2013年四川省绵阳市中考数学试卷一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.的相反数是（）A.B.C.D.2.下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（）A.B.C.D.3.晦䁚年，我国上海和安徽首先发现“㌠〲㈮”禽流感，㌠〲㈮是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为晦Ǥ晦晦晦晦晦晦䁚米，这一直径用科学记数法表示为（）A.䁚Ǥ䁚晦㈮米B.䁚Ǥ䁚晦米C.䁚䁚晦米D.䁚Ǥ䁚晦㌠米4.设“▲”、“”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）A.■、、▲B.▲、■、C.■、▲、D.、▲、■5.把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（）A.B.C.D.6.下列说法正确的是（）A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形试卷第1页，总14页 C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形7.如图，要拧开一个边长为ൌ͸͸的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（）A.͸͸B.䁚͸͸C.͸͸D.͸͸8.朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人个还少个，如果每人个又多个，请问共有多少个小朋友？（）A.个B.个C.䁚晦个D.䁚个9.如图，在两建筑物之间有一旗杆，高䁚米，从点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角点，且俯角为晦，又从点测得点的俯角为晦，若旗杆底点为的中点，则矮建筑物的高为（）A.晦米B.䁚晦米C.䁚米D.米10.如图，四边形是菱形，对角线＝′͸，＝′͸，于点，且与交于，则＝（）䁚A.′͸B.′͸C.′͸D.′͸晦䁚䁚11.“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的名同学（男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（）䁚䁚A.B.C.D.12.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：䁚뷿，㈷㈷㌠뷿，㈮㈷䁚䁚㈷䁚㈷䁚㈷䁚㌠뷿，䁚㈮㈷䁚㈷㈷㈷㌠㈷㈮㈷䁚뷿，…，现用等式ൌ䁟㈷뷿表示正奇数是第䁟组第个数（从左往右数），如㌠ൌ㈷뷿，则晦䁚ൌ뷿A.㈷㌠㌠뷿B.㈷㈮뷿C.㈷뷿D.㈷뷿试卷第2页，总14页 二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．)13.因式分解：ൌ________．14.如图，、相交于，，ൌ，ൌ晦，ൌ，则ൌ________．15.如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼的坐标是㈷뷿，嘴唇点的坐标为䁚㈷䁚뷿，则将此“”笑脸向右平移个单位后，右眼的坐标是________．16.对正方形进行分割，如图䁚，其中、分别是、的中点，、〲、分别是、、的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图就是用其中块拼出的“飞机”．若的面积为䁚，则“飞机”的面积为________．17.已知整数知，若的边长均满足关于的方程൅ൌ晦，则的周长是________．18.二次函数ൌ൅൅′的图象如图所示，给出下列结论：①൅ꀀ晦；②ꀀꀀ′；③若䁚知͸知݉知䁚，则͸൅݉知；④ȁȁ൅ȁ′ȁ知ȁȁ．其中正确的结论是________（写出你认为正确的所有结论序号）．试卷第3页，总14页 三．解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．)䁚19.（1）计算：൅ȁ䁚ȁ൅뷿；19.sin（2）解方程：䁚ൌ．䁚൅20.为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶䁚晦次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：甲、乙射击成绩统计表平中方命均位差中数数䁚晦环的次数甲㌠晦㌠乙䁚㌠㌠ǤǤ甲、乙射击成绩折线图（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？21.如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接．（1）判断与的位置关系，并证明你的结论；试卷第4页，总14页 （2）若是的中点，的半径为䁚，求图中阴影部分的面积．22.如图，已知矩形中，＝，＝，双曲线ൌꀀ晦뷿与矩形两边、分别交于、．（1）若是的中点，求点的坐标；（2）若将沿直线对折，点落在轴上的点，作，垂足为，证明，并求的值．23.“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自晦䁚年起逐月增加，据统计，该商城䁚月份销售自行车辆，月份销售了䁚晦晦辆．䁚뷿若该商城前个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城月份卖出多少辆自行车？뷿考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入万元再购进一批两种规格的自行车，已知型车的进价为晦晦元/辆，售价为㌠晦晦元/辆，型车进价为䁚晦晦晦元/辆，售价为䁚晦晦元/辆．根据销售经验，型车不少于型车的倍，但不超过型车的Ǥ倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？24.如图，二次函数ൌ൅൅′的图象的顶点的坐标为晦㈷뷿，交轴于、两点，其中䁚㈷晦뷿，直线ǣൌ͸͸ꀀ䁚뷿与轴交于试卷第5页，总14页 ．（1）求二次函数的解析式和的坐标；（2）在直线上找点（在第一象限），使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的坐标（用含͸的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点，使是以为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．25.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若是的重心（如图䁚），连结并延长交于，证明：ൌ；（2）若是的一条中线（如图），是上一点，且满足ൌ，试判断是的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（如图），四边形，分别表示四边形和的四边形面积，试探究的最大值．试卷第6页，总14页 参考答案与试题解析2013年四川省绵阳市中考数学试卷一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.C2.A3.D4.C5.B6.D7.C8.B9.A10.B11.D12.C二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．13.뷿൅뷿14.㌠15.㈷뷿16.䁚17.或䁚或䁚晦18.①③④三．解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．䁚19.解：（1）原式ൌ൅䁚뷿൅䁚뷿䁚ൌ൅ൌ䁚；（2）去分母得：൅뷿䁚뷿൅뷿ൌ，去括号得：൅൅ൌ，解得：ൌ䁚，经检验ൌ䁚是增根，原分式方程无解．20.根据折线统计图得：乙的射击成绩为：，，，，㌠，㌠，，㈮，㈮，䁚晦，൅൅൅൅㌠൅㌠൅൅㈮൅㈮൅䁚晦则平均数为ൌ㌠（环），中位数为㌠Ǥ（环），䁚晦䁚㌠뷿൅㌠뷿൅㌠뷿൅㌠뷿൅㌠㌠뷿൅㌠㌠뷿൅㌠뷿൅方差为䁚晦㈮㌠뷿൅㈮㌠뷿൅䁚晦㌠뷿＝Ǥ；试卷第7页，总14页 甲的射击成绩为㈮，，㌠，，，㌠，㌠，㈮，，㈮，平均数为㌠（环），则甲第八环成绩为㌠晦㈮൅൅㌠൅൅൅㌠൅㌠൅൅㈮뷿＝㈮（环），所以甲的䁚晦次成绩为：㈮，，㌠，，，㌠，㌠，㈮，，㈮．中位数为㌠（环），䁚㈮㌠뷿൅㌠뷿൅㌠㌠뷿൅㌠뷿൅㌠뷿൅㌠㌠뷿൅㌠㌠뷿൅方差为䁚晦㈮㌠뷿൅㌠뷿൅㈮㌠뷿＝．补全表格如下：甲、乙射击成绩统计表平中方命均位差中数数䁚晦环的次数甲㌠㌠晦乙㌠㌠ǤǤ䁚甲、乙射击成绩折线图由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定，故甲胜出；如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（䁚晦环）次数多者胜出．因为甲乙的平均成绩相同，乙只有第次射击比第四次射击少命中䁚环，且命中䁚次䁚晦环，而甲第次比第䁚次、第次比第次，第次比第次命中环数都低，且命中䁚晦环的次数为晦次，即随着比赛的进行，有可能乙的射击成绩越来越好．21.与圆相切．理由如下：∵为的平分线，∴ൌ，∵ൌ，∴ൌ，∴ൌ，∴，∵，试卷第8页，总14页 ∴，则与圆相切；连接，交于，∵为的中点，∴ൌ，∴ൌ，∴ൌ，又∵ൌ，∴ൌ，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴ൌ，ൌ，又∵ൌൌ䁚，∴四边形是菱形，∵为直径，得到ൌ㈮晦，∴，∵与相切，为切点，∴，∴，∵点为的中点，∴为的中位线，䁚䁚䁚∴ൌൌ，即ൌൌ，在中，根据勾股定理得：ൌൌൌ，䁚䁚则阴影ൌൌൌ．22.∵点是的中点，＝，＝，∴点的坐标为㈷뷿，将点的坐标代入ൌ，可得＝，即反比例函数解析式为：ൌ，∵点的横坐标为，∴点的纵坐标ൌൌ䁚，故点的坐标为㈷䁚뷿；由折叠的性质可得：＝，＝，＝＝㈮晦，试卷第9页，总14页 ∵൅＝㈮晦，൅＝㈮晦，∴＝，又∵＝＝㈮晦，∴，结合图形可设点坐标为㈷뷿，点坐标为㈷뷿，则ൌ，＝＝，＝＝＝，在中，ൌൌ뷿뷿ൌ，∵ൌ，即ൌ，∴ൌ䁚，解得：＝．23.解：䁚뷿设平均增长率为，根据题意得：䁚൅뷿ൌ䁚晦晦,解得：ൌ晦Ǥൌͷ或ൌǤ(舍),四月份的销量为：䁚晦晦䁚൅ͷ뷿ൌ䁚（辆）．答：四月份的销量为䁚辆．晦晦晦晦晦晦뷿设购进型车辆，则购进型车辆，䁚晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦根据题意得：Ǥ,䁚晦晦晦䁚晦晦晦解得：晦.晦晦晦晦晦晦利润ൌ㌠晦晦晦晦뷿൅䁚晦晦䁚晦晦晦뷿ൌ㈮晦晦晦൅晦．䁚晦晦晦∵晦ꀀ晦，∴随着的增大而增大．晦晦晦晦晦晦当ൌ时，不是整数，故不符合题意，䁚晦晦晦晦晦晦晦晦晦∴ൌ，此时ൌ䁚（辆）．䁚晦晦晦答：为使利润最大，该商城应购进辆型车和䁚辆型车．24.解：（1）∵抛物线ൌ൅൅′的顶点坐标为晦㈷뷿，∴ൌ晦，′ൌ；∵ൌ൅൅′过点䁚㈷晦뷿，∴晦ൌ൅晦，ൌ，∴抛物线的解析式为ൌ．当ൌ晦时，ൌ晦，解得ൌ䁚，∴点的坐标为䁚㈷晦뷿；（2）设͸㈷݉뷿．∵ൌൌ㈮晦，∴当以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似时，分两种情况：①若，则ൌ，䁚即ൌ，݉͸䁚试卷第10页，总14页 ͸䁚解得݉ൌ．由对称性可知，在轴上方和下方均有一点满足条件，͸䁚䁚͸∴此时点坐标为͸㈷뷿或͸㈷뷿，∵点在第一象限，͸䁚∴点的坐标为͸㈷뷿②若，则ൌ，䁚即ൌ，͸䁚݉解得݉ൌ͸．由对称性可知，在轴上方和下方均有一点满足条件，∴此时点坐标为͸㈷͸뷿或͸㈷͸뷿，∵在第一象限，͸ꀀ䁚，∴点的坐标为͸㈷͸뷿͸䁚综上所述，满足条件的点的坐标为：͸㈷뷿，͸㈷͸뷿．（3）方法一：假设在抛物线上存在第一象限内的点㈷뷿，使是以为直角顶点的等腰直角三角形．如图，过点作于点．∵൅ൌ㈮晦，൅ൌ㈮晦，∴ൌ．在与中，ൌൌ㈮晦ൌ，ൌ∴，∴ൌ，ൌ．分两种情况：͸䁚①当͸㈷뷿时，∵䁚㈷晦뷿，͸㈷晦뷿，͸㈷뷿，试卷第11页，总14页 ͸䁚͸䁚ൌ∴，͸䁚ൌ͸䁚䁚ൌ䁚ൌ解得，（均不合题意舍去）；͸䁚ൌ䁚͸ൌ晦②当（͸㈷͸䁚뷿）时，∵䁚㈷晦뷿，͸㈷晦뷿，͸㈷뷿，͸䁚ൌ͸䁚뷿∴，͸䁚뷿ൌ͸䁚ൌ䁚ൌ解得，（均不合题意舍去）；͸䁚ൌ䁚㈮͸ൌ综上所述，不存在满足条件的点．方法二：若在第一象限内存在点，͸䁚①∵䁚㈷晦뷿，͸㈷뷿，点可视为点绕点顺时针旋转㈮晦而成，䁚͸将点平移至原点，得̵晦㈷晦뷿，则点̵䁚͸㈷뷿，䁚͸将点̵顺时针旋转㈮晦，则点̵㈷͸䁚뷿，͸䁚将点̵平移回͸㈷뷿，则点̵平移后即为点，䁚൅͸͸∴㈷뷿，将点代入抛物线得：͸͸ൌ晦，∴͸䁚ൌ䁚，͸ൌ晦，∴䁚䁚㈷晦뷿，晦㈷뷿（均不合题意舍去），②∵䁚㈷晦뷿，͸㈷͸뷿，同理可得͸㈷͸뷿，将点代入抛物线得：͸ൌ͸뷿，∴͸䁚䁚͸൅㈮ൌ晦，㈮∴͸䁚ൌ䁚，͸ൌ，䁚∴䁚䁚㈷晦뷿，㈷뷿（均不合题意舍去）综上所述，不存在满足条件的点．25.点是的重心．证明：如答图，作的中线，与交于点，则点为的重心．试卷第12页，总14页 由（1）可知，ൌ，而ൌ，∴点与点重合（是同一个点），∴点是的重心．（3）解：如答图所示，连接．设ൌ，由（1）知ൌ，即ൌ，∴ൌ，ൌ൅ൌ．为简便起见，不妨设ൌ䁚，ൌ，则ൌ．∴ൌ൅ൌ൅ൌ൅뷿，∴ൌൌ൅뷿．设ൌ，由ൌ，得ൌ，∴ൌ൅ൌ൅뷿．∴四边形ൌൌ൅뷿൅뷿ൌ൅뷿．四边形൅뷿൅∴ൌൌ①൅뷿൅䁚如答图，过点作交于点，过点作交于点，则．∵，∴ൌൌ，䁚∴ൌൌ；∵，䁚∴ൌൌ，൅䁚试卷第13页，总14页 ∴ൌ；൅䁚䁚൅䁚∴ൌൌ，൅䁚൅䁚൅䁚∴ൌൌ．൅䁚뷿∵，∴ൌ，൅䁚∴ൌൌ，൅䁚∴ൌ，代入①式得：൅䁚四边形൅൅䁚ൌൌ൅䁚ൌ൅൅䁚ൌ뷿൅，൅䁚൅䁚䁚四边形∴当ൌ时，有最大值，最大值为．试卷第14页，总14页