2016年四川省成都市青羊区某校外地招生数学试卷一、选择题(请将答案填涂在答题卡上,本大题共10个小题,每题5分,共50分))1.在下列长度的四组线段中,不能组成直角三角形的是()A. , , B. 、 、 C. 香䁛、 䁛h、 t D. 쳌h,䁛쳌h,h쳌h2.下列各数中,适合方程 = 的一个近似值(精确到 쳌 )是()A. 쳌hB. 쳌䁜C. 쳌䁛D. 쳌香3.在日常生活中,有一些含有特殊数字规律的车牌号码,如川 香 香 香,川 ,川 等,这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照,如果让你负责制作以t为字母“ ”后的第一个数字,且有五个数字的“数字对称”牌照,那么最多可制作()A.h 个B. 个C. 个D.h 个4.下列式子:①sin䁜 sinht ②sin t cos t = ② cos cos ④tan 䁛쳌h tan䁛 其中正确的个数有()A.䁛B. C. D. 5.如图,点 为 䁡角平分线上的一点. 、 䁡 䁡,分别在线段 、 䁡上取点 、 ,连接 、 使得 = ,若 䁡=䁜 , =䁜、 = ,则点 到直线 的距离为() h A.B.C.D.h 䁛 t6.如图,一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,这个圆共转了()试卷第1页,总21页
A.䁜圈B.h圈C.䁛쳌h圈D.䁛圈7.若“!”是一种数学运算符号,并且 ! , ! , ! 䁜, h䁜䁛! 䁛 ,…且公式 ,则 ()A. hB. 䁜C. D. 䁛 8.如图,以 的边 为直径作半圆 䁡 ,交 于䁡,交 于 ,过点 作 h 于点 ,若 =香, = , ,则 䁡的长为() A. B.C.D. 9.如图,点 是函数 的图象上的点,点 , 的坐标分别为 , .试利用性质:“函数 的图象上任意一点 都满足 = ”求 解下面问题:作 的内角平分线 ,过 作 的垂线交 于 ,已知当点 在函数 的图象上运动时,点 总在一条曲线上运动,则这条曲线为() A.直线B.抛物线C.圆D.反比例函数的曲线10.如图,长方体 䁡 䁡 中, = , 䁡 䁛,则 的取值范围为()试卷第2页,总21页
A. 䁛 hB. 䁛 C. hD. 䁛 䁛 二、填空题(请将答案写在答题卡上,本大题共8个小题,每小题6分,共48分)) 11.已知关于 的分式方程 的解是非负数,则 的取值范围是________. 12.将抛物线 抛 = 䁛 沿直线 = 翻折得到抛物线 ,则抛物线 的解析式为________. 13.化简 h 的值为________.䁛14.如图,在平面直角坐标系中,已知 , 香 为等边三角形, 是 轴上的一个动点,以线段 为一边,在其右侧作等边三角形 三,连接香三,当香三 时,点 的坐标为________.15.已知 䁡 , 䁡,点 ,点 分别在射线 䁡,射线 上,若点 与点 关于 对称,点 点 关于 䁡对称, 与 䁡相交于点 ,则cos =________.16.已知:对于满足 䁛的实数 ,不等式 䁛 恒成立,则 的取值范围为________.17.若二次函数 = ܾ 的图象顶点和它与 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,那么这个图象就称为:“何谐图象”,如图,一组二次函数图象的顶试卷第3页,总21页
点 , , … ( 为正整数)依次在直线 抛 上, 䁛且与 轴正半轴的交点依次是: , , …, ,( 为正整数),随 取不同的值,这一系列图象形状也在不断的变化,当 在 h的范围变化时,能使这组图象中的一条为“何谐图象”的 的值为________. 三、解答题:(本大题共8小题,计102分,请在答题卡上写出必要的推算或演算步骤))18.(1)试说明 不是有理数,18.(2)请叙述并设法证明勾股定理.19.(1)我校北湖校区多功能厅能容纳 余人,是成都市教育局举办全市校长培训专家讲堂的首选场所,截至目前,已经在此举办了“文翁大讲堂”䁛 场,多功能厅已经成为了成都市教育的一张有代表性的名片场地,为了更好的为广大师生提供聚会和文艺活动表演环境,学校于 䁜年䁛月启动了多功能厅多媒体提升改造工程,改造后的视听及音响效果达到专业级一流水平,在改造过程中,涉及到为超大 䁡屏安装钢架结构,如图①所示,其底面是边长为 的正八边形,上面是边长为 的正方形,侧面有四个正方形及四个正三角形,从此钢架上方俯视,可得如图②所示的图形,求此钢架的高度.(2)已知 , , 为在 之间(不等于 , )的任意三个实数,试证明: .20.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 平方米的三级污水处理池(平面图如图 䁡所示).由于地形限制,三级污水处理池的长、宽都不能超过 䁜米.如果池的外围墙建造单价为每米䁛 元,中间两条隔墙建造单价为每米 元,池底建造单价为每平方米香 元.(池墙的厚度忽略不计)试卷第4页,总21页
(1)当三级污水处理池的总造价为䁛䁛 元时,求池长 ;(2)如果规定总造价越低就越合算,那么根据题目提供的信息,以䁛䁛 元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.21.已知:在 中, =t ,点 是线段 上一点,过点 作 的垂线,交 的延长线于点 , 于点 , 三 于点三, 三= .(1)如图 ,求证: = ;(2)如图 ,点 是 上一点,连接 并延长交 于点 ,点䁡是 上一点,连接䁡 , 䁡 = , 于点 ,交 延长线于点 ,若 = , = , 抛 = 抛 ,求䁡三的长.22.如图,在锐角三角形 中, 上的高 䁡与 上的高 相交于点 ,以䁡 为直径的圆分别交 , 于 、 两点, 与 相交于点 ,已知 = h, 䁡= , =䁛.(1)求证: = ; (2)求的值. 23.已知,如图, 䁡为 斜边 上的高,点 为䁡 延长线上一点,连接 ,过点 作 于点 ,交 , 䁡于 , 两点,线段 与 的长度刚好是关于 的一元二次方程h 䁜 h= 的两个实数根.试卷第5页,总21页
(1)若 = ,求证: = ;(2)若 = 䁛 ,䁡 =t ,求䁡 的长;(3)在(1)的条件下,若 抛 =t抛䁜䁛,求 的长.24.如图,以边长为䁜的等边 䁡的边 所在直线为 轴,点 为原点建立直角坐标系 香 ,将 䁡沿 䁡翻折得到 䁡,动点 以 单位/秒的速度,从顶点䁡出发沿 䁡 边经点 到达终点 ,同时动点三从点 出发沿 轴负半轴以 单位/秒的速度运动,当点 到达终点时两点同时停止运动,设运动时间为 ,直线 三与 䁡的边 䁡交于点 .(1)求图象经过点 、䁡、 的二次函数解析式;(2)是否存在时刻 使得 三 䁡 ,若存在请求出 值,若不存在,请说明理由;(3)设 长于 试求 与 之间的函数关系式;(4)若点 、 为䁡 边上到点䁡的距离分别 各单位和 个单位的两点,试在边䁡 上找一点 ,在䁡 垂直平分线上找一点 ,使得四边形 周长最小并求出周长最小值.25.如图,在锐角 的两边上分别取点 和点 ,连接 , 的中垂线䁡 与 平分线交于点 ,与线段 交于点 .(1)如图 ,当 抛 = 抛 时,试求 与 的数量关系,并说明你的理由;试卷第6页,总21页
(2)如图 ,过点䁡作射线䁡 于 ,交射线 于点 ,过点过点 作射线 于 ,䁡 与点䁡关于直线 对称,当 , 抛 = 抛 时,求证: = 䁡 .试卷第7页,总21页
参考答案与试题解析2016年四川省成都市青羊区某校外地招生数学试卷一、选择题(请将答案填涂在答题卡上,本大题共10个小题,每题5分,共50分)1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.B8.B9.C10.C二、填空题(请将答案写在答题卡上,本大题共8个小题,每小题6分,共48分)11. 12. = 13.h 䁛14. 15. 16. 或 h17. 三、解答题:(本大题共8小题,计102分,请在答题卡上写出必要的推算或演算步骤)18.证明:假设 是一个有理数,则 可以表示成一个分数, 不妨设 ,其中 , 都是正整数,且 与 互质,将式两边分别平方,得 ,即 = . 这说明 是 的倍数,因而 是 的倍数.设 = ,为正整数,代入上式得 =䁛 ,即 = .因而 也是 的倍数,这和 与 互质矛盾,所以 不是有理数.勾股定理为:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,证法很多,言之有理即可,下面列举一种证法,其他证法参照给分,法一:构造如图直角梯形:试卷第8页,总21页
梯形的面积等于三个三角形面积之和: 即 ܾ ܾ, 整理得 ܾ = .法二:如图,作䁛个全等的直角三角形,设它们的两条直角边分别是 ,ܾ,斜边长为 ,再做一个边长分别为 的正方形,把它们像下图那样拼成正方形.从图上可以看到,这个大正方形的边长是 ܾ,即 ܾ 䁛 ܾ, 整理得 ܾ = .19.从俯视图可知, 与在它下面的投影香重合,如图,连接 香,香 ,则 香是直角三角形,从俯视图可知, 是等腰直角三角形, ∴俯视图中 h ,即立体图中香 h , 又∵ = = , ∴ 香 中, 香= h , ∴此钢架的高度为h ;证明:原式左右作差可得: = ,令 = ,其中 ,∵当 = 时 = ;当 = 时 = = ,而 为一次函数,∴ 在 内恒为负,即: . 20.矩形 䁡的边 = 䁡 , 试卷第9页,总21页
由题意得䁛 香 =䁛䁛 䁛 䁛 即香 香 =䁛䁛 化简得 t h = 解得 = 䁛, = h经检验都是原方程的解,但 = h 䁜(不合题意舍去)因此当三级污水处理池的总造价为䁛䁛 元时,池长 䁛米.当以䁛䁛 为总造价来修建三级污水处理池时,不是最合算;当池长为 䁜米时,池宽为 쳌h米 䁜米,故池长为 䁜米符合题意,这时总造价为䁛 䁛 香 䁜 香 =䁛䁜 䁛䁛 䁜因此当以䁛䁛 为总造价来修污水处理池时,不是最合算.21.证明:证法一:如图①,∵ , ,∴ = =t ,∴ 三 = =t ,∴ 三= ,∵ 三 ,∴ 三 = =t ,∵ 三= ,∴ 三 ∵ = 三 = ,∴ = ∵ = , =t , =t ∴ = ∵ 三 , ∴ 三= (角平分线的性质),∴ = ;证法二:如图①,∵ , ,∴ = =t ∴ 三 = =t ∴ 三= ∵ 三 ,∴ 三 =t = ∵ 三= ,∴ 三 ∴ = , 三= ,∴ = ∵ 三 = 香 ,∴ 三 ∴ 三 = ∵ = ,∴ 三 = ∵ 三 = =t , = ∴ 三 试卷第10页,总21页
∴ 三= ,∴ = .解法一:如图②,∵ = = ,∴由(1)知 = = ∴ = =h =香,∴ = =h∴ 三= 䁛∵ 三= , = =t ∴ = 䁛∴tan =tan ∵tan , ∴ =䁜∵ ,∴ = ,又∵ = ∴ , ∴ , ∵ 抛 = 抛 ,设 = ,则 = 䁛∴ , . 过 作 交 于 ,则四边形 是平行四边形䁛∴ = , 䁛h∴ = = ∵ ,∴ =t = ,∴ = ∵ ,∴ = = tan =tan , ∴tan , hh∴ , ∴ , ∴ = , = = ∵ 䁡 = 䁡 , 䁡 = ,∴ 䁡 = ,试卷第11页,总21页
tan , ∴tan 䁡 = .过 作 䁡于 䁛∵tan 䁡 = ,tan , ∴设 =䁛 ,则 = , 䁡=䁛 ∴ =h = , ∴ ,h ∴ 䁡=䁛 =䁛 h∵ , 三=䁛,∴ 三= 三=䁜 t∴䁡三= 三 䁡=䁜 .hh解法二:如图③,∵ = , = ,∴由(1)知 = = ∴ = =h, =香,∴ = =h∴ 三= 䁛∵ ,∴ = 又∵ = ,∴ ∴ , 䁛 ∴ =䁜作 于 ,则四边形 是矩形∴ = =h, = ∵ = =t ∴ =t =t ∴ = ,∴tan =tan , h䁜∴ ,即 h∴ , ∵ ,∴ = 又∵ = ,∴ , ∴ 试卷第12页,总21页
∵ 抛 = 抛 ,设 = , = 䁛h∴ = , = = , h䁛∴ ∴ , ∴ = = ∴ = 在 的延长线上取点 ,使 = ,∴tan =tan 䁛∴ , h h h∴ , , = ,䁛䁛䁛䁛∵ 䁡 = 䁡 , = 䁡 ,∴ 䁡 = ,∴ 䁡 , 䁡 ∴ ∴ 䁡 = ,∴ 䁡 = ,∴ 䁡 , ∴ 䁡 h∵ , 三=䁛,∴ 三= 三=䁜 t∴䁡三= 三 䁡=䁜 hh解法三:如图④,∵ = , = ,∴由(1)知 = = ∴ = =h, =香,∴ = =h∴ 三= 䁛∵ ,∴ = = 又∵ = ,∴ , ∴ , , ∵ 抛 = 抛 ,设 = , = 䁛 ∴ , , 䁛∴ , =䁜 试卷第13页,总21页
䁛∴ =䁜 , = =䁛 䁛 tan , h h∴sin =sin h∵ ,h∴ = sin 䁜 hh䁛 = sin 䁛 h ∴tan =tan , ∵tan h∴ hh∴ , ∵ = h䁛hhh∴ 䁛 䁜 ,h h ∴ ∴ = , = = ∵ 䁡 = 䁡 䁡 = ,∴ 䁡 = ∵tan = ,∴tan 䁡 = ,过 作 䁡于 䁛∵tan 䁡 = ,tan ∴设 =䁛 ,则 = , 䁡=䁛 ∴ =h = , ∴ ,h ∴ 䁡=䁛 =䁛 h∵ , 三=䁛,∴ 三= 三=䁜, t∴䁡三= 三 䁡=䁜 .hh试卷第14页,总21页
22.证明:∵ 䁡 = =t ,∴䁡、 、 、 四点共圆,∴ 䁡 = .∵ 、 、 、䁡四点共圆,∴ = 䁡 ,∴ = ,∴ . ∴ , 即 = ;延长 交 于 ,连接䁡 ,如图.试卷第15页,总21页
由题意知 䁡 = 䁡 = = =t ,∵ = h, 䁡= , =䁛,∴ 䁡= h, = 䁛.又∵ 䁡 = , 䁡 = ,∴ 䁡 , 䁡 䁡 ∴ , 䁡h 䁜由①得: , 䁛h 䁡 h䁜 䁡 h解得 , 香∴ = = 香 䁛= h,∵ 上的高 䁡与 上的高 相交于点 ,∴ , ∴ , ∵ = = h,∴ = = 䁛,由(1)可知 ,∴ , ∴ , 䁛∴ . h23.证明:∵ 䁡 ,∴ 䁡 = 䁡 =t ,∴ 䁡 =t , = ,∴ 䁡 =t ,∵ ,∴ =t ,∴ 䁡 䁡 =t ,∴ = 䁡 ,∵ 䁡 = =t ,∴ 䁡 䁡=t , 䁡=t ,∴ 䁡= ,∵ = 䁡= 䁡 = ,∴ = ;∵ 䁡 ,∴ 䁡 = 䁡 =t ,试卷第16页,总21页
∴ 䁡 䁡=t ,∵ =t ,∴ 䁡 䁡=t ,∴ 䁡 = 䁡 ,∴ 䁡 䁡 , 䁡䁡 ∴ , 䁡 䁡∴ 䁡 = 䁡 䁡 ,∵ ,∴ 䁡=t ,∵ 䁡 =t ,∴ = ,∴ 䁡 䁡, 䁡 䁡∴ , 䁡䁡 ∴ 䁡 䁡 = 䁡 䁡 ,∴ 䁡 = 䁡 䁡 ,∵ = 䁛 ,䁡 =t ,∴ 䁡=䁡 = ,∴ =t 䁡 ,h t∴䁡 ;t如图,∵ =t ,∴ =t ,∵ = ,∴ =t ,∵ =t ,∴ =t , = ,∵ = ,∴ = ,∴ = 过点 作 于点 ,∵ 䁡 䁡,∴ 䁡,∴ 䁡, ∴ , 䁡 t∴ , 䁡 䁡 䁜䁛 ∴ , 香 ∴ , , 香 h ∴ , h过点 作 于点 ,试卷第17页,总21页
∵ ,∴ , 香∴ , 设 =香 ,则 = ,∵ = , ,∴ = =香 ,∴ = =h , = = ,∵线段 与 的长度刚好是关于 的一元二次方程h 䁜 h= 的两个实数根. 䁜 䁜 由根与系数关系得h , hh h解得: = ,hh∵ , ,h∴ h,由(1)知, = , 䁡 = 䁡 ,∴ , ∴ , h设 = ܾ,则 =hܾ,在 中,根据勾股定理得, =䁛ܾ, ∴ = ܾ,香 h在 中,根据勾股定理得, ܾ, ∵ = , = =t ,∴ , ∴ , h ܾ ∴ ,hܾ ∴ =h.24.在 䁡 中, 䁡 =䁜 , 䁡= =䁜,试卷第18页,总21页
则点䁡到 轴的距离 = , 故点䁡 ;䁡 = =䁜,则点 t ;如图 ,连接 知 䁡 ,则 三 ,那么 在 上时不存在符合要求的 值;当 在䁡 上时,由于 三,且 三 ,所以四边形 三是平行四边形,则 = 三,由䁜 = ,得 = ;①如图 ,当点 在䁡 上时, , 三 则 䁡 三, ,䁡 䁡 则 䁡= , = ; ②如图 ,当点 在 上时,即 䁜, 三 则 三 三 ,则 ,即 , 三 䁜 䁜 ;䁜 综上, 䁜 ; 䁜 䁜 如图 ,作点 关于直线 䁡的对称点 ,由菱形的对称性知点 在 䁡上,䁡 =䁡 = ;过点 作 䁡 于点 ,在 䁡中, 䁡 = 香 䁡 =䁜 , 䁡 = ,则 = 䁡cos䁜 , t = 䁡 䁡 ; 作点 关于抛物线 䁡 对称轴的对称点 ,则䁡 =䁛,试卷第19页,总21页
连接 交 䁡于点 ,交对称轴于点 ,点 、 为所求点,用勾股定理得: ,故四边形 周长最小值为 .25.结论: = .理由:连接 ,如图 .设 = ,则 = ,∵ 䁡垂直平分 ,∴ = ,∴ = = ,∴ = = ,∴ = , =䁛 .∵ 平分 ,∴ = .∵ = 䁡 =t ,∴ = 香 = 香 t =t ,∴ = ,∴ = ,∴ = .证明:作 于 ,取 中点香,连接 䁡 、 、 、 香、 香、 、 ,如图 .∵ 平分 , , ,∴ = , = =t .∵ =t ,∴ = = =t ,∴四边形 是矩形.∵ = ,∴矩形 是正方形,∴ = , =䁛h , =t .∵ 䁡垂直平分 ,∴ = .在 和 中, , ∴ ,∴ = , = ,∴ = =t ∵ = ,∴ = =䁛h .∵ =t , = ,∴ =䁜 , = ,∴ = = h .试卷第20页,总21页
∵ =t ,点䁡为 中点,∴ 䁡= 䁡,∴ 䁡 = 䁡 = .∵点䁡与点䁡 关于 对称,∴ 䁡 = 䁡 = , ∴ 䁡=䁛h = h . ∵䁡 =䁡 ,䁡 ,∴䁡 垂直平分 ,∴ = ,∴ = =t 䁛h =䁛h ,∴ =t ,∴ = =t .∵点香为 中点, ∴香 =香 =香 =香 , ∴ 、 、 、 四点共圆,∴ = = h ,∴ 䁡= = h , 在 和 䁡 中, 䁡 , 䁡 䁛h∴ 䁡 ,∴ = 䁡 ,∴ = 䁡 .试卷第21页,总21页