2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）)1..的倒数是（）A..B.C.D....2.下列图形不是轴对称图形的是（）A.B.C.D.3.若有意义，则䁕的取值范围是䁕A.䁕B.䁕C.䁕D.䁕쳌4.下列命题是真命题的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D.三角形任意两边之差小于第三边5.某校开展“中国梦•快乐阅读”的活动，为了解某班同学寒假的阅读情况，随机调查了名同学，结果如下表：阅.读量/本人数关于这名同学的阅读量，下列说法正确的是（）A.众数是本B.中位数是.位.本C.平均数是.位本D.方差是6.如图，在쳌䁩在中，쳌＝，＝，在平分在䁩交쳌䁩于点，则䁩在的周长为（）A.B.C.D.7.已知二次函数푎䁕ܾ䁕푎，ܾ，为常数푎的图象如图所示，下列结论试卷第1页，总14页 正确的是（）A.푎ܾ쳌B.푎ܾܾC.푎ܾܾ푎ܾ（为大于的实数）D.푎쳌8.如图，点在线段쳌上，＝，쳌＝，䁩为射线，且쳌䁩＝，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿射线䁩作匀速直线运动．设运动时间为秒，当쳌为直角三角形时，的值为（）A.＝B.＝或C.D.＝或二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）)9.据有关部门统计，年全国骚扰电话高达Lj亿通，数据Lj亿可用科学记数法表示为________．10.分解因式：＝________．11.一个角的余角是.䁑，则这个角的补角是________．12.近年来食品安全问题备受人们的关注，某海关想检验一批进口食品的防腐剂含量是否符合国家标准，这种调查适用________（填“全面调查”或“抽样调查”）．13.一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为________．（结果保留）14.如图，在矩形쳌䁩在中，쳌，쳌䁩，是在的中点，连接쳌，䁩，点在线段쳌䁩上（点不与쳌、䁩重合），过点作쳌于，䁩于，试卷第2页，总14页 则的值为________．15.如图，点在直线䁕上，쳌䁕轴于点쳌，点䁩在线段쳌上，以䁩为边作正方形䁩在，点在恰好在反比例函数为常数，第一象限的图象上，䁕连接在．若在，则的值为________．16.如图，쳌䁩和在均为等腰直角三角形，쳌䁩在，点쳌，在，在同一直线上，是在的平分线，分别交在，쳌䁩于点，，连接䁩，䁩.，下面结论正确的是________（填序号）．①쳌在䁩；②tan쳌；③䁩；④䁩쳌；⑤在䁩．三、解答题（共10小题，满分102分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）)17.已知是锐角，且cos.，计算costan的值．18.现在人们学习、工作、生活压力较大，身体常常处于亚健康状态，为了缓解压力，人们往往会通过不同的方式减压，岳阳市第十中学学生社团对本校部分老师的减压方式进行了调查（教师可根据自己的情况必选且只选其中一项），并将调查结果分析整理后制成了统计图：试卷第3页，总14页 这次抽样调查中，一共抽查了多少名教师？请补全条形统计图．请计算，扇形统计图中，“歌”所对应的圆心角是多少度？请根据调查结果估计该校名教师采用“美食”减压的人数是多少？19.在一个不透明的盒子里，装有五个乒乓球，分别标有数字，，，，，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同，先从盒子中随机摸出一个乒乓球，记下数字不放回，再从剩下的乒乓球中随机摸出一个，记下数字．（1）用画树状图或列表的方法，求出两次摸出的数字之积不大于的概率；（2）若直线＝䁕与两个坐标轴围成쳌，请直接写出以第一次摸出的数字为横坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在쳌内部（不包括边界）的概率．20.如图，쳌䁩在的对角线相交于点，点，，分别是쳌，䁩，在的中点，分别连接，，，与䁩相交于点，且䁩쳌．（1）求证：；（2）求证：为等腰三角形．21.近两个月，由于受到“中东呼吸综合症”的影响，赴韩旅游的人数明显减少．某旅行社为了吸引游客，决定将赴韩旅游的人均费用下调元．下调后，总费用同样是.元，赴韩旅游的人数却可以比过去增加人．求该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是多少元？22.如图，一艘海上巡逻船在地巡航，测得地在观测站쳌的南偏东.方向上，在观测站䁩的南偏西方向上，观测站쳌在观测站䁩的正西方向，此时地与观测站试卷第4页，总14页 쳌的距离为海里．（1）求地与观测站䁩的距离是多少海里？（2）现收到故障船在的求救信号，要求巡逻船从地马上前去救援（䁩，，在共线）．已知在船位于观测站쳌的南偏西.方向上，巡逻船的速度是海里/小时，求巡逻船从地到达故障船在处需要多少时间？（结果保留小数点后一位，参考数据位，位Lj，.位）23.是쳌䁩的外接圆，쳌䁩，弦쳌在쳌，쳌是的切线交在䁩的延长线于点．求证：쳌䁩；.若쳌䁩.，的半径为，求线段䁩在的长度．24.某文具店购进，쳌两种钢笔，若购进种钢笔支，쳌种钢笔支，共需元；购进种钢笔支，쳌种钢笔.支，共需.元．（1）求、쳌两种钢笔每支各多少元？（2）若该文具店要购进，쳌两种钢笔共支，总费用不超过.元，并且种钢笔的数量少于쳌种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？（3）文具店以每支元的价格销售쳌种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批쳌种钢笔，涨价卖出，经统计，쳌种钢笔售价为元时，每月可卖支；每涨价元，每月将少卖支，设文具店将新购进的쳌种钢笔每支涨价푎元（푎为正整数），销售这批钢笔每月获利元，试求与푎之间的函数关系式，并且求出쳌种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？25.如图所示，在菱形쳌䁩在和菱形中，点，쳌，在同一条直线上，是线段䁩的中点，连接在，．（1）若쳌在，请直接写出在的度数及的值．在（2）若쳌在，将菱形쳌䁩在绕点顺时针旋转，使菱形쳌䁩在的对角线䁩恰好与菱形的边在同一直线上，如图，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明．（3）若쳌在쳌쳌，将菱形쳌䁩在绕点顺时针旋转试卷第5页，总14页 到图的位置，求出的值．在26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线푎䁕ܾ䁕푎，ܾ，为常数푎与䁕轴，轴分别交于，쳌，䁩三点，已知，쳌，䁩，动点从抛物线的顶点点在出发沿线段在쳌向终点쳌运动．（1）求抛物线解析式和顶点在的坐标；（2）过点作轴于点，交抛物线对称轴左侧的部分于点，交直线쳌䁩于点，过点作䁕轴于点，连接，求当线段最短时点的坐标；（3）在点运动的同时，另一个动点从点쳌出发沿直线䁕向上运动，且速度均为每秒个单位长度，当点到达终点쳌时点也随之停止运动，设点的运动时间为秒，试问存在几个值能使쳌为等腰三角形？并直接写出相应值．试卷第6页，总14页 参考答案与试题解析2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.B二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9.位Lj10.11.䁑12.抽样调查13.14..15.16.①③④三、解答题（共10小题，满分102分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：∵cos.，∴.，∴.，则costan．18.解：∵旅游的人数共人，占总人数的㜳，∴㜳.（名）．答：一共抽查了.名教师；∵喜欢运动的人数占㜳，∴.㜳（人），∴美食人数.Lj.（人）．条形统计图如图；试卷第7页，总14页 ∵“歌”的人数是Lj人，Lj∴.位．.答：“歌”所对应的圆心角是.位度；人．.答：该校..名教师采用“美食”减压的人数是人．19.画树状图如下：共有种情况，其中两次摸出的数字之积不大于的有、、、、、、、、、、，共种情况（积不大于）；.第一次摸出的数字为横坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在쳌内部（不包括边界）共有：、、、、、、、、，种情况，（在쳌内部）．20.证明：（1）∵，分别是쳌，䁩的中点，试卷第8页，总14页 ∴쳌䁩，쳌䁩，∵是在的中点，∴在，在平行四边形쳌䁩在中，在쳌䁩，在쳌䁩，∴，，∴，，在和中，，∴：．（2）连接，∵四边形쳌䁩在是平行四边形，∴在쳌䁩，䁩䁩，∵䁩쳌，∴쳌，∵为쳌中点，∴쳌在（三线合一定理），∴在，∵为在中点，∴在（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∵쳌䁩在，∴쳌䁩，∵、分别是쳌、䁩中点，∴쳌䁩，∴．21.该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是元．22.地与观测站䁩的距离是海里．（2）过点作쳌在于点，由题意可知：在쳌.，在쳌，在쳌䁩.，在쳌中，쳌sin．在在中，在，sin.在位．答：巡逻船从地到达故障船在处需要位小时．试卷第9页，总14页 23.证明：连接쳌，在，在쳌在和쳌中，쳌쳌，在，쳌在쳌，∴쳌在쳌，∴在쳌쳌.又∵䁩在쳌䁩쳌，쳌쳌，∴在쳌䁩在쳌，∴쳌在，∴쳌.∵쳌为的切线，∴쳌쳌，∴쳌，∴，∴쳌䁩.解：在쳌䁩中，∵䁩.，쳌䁩.，∴쳌䁩쳌䁩.，∴쳌在쳌..∵쳌䁩，쳌䁩쳌在，∴쳌䁩在쳌，쳌䁩쳌䁩∴，在쳌在쳌∴在，쳌，在쳌䁩中，䁩쳌䁩쳌，∴䁩在在䁩．24.设种钢笔每只䁕元，쳌种钢笔每支元，䁕由题意得，䁕..䁕.解得：，答：种钢笔每只.元，쳌种钢笔每支元；设购进种钢笔支，..由题意得：，쳌∴位쳌.，∵是整数试卷第10页，总14页 ＝，，∴＝Lj，或；∴共有两种方案：方案一：购进种钢笔支，购进쳌种钢笔Lj支，方案二：购进种钢笔只，购进쳌种钢笔只；Lj＝푎푎＝푎푎＝푎Lj，∵쳌，∴有最大值，∵푎为正整数，∴当푎＝，或푎＝时，最大，Lj∴＝Lj＝Lj，푎＝，或；最大答：쳌种铅笔销售单价定为元或元时，每月获利最大，最大利润是Lj元．25.解：（1）延长交䁩在于，如图所示：∵在菱形쳌䁩在和菱形中，쳌䁩在在，쳌䁩在，，쳌，∴䁩在，∴䁩，∵是线段䁩的中点，∴䁩，在和䁩中，䁩䁩，䁩∴䁩，∴䁩，，∴䁩，∴在在，∴在（三线合一），∴在；∵쳌在，∴在䁩，∴在在在䁩，∴tan在tan；在（2）（1）中的两个结论不发生改变；理由如下：延长交䁩于，连接在、在，如图所示：试卷第11页，总14页 ∵四边形为菱形，∴䁩，∴䁩，∵是线段䁩的中点，∴䁩，在和䁩中，䁩䁩，䁩∴䁩，∴䁩，，∵，∴䁩，∵四边形쳌䁩在是菱形，∴䁩䁩在，∵쳌在，∴䁩在，∴䁩在是等边三角形，∴在䁩在，∴在䁩，在䁩在䁩，∴在在䁩，在在和䁩在中，在䁩在在在䁩，䁩∴在䁩在，∴在在，在䁩在，∴在，∴在，在在䁩，∴在，∴tan；在（3）延长到，使得，连接䁩、在、在，延长在䁩交的延长线于点，如图所示：试卷第12页，总14页 同（2）可证䁩，∴䁩䁩，䁩，∴䁩，∵，∴䁩，∴在䁩，∵䁩在쳌，∴쳌，∴在䁩쳌，∵쳌在，∴在䁩，∴，∴在쳌，∴在在䁩，∵，∴䁩，在在和䁩在中，在䁩在在在䁩，䁩∴在䁩在，∴在䁩在，在在，∴在在䁩，∴在，在在，∴tan．在26.解：（1）由题意得푎ܾ푎ܾ，푎解得ܾ，∴抛物线䁕䁕，顶点在为；（2）如图，试卷第13页，总14页 连接，∵轴，䁕轴，䁕轴轴，∴四边形是矩形，∴，∴当最短时，最短，∴쳌䁩时，最短，可得的纵坐标为，把代入䁕䁕中，则䁕䁕，解得䁕，䁕（舍去）；∴点的坐标；（3）如图，...在쳌.，쳌在䁕，点坐标为，为，..当쳌쳌时，.，.；....当쳌时，.，，......当쳌时，，．..所以存在个值，...，，．试卷第14页，总14页