如图，当在位置时，即为的中点，当运动到位置时，即为中点，试卷第12页，总14页 ∴的运动路程为的中位线，∴，在香中，香＝，香＝，∴＝，∴，即的运动路程为：；②的大小不会改变，理由如下：如图，∵，∴在中，为斜边的中点，∴＝，∴＝，同理可得：＝，∴＝൅＝൅，即＝，又∵大小不变，∴的大小不会改变；设的周长为，则＝൅൅，∵，，∴＝൅，在等腰三角形中，如图，过点作于点，∴＝，香∵tan，香∴tan，∴，，∴＝൅＝൅，又当时，最小，此时最小，又＝，∴＝，∴＝，∴最小值为：．试卷第13页，总14页 试卷第14页，总14页