2015年辽宁省辽阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）)1.的相反数是（）A.B.C.D.2.下列计算正确的是（）A.＝B.＝C.＝D.3.下列各图不是正方体表面展开图的是（）A.B.C.D.4.一组数据：，，，，，，，的中位数是（）A.B.㌳C.D.5.如图，，，，则ᦙ的度数为（）A.B.C.D.6.从甲地到乙地有两条公路，一条是全长公里的普通公路，一条是全长公里的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快公里/小时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为小时，那么满足的分式方程是A.B.C.D.7.如图，直线与䁕쳌（䁕且䁕，쳌为常数）的交点坐标为ر试卷第1页，总13页 ，则关于的不等式䁕쳌的解集为（）A.B.C.D.8.下列事件为必然事件的是（）A.如果䁕，쳌是实数，那么䁕쳌쳌䁕B.抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上C.汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯D.口袋中装有个红球，从中随机摸出一球，这个球的白球9.如图，在边长为的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，䁨与䁨是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点的坐标为A.ر.Dر.Cر.Bر10.如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接䁨并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且＝，点在第一象限，随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）)11.某工业园区，今年第一季度新开工个项目，总投资亿元．请将亿，试卷第2页，总13页 用科学记数法表示为________．12.的整数部分是________．13.如图，点，，是䁨上的点，䁨，则________度．14.某校组织“书香校园”读书活动，某班图书角现有文学书本，科普书本，人物传记本，军事书本，小明随机抽取一本，恰好是人物传记的概率是________．15.如图，在中，于，点ᦙ为的中点，＝，ᦙ＝，则线段的长等于________．16.一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为________．17.如图，在平面直角坐标系中，矩形䁨，䁨，䁨，将沿对角线翻折，使点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为________．18.如图，，，䁕，在中截出一个正方形，使点，分别在，边上，边在边上；在在截出第二个正方形，使点，分别在，边上，边在边上；…，依此方法作下去，则第个正方形的边长为________．试卷第3页，总13页 三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）)19.先化简，再求值：，请选取一个适当的的数值代入求值．20.校文艺部在全校范围内随机抽取一部分同学，对同学们喜爱的四种“明星真人秀”节目进行问卷调查（每位同学只能选择一种最喜爱的节目），并将调查结果整理后分别绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图）．请根据所给信息回答下列问题：（1）本次问卷调查共调查了多少名学生？（2）请将两幅统计图补充完整；（3）若该校有名学生，据此估计有多少名学生最喜爱《奔跑吧兄弟》节目．四、解答题（每小题12分，共24分）)21.某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台型换气扇和三台型换气扇共需元；三台型换气扇和二台型换气扇共需元．（1）求一台型换气扇和一台型换气扇的售价各是多少元；（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共台并且型换气扇的数量不多于型换气扇数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．22.如图，码头在码头的正东方向，两个码头之间的距离为海里，今有一货船由码头出发，沿北偏西方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏东方向，求码头与小岛的距离．（㌳，结果精确到㌳海里）试卷第4页，总13页 五、解答题（本题12分）)23.如图，在中，＝，以为直径的䁨分别交，于点，ᦙ，于点，交的延长线于点．求证：直线是䁨的切线；若，cos，求的长.六、解答题（本题12分）)24.某商场试销一种商品，成本为每件元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于팀，一段时间后，发现销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如下表：销售单价（元）……销售量（件）……请根据表格中所给数据，求出关于的函数关系式；设商场所获利润为元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？七、解答题（本题12分）)25.菱形中，两条对角线，相交于点䁨，䁨䁡＝，䁨䁡绕点䁨旋转，射线䁨交边于点ᦙ，射线䁨䁡交边于点，连接ᦙ．（1）如图，当＝时，䁨ᦙ的形状是________；（2）如图，当＝时，请判断䁨ᦙ的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将䁨䁡的顶点移到䁨的中点䁨处，䁨䁡绕点䁨旋转，仍满足䁨䁡＝，射线䁨交直线于点ᦙ，射线䁨䁡交直线于䁨ᦙ点，当＝，且时，直接写出线段ᦙ的长．试卷第5页，总13页 八、解答题（本题14分）)26.如图，平面直角坐标系中，直线与抛物线＝䁕൭相交于，两点，其中点在轴上，点在轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点，使是以为直角边的直角三角形，求点的坐标；（3）如图，点ᦙ为线段上一点，ᦙ＝，以ᦙ为腰作等腰ᦙ，使它与䁨在直线的同侧，ᦙ＝，ᦙ沿着方向以每秒一个单位的速度运动，当点与重合时停止运动，设运动时间为秒，ᦙ与䁨重叠部分的面积为，直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．试卷第6页，总13页 参考答案与试题解析2015年辽宁省辽阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.A2.A、原式＝x，错误B、原式＝2x，错误C、原式＝﹣8x，错误D、原式x，正确，3.C4.B5.B6.D7.D8.A9.C10.B二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.㌳12.13.14.15.16.17.ر18.䁕三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19.解：•，，．当时，原式．20.本次问卷调查共调查的学生数为：팀＝（名）奔跑吧兄弟的百分比为팀＝팀，喜欢爸爸去哪里了的人数为팀＝（名），试卷第7页，总13页 喜欢花儿与少年的人数为：＝（名），喜欢花儿与少年的百分比为팀＝팀，如图，팀＝（名）答：估计有名学生最喜爱《奔跑吧兄弟》节目．四、解答题（每小题12分，共24分）21.一台型换气扇元，一台型换气扇的售价为元；最省钱的方案是购进台型换气扇，台型换气扇22.码头与小岛的距离约为㌳海里．五、解答题（本题12分）23.证明：如图，连接䁨，∵，∴.∵䁨䁨，∴䁨，∴䁨，∴䁨，∴䁨.试卷第8页，总13页 ∵，∴，∴䁨，∴䁨.∵䁨是䁨的半径，∴直线是䁨的切线．解：如图，∵，是䁨的直径，∴䁨䁨.由可得䁨，䁨，∴䁨，䁨.在䁨和中，䁨，，∴䁨，䁨䁨∴.∵cos，∴cos䁨，䁨∴䁨，cos䁨∴䁨䁨，∴，解得，∴，即的长是．六、解答题（本题12分）24.解：根据所给数据可知与的图象是一条直线，设与的函数关系式为쳌，将，；，代入쳌得：쳌，，解得：쳌，쳌㌳∴.经验证，，；，都满足上述函数关系式，试卷第9页，总13页 ∴与的函数关系式为；由题意得：팀，∴．∵䁕，∴抛物线开口向下．∵，在对称轴的左侧，∴随的增大而增大．∴当时，有最大值，(元)．最大答：商品的销售单价定为元时，才能使所获利润最大，最大利润是元．七、解答题（本题12分）25.等腰直角三角形䁨ᦙ是等边三角形；证明：如图，过䁨点作䁨于，作䁨于，∴䁨ᦙ＝䁨＝䁨＝，∵四边形是菱形，∴平分，＝，∴䁨＝䁨，＝＝，∵䁨䁨䁨＝，∴䁨＝，∴䁨䁡＝，∴䁨＝ᦙ䁨＝，∵䁨＝䁨䁨，ᦙ䁨＝䁨ᦙ䁨，∴ᦙ䁨＝䁨，在ᦙ䁨与䁨中，ᦙ䁨䁨䁨䁨，ᦙ䁨䁨∴ᦙ䁨䁨，∴䁨ᦙ＝䁨，∴䁨ᦙ是等边三角形；证明：如图，∵菱形中，＝，∴四边形是正方形，䁨∴，过䁨点作䁨于，作䁨于，∴䁨＝䁨＝＝，∴四边形䁨是矩形，∴䁨，䁨，䁨䁨䁨∴，∵＝＝＝＝，∴䁨＝䁨＝，∴四边形䁨是正方形，∴＝䁨＝，䁨＝试卷第10页，总13页 ∵䁨䁡＝，∴ᦙ䁨＝，∴ᦙ䁨＝䁨＝，∵䁨＝䁨䁨，ᦙ䁨＝䁨ᦙ䁨，∴ᦙ䁨＝䁨，在ᦙ䁨与䁨中，ᦙ䁨䁨䁨䁨，ᦙ䁨䁨∴ᦙ䁨䁨，∴䁨ᦙ＝䁨，∴䁨ᦙ是等腰直角三角形；䁨ᦙ∵＝＝，，正方形∴䁨ᦙ＝，∵䁨ᦙ䁨ᦙ，∴䁨ᦙ＝，在䁨ᦙ中，ᦙ䁨ᦙ䁨，∴ᦙ＝ᦙ＝．根据对称性可知，当䁨䁡旋转到如图所示位置时，ᦙ＝ᦙ＝．综上可得，线段ᦙ的长为或．试卷第11页，总13页 八、解答题（本题14分）26.对于直线，当＝时，，即＝，∴ر，当＝时，＝，即ر，䁕൭把与坐标代入＝䁕൭中，得：，൭䁕解得：，൭则抛物线解析式为；″设坐标为ر，①当＝时，如图，作䁡轴，则有䁡䁨＝，∴䁡䁡＝，∵䁡䁨＝，∴䁡䁨＝，∴䁡＝䁨，∵䁡䁨＝䁨，∴䁡䁨，䁡䁡∴，䁨䁨即，解得：或＝（舍去），当时，，即ر；䁡䁡②当＝时，易知䁡䁨，∴，䁨䁨即，解得或（舍去），当时，，即ر，则满足条件的坐标为ر或ر；如图所示，当点运动到轴上时，易知ᦙ䁨，试卷第12页，总13页 ᦙᦙ∴，∴ᦙ，∴ᦙᦙ＝ᦙᦙ＝，䁨䁨∴当时，＝；当时，；当时，．试卷第13页，总13页