2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）)1.下列各数中，比小的数是（）A.B.C.D.2.如图所示几何体的左视图是（）A.B.C.D.3.函数t中自变量的取值范围是（）A.B.㌳C.D.쳌4.一组数据，，，，的平均数是，则的值为（）A.B.C.D.5.在平面直角坐标系中，点䁨t㌳䁨在第二象限，则䁨的取值范围为（）A.䁨쳌B.䁨쳌C.䁨㌳D.쳌䁨쳌6.某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的倍比绘画小组的人数多人，绘画小组人数的倍比书法小组的人数多人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有人，绘画小组有人，那么可列方程组为（）A.B.C.D.7.分式方程的解为（）A.B.C.D.无解8.如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④tan．其中正确结论的个数是（）试卷第1页，总15页 A.B.C.D.二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）)9.长城的总长大约为͹䁨，将数͹用科学记数法表示为________．10.分解因式䁕的结果是________．11.有张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为，，，，，若将这张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是________．12.如图，在▱中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，分别交，于点，，连接，，，则．13.若一个圆锥的底面圆半径为径䁨，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长为________径䁨．14.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到（其中点恰好落在延长线上点处，点落在点处），连接，则四边形的面积为________．15.如图，在平面直角坐标系中，正方形，和正方形，的顶点，在轴上，顶点，在轴上，且＝，反比例函数㌳的图象经过点，则＝________．试卷第2页，总15页 16.如图，在中，，，交边于点，且，则________．三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）)tt17.先化简，再求值：，其中．tt18.如图，四边形为平行四边形，和的平分线，分别交，的延长线于点，，交边，于点，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）若，䁕，求t的值．四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）)19.某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每天的课外阅读时间（单位：min）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图表，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取________名学生．（2）统计表中________，________．（3）将频数分布直方图补充完整．（4）若全校共有名学生，请估计阅读时间不少于min的有多少人．试卷第3页，总15页 课外阅读时间min频数/人频率쳌쳌쳌쳌䁕쳌͹20.为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有名学生（名男生，名女生）获奖．老师若从获奖的名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为________．老师若从获奖的名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）)21.如图，建筑物在观测点的北偏东方向上，从观测点出发向南偏东方向走了䁨到达观测点，此时测得建筑物在观测点的北偏东方向上，求观测点与建筑物之间的距离．（结果精确到䁨．参考数据：͹）22.如图，，均为直角三角形，，，与相交于点，以为直径的，恰好经过点，并与，分别交于点和点．（1）求证：．（2）若，，求的长．试卷第4页，总15页 六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）)23.某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件元，售价每件元，每天销售件，每销售一件需缴纳网络平台管理费元．未来天，这款时装将开展“每天降价元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降元，通过市场调查发现，该时装单价每降元，每天销售量增加件，设第天（且为整数）的销量为件．直接写出与的函数关系式；在这天内，哪一天的利润是元？设第天的利润为元，试求出与之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．24.如图，一次函数t的图象交轴于点、交轴于点，，的平分线交轴于点，过点作直线，垂足为点，交轴于点．（1）求直线的解析式；（2）在线段上有一动点（不与点，重合），过点分别作轴，轴，垂足为点、，是否存在点，使线段的长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．七、解答题（本大题共1小题，共12分）)25.如图，，点是平分线上的一点，过点分别作，，垂足分别为点，，，点为线段上的一点（点不与点，重合），连接，以为直角边，点为直角顶点，作等腰直角三角形，点落在左侧．求证：；连接，请你判断与的位置关系，并说明理由；设，的面积为，求与之间的函数关系式．试卷第5页，总15页 八、解答题（本大题共1小题，共14分）)26.如图，抛物线tt与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．（1）试探究的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；（2）点是抛物线上一点（不与点重合），且，求的度数；（3）在（2）的条件下，点是轴上方抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第6页，总15页 参考答案与试题解析2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.D2.3.A4.B5.A6.D7.B8.A二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9.͹10.t11.12.͹13.͹14.15.䁕16.三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）tt17.tttttttt，t当时，原式．t18.证明：∵四边形为平行四边形，∴，，∵、分别平分和，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形；由（1）可知，∴䁕，∵，试卷第7页，总15页 ∴，∵，∴，，∴，∴，∴，䁕∴t䁕，∴，∴tt．四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）19.,；若全校共有名学生，请估计阅读时间不少于min的有人20.画树状图为：共有种等可能的结果数，其中选出名男生和名女生的结果数为种，所以恰好选出名男生和名女生的概率．五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）21.如图，过作于．根据题意，得t，䁨．在中，∵，∴䁨，䁨．∵䁕͹，∴䁕䁕͹．在中，∵tan，试卷第8页，总15页 ∴䁨，∴tt͹͹䁨．故观测点与建筑物之间的距离约为͹͹䁨．22.证明：∵，，∴t，t，∵，∴；连接，∵是圆，的直径，∴，∴t，∵t，，∴，即，∵，∴，∴，∵，，∴，解得，，∴，即．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）23.解：由题意可得t（且为整数）.根据题意可得t，即t䁕，解得或（舍），∴在这天内，第天的利润是元．试卷第9页，总15页 根据题意可得：t，tt䁕，t䁕，∵쳌，∴函数有最大值，∴当时，有最大值为䁕元，∴第天的利润最大，最大利润是䁕元．24.根据题意得点的横坐标为，点的纵坐标为，∴㌳，䁕㌳，∴，䁕，，，∴，t，，∵平分，，，，，，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∵，，，，∴，，∴，，∴，䁕∴，∴，，，∴㌳，∵，，，，，，∴，，∴，∴，，，∴㌳，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，͹存在，㌳，方法、如图，∵点在直线t上，∴设䁨㌳䁨t，∴䁨，䁨t，试卷第10页，总15页 ͹͹根据勾股定理得，t䁨t䁨t䁨t，͹∴当䁨时，有最小值，则有最小值，͹͹当䁨时，tt，͹∴㌳．方法、如图∵轴于，，于轴，∴，，，，∴四边形，是矩形，∴，∴，最小时，最小，∴，，∵，䁕，，，∴，䁕∴，，易知，，，，，，∴，，，∴，䁕͹∴，，͹∴的横坐标为，∵点在直线t上，∴的纵坐标为，͹∴㌳．试卷第11页，总15页 七、解答题（本大题共1小题，共12分）25.证明：∵，点是平分线上的一点，∴，又，∴，∴，∴是等腰直角三角形．又∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴；解：，理由如下：∵tt，∴．由知，，∴，∴．∵，∴，∴t䁕，∴；如图所示，过点作，交的延长线于点．∵，与都是等腰直角三角形，∴，．由知，，∴，即，∴．试卷第12页，总15页 ∵，又，∴sin，∴t，即：t．八、解答题（本大题共1小题，共14分）26.∵抛物线tt与轴交于点，∴㌳，令，则tt，∴或，∵点在点的左侧，∴㌳，㌳，∴，，，，，，根据勾股定理得，，，∵，t，，∴tt，∴是直角三角形，∴是的外接圆的直径，∴的外接圆的圆心是线段的中点，∴其坐标为㌳；∵㌳设直线的解析式为t，∵㌳，∴t，∴，∴直线的解析式为t，∵是抛物线上一点，设点䁨㌳䁨t䁨t如图，过点作轴交直线于点，∴䁨㌳䁨t，①当点在直线上方时，t，试卷第13页，总15页 ∴䁨t䁨t䁨t䁨t䁨t䁨t䁨t䁨∴䁨䁨t，∵쳌，∴此方程没有实数根；∴当点在直线上方时，，②当点在直线下方时，，∴䁨t䁨t䁨t䁨䁨t䁨t䁨t䁨∴䁨䁨，∴䁨（舍）或䁨，∴㌳作轴于，交于，∴，，根据勾股定理得，，，过点作于，∴，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴；存在，如图，∵抛物线tt的对称轴为，由（2）知，㌳，，设㤵㌳㤵t㤵t，①当点在抛物线对称轴右侧时，即：点处时，，∴点到对称轴的距离为，∴㤵，∴㤵，∴㌳，䁕易知，，∴㌳；䁕试卷第14页，总15页 ②当点在抛物线对称轴左侧时，即：处时，，∴点到对称轴的距离为，∴㤵，∴㤵，∴㌳，䁕易知，，∴㌳．䁕即：满足条件的点的坐标为㌳或㌳．䁕䁕试卷第15页，总15页