2013年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）)1.的相反数是（）A.B.C.D.2.一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和“国”字相对的汉字是（）A.追B.逐C.梦D.想3.丹东地区人口约为晦万，晦万用科学记数法表示正确的是（）A.晦晦B.㌳晦C.晦㌳D.㌳晦4.如图，在香䁨中香的垂直平分线交香于点，交线段香䁨于点．香䁨ㄴ，䁨ㄴ，则䁨的周长是（）A.晦B.C.D.等5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.6.顺次连接等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形7.李东同学参加校团委组织的演讲赛，共名选手参赛，预赛成绩各不相同，按成绩取前名的选手参加复赛，李东在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入复赛，还需要知道这名选手成绩的（）A.平均数B.方差C.众数D.中位数8.如图，矩形香䁨中，香＝′㠷，香䁨＝晦′㠷⸵，两点同时从点䁨出发，点⸵沿从试卷第1页，总12页 䁨方向运动，速度为′㠷݉；点沿从䁨香的方向运动速度为′㠷݉，当运动时间为ᦀ㌳时，设⸵䁨的面积为ᦀ′㠷（当⸵，两点未开始运动时，⸵䁨的面积为）．则ᦀ′㠷和ᦀ的函数关系的图象大致是（）A.B.C.D.二、填空题（每小题3分，共24分）)9.分解因式：＝________．10.某奥运射击冠军射击一次，命中靶心．这个事件是________（填“必然”、“不可能”或“不确定”）事件．11.如图，一块四周镶有宽度相等的花边的长方形十字绣，它的长为′㠷，宽为′㠷，如果十字绣中央长方形图案的面积为′㠷，则花边宽为________．12.如图，直线䁨݉݉香，平分香䁨交直线香于点，若ㄴ晦，则ㄴ________．13.双曲线ㄴ和直线ㄴݔ交于点ᦀ㠷，则双曲线的表达式为________．14.如图，若将四根木条钉成的矩形香䁨变形为香䁨的形状，交䁨于点，已知香ㄴ′㠷，香䁨ㄴ′㠷，当矩形香䁨的面积是香䁨面积的倍时，四边试卷第2页，总12页 形香䁨的面积为________．15.观察下列数据：，，，…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第晦个数据是________．16.如图，在平面直角坐标系中，点ᦀ，点香ᦀ，点⸵在第二象限内，若以点⸵、香、为顶点的三角形与香相似（不包括全等的情况），则点⸵的坐标为________．三、解答题（每小题8分，共16分）)17.计算：ᦀݔ晦socݔ晦晦．18.如图，每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，香䁨和香䁨在平面直角坐标系中位置如图所示．（1）香䁨与香䁨关于某条直线㠷对称，画出对称轴㠷．（2）画出香䁨绕原点顺时针旋转所得的香䁨．此时点的坐标为________．求出点旋转到点的路径长．（结果保留根号）19.丹东是个美丽的旅游城市，吸引了很多外地游客，某旅行社对今年五月接待的外地游客来丹东旅游的首选景点做了一次抽样调查，根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整），请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）此次共调查多少人？（2）请将两幅统计图补充完整．（3）“凤凰山”部分的圆心角是________．试卷第3页，总12页 （4）该旅行社今年五月接待来丹东的游客人，请估计首选去河口的人数约为多少人．20.为帮助雅安地震灾区人们重建家园，某中学学生积极捐献．已知高中部捐款总额为元，初中部捐款总额为元，高中部人数比初中部人数多人，而且初中部和高中部人均捐款恰好相等．求该校学生总数是多少人．21.现有三张不透明的卡片，香，䁨，他们背面完全一样，正面分别画有圆、长方形和等腰三角形，将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）从中随机抽取一张卡片，正面的图形是中心对称图形的概率为________．（2）从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，在随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面图形都是中心对称图形的概率．22.如图，䁨是的直径，香䁨交于点香，连接䁨香，香是的弦，香交䁨于点，是䁨的延长线上一点且ㄴ．（1）判断和的位置关系并说明理由（2）若香䁨ㄴ，香䁨ㄴ′㠷，求阴影部分的面积．（结果保留根号）23.如图，新城区新建了三个商业城，香，䁨，其中䁨在的正东方向，在处测得香在的南偏东的方向，在䁨处测得香在䁨的南偏东的方向，已知和香的距离是㠷．现有甲、乙两个工程对修建道路，甲修建一条从到䁨的笔直道路䁨，乙修建一条从香到直线䁨最近的道路香．求甲、乙修建的道路各是多长．（结果精确到㠷）（参考数据：sin㌳，cos㌳，tan㌳，sin晦㌳，cos晦㌳晦晦，tan晦㌳）试卷第4页，总12页 24.有甲、乙两军舰在南海执行任务．它们分别从，香两处沿直线同时匀速前往䁨处，最终到达䁨处（，香，䁨，三处顺次在同一直线上）．设甲、乙两军舰行驶ᦀڌ后，与香处相距的距离分别是（海里）和（海里），，与的函数关系如图所示（1）①在的时间段内，与之间的函数关系式为________．②在㌳的时间段内，与之间的函数关系式为________（2），䁨两处之间的距离是________海里．（3）若两军舰的距离不超过海里是互相望到，当㌳时．求甲、乙两军舰可以互相望到时的取值范围．25.已知四边形香䁨是正方形（1）如图．点在边香的延长线上，点在边香䁨上，且ㄴ䁨，连接，，，判断的形状（直接写出答案）．（2）如图，当店在边香上，点在边香䁨的延长线上，ㄴ䁨，连接，取线段的中点，连接，，判断线段和线段的关系并说明理由．（3）如图，当点在边香的延长线上，点在边香䁨的延长线上，ㄴ䁨，连接，，，点是线段的中点，连接香，，连接䁨并延长交香于点，若ㄴ，判断线段和线段香的关系并说明理由．26.如图．已知抛物线ㄴݔݔ′与轴分别交于，香两点，与轴交于点䁨，点坐标为ᦀ，香的坐标为ᦀ晦．直线过香，䁨两点．点⸵是线段香䁨试卷第5页，总12页 上的一个动点（点⸵不与香，䁨两点重合）．在点⸵运动过程中，始终有一条过点⸵且和轴平行的直线也随之运动，该直线与抛物线的交点为，与轴的交点为．（1）①求出抛物线的函数表达式；②直接写出直线的函数表达式；（2）若直线把香䁨的面积分成′的两部分，求出此时点⸵的坐标．（3）如图，①连接香，䁨，设香䁨的面积是，在点⸵的运动过程中，是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．②当香䁨的面积最大时，直线上另有一动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，⸵，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第6页，总12页 参考答案与试题解析2013年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共24分）1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.D8.C二、填空题（每小题3分，共24分）9.ᦀݔᦀ10.不确定11.′㠷12.13.ㄴ14.ᦀ′㠷晦15.晦16.ᦀ或ᦀ或ᦀ三、解答题（每小题8分，共16分）17.解：ᦀݔ晦socݔ晦晦ㄴݔݔ晦ㄴݔݔ晦ㄴᦀݔݔᦀ晦ㄴݔ晦ㄴ晦18.直线㠷即为所求；ᦀ晦19.；（4）估计首选去河口的人数约为：ㄴ（人）．20.设该校初中部有人，则高中部有ᦀݔ人，根据题意得：ㄴ，ݔ试卷第7页，总12页 去分母得：＝ݔ晦，解得：＝晦，经检验＝晦是分式方程的解，且符合题意，∴ݔ晦，）人（晦＝ݔ晦＝ݔ晦＝（人），则该校学生总数是人．21.（2）画树形图得：总共有种结果，即使中心对称又是轴对称图形的结果有种，∴所求概率为：ㄴ．22.解：（1）和相切．理由如下：连结，如图，∵ㄴ，∴ㄴ，∵ㄴ香，∴ㄴ香，∵香䁨，∴香ㄴ，∴香ݔ香ㄴ，而香ㄴ，∴香ㄴ香，∴香ݔㄴ，即ㄴ，∴，∴为的切线；（2）∵香䁨，而香ㄴ䁨，∴香䁨为等腰直角三角形，∴香ㄴ香䁨ㄴ，∵䁨ㄴ香䁨ㄴㄴ，∴ㄴ䁨ㄴ，在中，∵tanㄴ，∴ㄴㄴ，∴阴影部分ㄴ扇形tᦀㄴtㄴᦀ′㠷．试卷第8页，总12页 23.在直角香中，∵香＝，香＝＝，香＝㠷，∴香＝香sin香㌳＝ᦀ㠷，＝香cos香㌳＝ᦀ㠷．在直角䁨香中，∵䁨香＝，香䁨＝＝晦，香＝㠷，香∴䁨ㄴ㌳晦ᦀ㠷，tan香䁨㌳∴䁨＝䁨㌳晦晦ᦀ㠷．即甲修建的道路长约晦㠷，乙修建的道路长约㠷．24.＝ᦀ,＝晦ݔᦀ㌳甲航速为㌳＝晦（海里݉ڌ），乙航速为＝（海里݉ڌ）．当甲军舰追上乙军舰之前两军舰的距离不超过海里时，ᦀ晦，解得㌳．当甲军舰追上乙军舰之后两军舰的距离不超过海里时，ᦀ晦ݔ，解得，㌳．所以当㌳时，甲、乙两军舰可以互相望到时的取值范围是㌳㌳．故答案为＝ᦀ；＝晦ݔᦀ㌳；．25.解：ᦀ的形状是等腰直角三角形．理由：∵四边形香䁨是正方形，∴ㄴ䁨，ㄴ䁨ㄴ䁨ㄴ．在和䁨中ㄴ䁨ㄴ䁨，ㄴ䁨∴䁨ᦀ，∴ㄴ，ㄴ䁨．∵ݔ䁨ㄴ䁨ㄴ，∴ݔㄴ，即ㄴ，∴是等腰直角三角形；（2）ㄴ，．理由：∵四边形香䁨是正方形，∴ㄴ䁨，ㄴ香䁨ㄴ䁨ㄴ．在和䁨中ㄴ䁨ㄴ䁨，ㄴ䁨∴䁨ᦀ，∴ㄴ，ㄴ䁨．∵ݔ䁨ㄴ䁨ㄴ，∴䁨ݔ䁨ㄴ，即ㄴ，∴是等腰直角三角形．试卷第9页，总12页 ∵是的中点，∴ㄴ，ㄴ，，∴ㄴ，；（3）香，′香ㄴ′．理由：∵四边形香䁨是正方形，∴ㄴ香䁨ㄴ䁨，ㄴ香䁨ㄴ䁨ㄴ香ㄴ．在和䁨中ㄴ䁨ㄴ䁨，ㄴ䁨∴䁨ᦀ，∴ㄴ，ㄴ䁨．∵ݔ䁨ㄴ䁨ㄴ，∴䁨ݔ䁨ㄴ，即ㄴ∴是等腰直角三角形．∵是线段的中点，∴，ㄴ，香ㄴ，ㄴ∴ㄴ，ㄴ香ㄴ．∴香ㄴ香．∵ㄴ，∴香ㄴ，∴香ㄴ，∴香ㄴ．∴香为的年三角形．在香䁨和䁨中香䁨ㄴ䁨香ㄴ，䁨ㄴ䁨∴香䁨䁨ᦀ，∴香䁨ㄴ䁨ㄴ，∴香，香ㄴㄴ香．设香ㄴㄴ，则香ㄴ香ㄴ，由勾股定理，得ㄴ．∴′香ㄴ′．26.①∵点坐标为ᦀ，香的坐标为ᦀ晦，ݔ′ㄴ∴ݔ晦ݔ′ㄴ解得：＝，′＝晦∴ㄴݔݔ晦；②ㄴݔݔ晦与轴的交点䁨的坐标是ᦀ晦，香的坐标为ᦀ晦∴直线香䁨的解析式为：＝ݔ晦；试卷第10页，总12页 ∵直线把香䁨的面积分成′的两部分，݉݉轴，∴香䁨香⸵香⸵香⸵∴ㄴ或ㄴ，香䁨晦香䁨晦⸵∴ㄴ䁨∵䁨＝晦，∴⸵＝或把＝或，代入＝ݔ晦得：＝或晦，∴⸵ᦀ或⸵ᦀ晦；①如图所示，根据题意，䁨＝晦，＝，香＝晦，ㄴݔݔ晦；∴＝梯形䁨ݔ香香䁨ㄴᦀ晦ݔݔᦀ晦ᦀݔ晦ݔݔ晦晦晦＝ݔ晦＝ᦀݔ晦，∴当＝时，有最大值为晦；②当＝时，⸵ᦀ，又ᦀ，∴＝晦，⸵＝，∴⸵ㄴݔ⸵ㄴ，以点，⸵，，为顶点的四边形为菱形时，有以下晦种情况：如图所示，݉݉⸵，＝⸵＝⸵＝，∴ᦀ或ᦀ；如图所示，四边形⸵是菱形，根据菱形的轴对称性，＝晦，＝ݔ＝ݔ晦＝，∴ᦀ；如图晦所示，垂直平分⸵，＝⸵＝，݉݉⸵，设＝㠷，则⸵＝ݔ晦＝ݔ＝，㠷ݔ㠷∴ᦀݔ㠷＝晦ݔ㠷解得：㠷＝，∴＝⸵＝，∴ᦀ；综上所述：以点，⸵，，为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为：ᦀ或ᦀ或ᦀ或ᦀ．试卷第11页，总12页 试卷第12页，总12页