2019年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.2019的相反数是（）11A.以点C为圆心、OD的长为半径的弧A.−2019B.2019C.−D.20192019B.以点C为圆心、DM的长为半径的弧C.以点E为圆心、DM的长为半径的弧2.十年来，我国知识产权战略实施取得显著成就，全国著作权登记量已达到274.8D.以点E为圆心、OD的长为半径的弧万件．数据2748000用科学记数法表示为()A.2.748×102B.274.8×104C.2.748×106D.0.2748×1076.在从小到大排列的五个整数中，中位数是2，唯一的众数是4，则这五个数和的最大值是（）3.如图所示的几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，它的俯视图为（）A.11B.12C.13D.147.等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2−6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（）A.8B.9C.8或9D.128.如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x＝1．有以下结论：A.B.C.D.①abc>0；②8a+c>0；③若A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；4.下面计算正确的是()④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得A.3a−2a=1B.2a2+4a2=6a4C.(x3)2=x5D.x8÷x2=x6PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x+2)(4−x)＝−2的两根为x1，x2，且x1
0)经过点C，则k＝________．xA.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）15.如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P9.因式分解：2x3−8x2+8x＝________．满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为________．10.在函数________．111.有5张无差别的卡片，上面分别标有−1，0，，2，π，从中随机抽取1张，则3抽出的数是无理数的概率是________．2x−4>012.关于x的不等式组的解集是2−1并使∠AOB＝60∘，再以对角线OA为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形1OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，则过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为________3）2018，（3）2019）．13.如图，在△ABC中，∠C＝90∘，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是________．614.如图，点A在双曲线y=(x>0)上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段x第3页共22页◎第4页共22页
三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）2x2x−4x−2∘17.先化简，再求代数式的值：−÷，其中x=3cos60．x+1x2−1x2−2x+118.在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为(−3,0)，(−1,−1)．（1）本次抽样调查学生的人数为________．（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数．（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．(1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标；20.如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区∘′域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分(2)将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90，画出旋转后的△A′BC′．割线上时，则需重新转动转盘．（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．(3)直接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长．（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．演算步骤）19.为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：第5页共22页◎第6页共22页
五、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21.甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．24.某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．BC相切于点E，与边AC相交于点G，且AG=EG，连接GO并延长交⊙O于点F，连（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．接BF．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或（1）求证：①AO＝AG．演算步骤）②BF是⊙O的切线．25.已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．EF．以EF为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．求证：①△AEF≅△CGF．六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或②四边形BGCE是平行四边形．演算步骤）23.如图，在某街道路边有相距10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：为了测量路灯的高度，在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14∘，向前行走25m到如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为24.3∘，已知点A，B，Q，N在同一条直∠EAB＝30∘，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：ED夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及∠DEF的度数．sin14∘≈0.24，cos14∘≈0.97，tan14∘≈0.25，sin24.3∘≈0.41，cos24.3∘≈0.91，EFtan24.3∘≈0.45）（3）小颖受到启发也做了探究：如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90∘，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，第7页共22页◎第8页共22页
两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用1（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC=时，求点F的坐标．2ED含m，n的代数式直接写出的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF的度数．EF（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t(0≤t≤5)，请直接写出S与t的函数关系式．八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）1226.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x+bx+c与x轴交于B，C两点，与y21轴交于点A，直线y=−x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线2MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN//x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．第9页共22页◎第10页共22页
2x(x−2)210.参考答案与试题解析【答案】1−2x12019年辽宁省丹东市中考数学试卷y=中，自变量x的取值范围是x≤且x≠0x211.一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，【答案】只有一项是符合题目要求的）21.5【答案】12.A2.【答案】3【答案】13.C3.【答案】3【答案】14.D4.【答案】2【答案】15.D5.【答案】y＝−2x+8【答案】16.C6.【答案】（-（【答案】A三、解答题（本大题共2小题，共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或7.演算步骤）【答案】17.B【答案】8.2x2(x−2)(x−1)2解：原式=−⋅x+1(x+1)(x−1)x−2【答案】2x2x−2A=−x+1x+1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）2=，x+19.【答案】∘13当x=3cos60=3×=时，22第11页共22页◎第12页共22页
24扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360∘×5%＝18∘；原式=3=．+152840×25%＝210（人），4答：获得三等奖的有210人．故原代数式的值为.518.【答案】解：(1)如图，A点坐标为(−2,3)；(2)如图，△A′B′C′为所作；20.【答案】列表如下：−2−323(3)由图可知，OA=22+32=13，90⋅π⋅13131−2−323所以点A所经过的路径长==π．18022−4−6463−6−969四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结演算步骤）果，19.41【答案】所以甲获胜概率为=；12340282A所占的百分比为：×100%＝5%，∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为=，40123∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，20D所占的百分比为：×100%＝50%，40将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．C所占的百分比为：1−5%−20%−50%＝25%，获得三等奖的人数为：40×25%＝10，补全的统计图如右图所示，第13页共22页◎第14页共22页
∵OB＝OD+BD，五、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或∴6+r＝2r，演算步骤）∴r＝6，21.∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，【答案】1∴AC=AB＝9，∴CG＝AC−AG＝3，乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m222.由（1）知，∠EOB＝60∘，∵OG＝OE，【答案】∴△OGE是等边三角形，证明：①如图1，连接OE，∴GE＝OE＝6，∵⊙O与BC相切于点E，∘根据勾股定理得，CE=GE2−CG2=62−32=33，∴∠OEB＝90，∘160π⋅62273∵∠ACB＝90，∴S＝S−S=(6+3)×33−=−6π．阴影梯形GCE0扇形OGE23602∴∠ACB＝∠OEB，∴AC//OE，∴∠GOE＝∠AGO，∵AG=EG，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∵AO＝OG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60∘，∴∠BOF＝∠AOG＝60∘，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60∘，∴∠EOB＝180∘−∠AOG−∠GOE＝180∘−60∘−60∘＝60∘，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，六、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或∴△OFB≅△OEB(SAS)，∴∠OFB＝∠OEB＝90∘，演算步骤）∴OF⊥BF，23.∵OF是⊙O的半径，【答案】∴BF是⊙O的切线；路灯的高度约为8.4m如图2，连接GE，24.∵∠A＝60∘，【答案】∴∠ABC＝90∘−∠A＝30∘，60−x∴OB＝2BE，由题意得：y＝80+20×10设⊙O的半径为r，第15页共22页◎第16页共22页
∴函数的关系式为：y＝−2x+200(30≤x≤60)∴AE＝BE，∠BEA＝90∘，由题意得：∴CG＝BE，(x−30)(−2x+200)−450＝1800∵△EFG是等腰直角三角形，解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）∴∠FEG＝∠FGE＝45∘，答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．∴∠AEF+∠BEG＝45∘，∵∠CGE+∠CGF＝45∘，∴∠BEG＝∠CGE，设每月获得的利润为w元，由题意得：∴BE//CG，w＝(x−30)(−2x+200)−4502∴四边形BECG是平行四边形．＝−2(x−65)+2000如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．∵−2<0∴当x≤65时，w随x的增大而增大∵30≤x≤60∴当x＝60时，w＝−2(60−65)2+2000＝1950最大答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）25.∵点D是BC的中点，【答案】∴BD＝CD，证明：①如图1中，∵∠EDB＝∠GDC，∴EB＝GC，∠EBD＝∠GCD，在Rt△AEB与Rt△AFC中，∵∠EAB＝∠FAC＝30∘，EB3FC3∴=，=，AE3AF3CGFC∴=，AEAF∵∠EBD＝∠2+60∘，∴∠DCG＝∠2+60∘，∴∠GCF＝360∘−60∘−(∠2+60∘)−∠3＝360∘−120∘−(∠2+∠3)∵△EFC与△AFC都是等腰直角三角形，∘∘∘＝360−120−(180−∠1)∘∴FA＝FC，FE＝FG，∠AFC＝∠EFG＝90，＝60∘+∠1，∴∠AFE＝∠CFG，∘∘∘∵∠EAF＝30+∠1+30＝60+∠1，∴△AFE≅△CFG(SAS)．∴∠GCF＝∠EAF，②∵△AFE≅△CFG，∴△CGF∽△AEF，∴AE＝CG，∠AEF＝∠CGF，FGFC3∵△AEB是等腰直角三角形，∴FE=FA=3，∠CFG＝∠AFE，第17页共22页◎第18页共22页
∘∴∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90，4m2−n2EH24m2−n2cos∠DEF＝cos∠AEH===．FG3AEm2m∴tan∠DEF==，EF3∴∠DEF＝30∘，八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或1∴FG=EG，演算步骤）226.1∵ED=EG，【答案】21∴ED＝FG，直线y=−x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为(0,2)、(4,0)，2ED3∴=．12EF3则c＝2，抛物线表达式为：y=−x+bx+2，2如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．3将点C坐标代入上式并解得：b=，2123故抛物线的表达式为：y=−x+x+2…①；223抛物线的对称轴为：x=，237点N的横坐标为：+=5，22故点N的坐标为(5,−3)；AO211∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDG，DE＝DG，∵tan∠ACO====tan∠FAC=，CO422∴△CDG≅△BDE(SAS)，即∠ACO＝∠FAC，∴CG＝BE＝AE，∠DCG＝∠DBE＝α+∠ABC，①当点F在直线AC下方时，∵∠GCF＝360∘−∠DCG−∠ACB−∠ACF＝360∘−(α+∠ABC)−∠ACB−(90∘−α)设直线AF交x轴于点R，＝270∘−(∠ABC+∠ACB)＝270∘−(180∘−∠BAC)＝90∘+∠BAC＝∠EAF，∴△EAF≅△GCF(SAS)，∴EF＝GF，∠AFE＝∠CFG，∴∠AFC＝∠EFC，∴∠DEF＝∠CAF＝90∘−α，∵∠AEH＝90∘−α，∴∠AEH＝∠DEF，11∵AE＝m，AH=AB=n，2214m2−n2∴EH=AE2−AH2=m2−n2=，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，42223∵DE＝DG，EF＝GF，设点R(r,0)，则r+4＝(r−4)，解得：r=，2∴DF⊥EG，3即点R的坐标为：(,0)，2第19页共22页◎第20页共22页
2=n35将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：3，③当
