2015年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）)1..的倒数是()A.B.C..D....2.如图所示的三视图是主视图是（）A.B.C.D.3.今年月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的个航站楼的总面积约为޵万平方米，用科学记数法表示为（）A.޵B.㌳޵C.㌳޵޵D.㌳޵4.下列计算正确的是（）A.＝B..＝޵C.＝D.＝5.如图，在香䁨中，香䁨，ㄵ޵，香ㄵ.，ㄵ，则䁨的长为A.B.C..D.6.一次函数ㄵ的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为()A.B.C.D.8.关于的一元二次方程＝有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A.香B.C.D.쳌且试卷第1页，总14页 9.将抛物线＝向左平移个单位长度，再向下平移.个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A.＝.B.＝.C.＝.D.＝.10.如图，正六边形香䁨㌳内接于，半径为，则这个正六边形的边心距和香䁨的长分别为()A.，B..，C..，D..，...二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）)11.分解因式：香ㄵ________．12.如图，直线，香䁨为等腰三角形，香䁨ㄵ香，则ㄵ________度．13.为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是________小时．14.如图，在香䁨中，香ㄵ.，＝，将香䁨沿翻折后，点香恰好与点䁨重合，则折痕的长为________．试卷第2页，总14页 三、解答题（本大题共6小题，共54分）)15.（1）计算：cos.．15.ㄵ（2）解方程组：．.ㄵ16.化简：．17.如图，登山缆车从点出发，途经点香后到达终点䁨，其中香段与香䁨段的运行路程均为，且香段的运行路线与水平面的夹角为.，香䁨段的运行路线与水平面的夹角为，求缆车从点运行到点䁨的垂直上升的距离．（参考数据：sin㌳޵，cos㌳，tan㌳香）18.国务院办公厅在年.月޵日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，，香，䁨，四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到，香两所学校的概率．19.如图，一次函数ㄵ的图象与反比例函数ㄵ为常数，且的图象交于，香两点．求反比例函数的表达式及点香的坐标；在轴上找一点，使香的值最小，求满足条件的点的坐标及香的面积．20.如图，在香䁨中，香䁨ㄵ香，䁨的垂直平分线分别与䁨，香䁨及香的延长线相较于点，，㌳，且香㌳ㄵ香䁨，是香㌳的外接圆，香㌳的平分线交试卷第3页，总14页 ㌳于点，交于点，连接香，㌳．（1）求证：香䁨香㌳；（2）试判断香与的位置关系，并说明理由；（3）若香ㄵ，求香的值．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）)21.比较大小：________．（填“香”，“쳌”或“＝”）22.有香张卡片，分别写有香这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一.张，记卡片上的数字为，则使关于的不等式组有解的概率为쳌________．23.已知菱形香䁨的边长为，香䁨ㄵ޵，对角线䁨，香相较于点，以点为坐标原点，分别以，香所在直线为轴、轴，建立如图所示的直角坐标系，以香为对角线作菱形香䁨菱形香䁨，再以䁨为对角线作菱形香䁨菱形香䁨，再以香为对角线作菱形香䁨..菱形香䁨，…，按此规律继续作下去，在轴的正半轴上得到点，，.，…，，则点的坐标为________．24.如图，在半径为的中，弦香ㄵ，是弦香所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线香于点䁨，当香是等腰三角形时，线段香䁨的长为________．25.如果关于的一元二次方程ㄵ有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是试卷第4页，总14页 ________.①方程ㄵ是倍根方程．②若ㄵ是倍根方程，则ㄵ；③若点ᦙ在反比例函数ㄵ的图象上，则关于的方程ᦙ.ㄵ是倍根方程；④若方程ㄵ是倍根方程，且相异两点，都在抛物线ㄵ上，则方程ㄵ的一个根为．五、解答题（本大题共3小题，共30分）)26.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，用.元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元．该商家购进的第一批衬衫是多少件？若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？27.已知䁨，䁨分别是四边形香䁨和㌳䁨的对角线，点在香䁨内，䁨䁨香＝香．（1）如图①，当四边形香䁨和㌳䁨均为正方形时，连接香㌳．‸求证：䁨䁨香㌳；‸‸若香＝，＝，求䁨的长；香㌳（2）如图②，当四边形香䁨和㌳䁨均为矩形，且ㄵㄵ时，若香＝，香䁨㌳䁨＝，䁨＝.，求的值；（3）如图③，当四边形香䁨和㌳䁨均为菱形，且香＝㌳＝时，设香＝，＝，䁨＝ᦙ，试探究，，ᦙ三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＝.쳌与轴交于，香两点（点在点香的左侧），经过点的直线直＝与轴交于点䁨，与抛物线的另一个交点为，且䁨＝䁨．试卷第5页，总14页 （1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中，用含的式子表示）；（2）点是直线上方的抛物线上的一点，若䁨的面积的最大值为，求的值；（3）设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．试卷第6页，总14页 参考答案与试题解析2015年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1.A2.B3.C4.C5.B6.D7.C8.D9.A10.D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11...12.13.14..三、解答题（本大题共6小题，共54分）15.解：（1）原式ㄵ香ㄵ；（2）①+②得：ㄵ，即ㄵ，把ㄵ代入①得：ㄵ，ㄵ则方程组的解为．ㄵ16.解：原式ㄵㄵㄵ．17.缆车从点运行到点䁨的垂直上升的距离约为.．18.∵三等奖所在扇形的圆心角为香，∴三等奖所占的百分比为，∵三等奖为人，∴总人数为＝人，∴一等奖的学生人数为＝.人；列表：香䁨香䁨香香香䁨香试卷第7页，总14页 䁨䁨䁨香䁨香䁨∵共有种等可能的结果，恰好选中、香的有种，∴（选中、香）ㄵㄵ．޵19.解：把点代入一次函数ㄵ，得ㄵ，解得ㄵ.，∴.，把点.代入反比例函数ㄵ，得ㄵ.，.∴反比例函数的表达式ㄵ，ㄵ，两个函数解析式联立列方程组得.ㄵ，ㄵ，ㄵ.，解得或ㄵ.ㄵ，∴点香的坐标为.；作点香关于轴的对称点，交轴于点䁨，连接，交轴于点，此时香的值最小，连接香，如图所示，∴.，设直线的解析式为ㄵ，ㄵ.，把，两点代入得，.ㄵ，解得ㄵ，ㄵ，∴直线的解析式为ㄵ，令ㄵ，得ㄵ，∴点坐标，香ㄵ香香ㄵ试卷第8页，总14页 .ㄵㄵ．20.（1）证明：∵香䁨ㄵ香，∴香㌳ㄵ香，∵㌳䁨，∴㌳ㄵ香，∴䁨ㄵ㌳ㄵ香，∴䁨ㄵ香㌳，䁨ㄵ㌳在香䁨与香㌳中，香䁨ㄵ香㌳，香䁨ㄵ香㌳∴香䁨香㌳；（2）香与相切，如图，连接香证明如下：∵香ㄵ㌳，∴香㌳ㄵ㌳香，∵香䁨ㄵ香，ㄵ䁨，∴香ㄵ䁨，∴䁨ㄵ香䁨，∵䁨ㄵ香㌳，∴香䁨ㄵ香㌳，∵䁨香香㌳ㄵ香，∴香䁨䁨香ㄵ香，∴香ㄵ香，∴香与相切；（3）解：如图，连接䁨㌳，，∵䁨香㌳ㄵ香，香䁨ㄵ香㌳，∴䁨㌳ㄵ香㌳，∵㌳垂直平分䁨，∴㌳ㄵ䁨㌳ㄵ香香㌳ㄵ香㌳ㄵ香㌳，∴香㌳ㄵ，∵香䁨香㌳，∴香ㄵ香ㄵ，∴㌳ㄵ香㌳香ㄵ，试卷第9页，总14页 ∵香平分䁨香㌳，∴ㄵ㌳，∴ㄵ㌳，∴㌳是等腰直角三角形，∴㌳ㄵ㌳ㄵ，∵㌳ㄵ香㌳ㄵ，香㌳ㄵ香㌳，∴香㌳㌳，㌳香∴ㄵ，㌳∴香ㄵ㌳ㄵ．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21.쳌22.香23..޵24.，或.25.②③五、解答题（本大题共3小题，共30分）26.解：设该商家购进的第一批衬衫是件，则购进第二批这种衬衫是件，.ㄵ，解得ㄵ，经检验，ㄵ是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是件．.ㄵ.ㄵ.޵，设每件衬衫的标价元，依题意有.޵㌳.，解得．答：每件衬衫的标价至少是元．27.‸证明：∵四边形香䁨和㌳䁨均为正方形，䁨䁨∴ㄵㄵ，香䁨䁨㌳∴䁨香＝䁨㌳＝，∴䁨＝香䁨㌳，在䁨和䁨香㌳中，䁨䁨ㄵㄵ香䁨䁨㌳，䁨ㄵ香䁨㌳∴䁨䁨香㌳．‸‸∵䁨䁨香㌳，䁨∴䁨＝䁨香㌳，ㄵ，香㌳香䁨又∵䁨䁨香＝香，∴䁨香㌳䁨香＝香，试卷第10页，总14页 ∴香㌳＝香，䁨又∵ㄵㄵ，＝香㌳香䁨∴ㄵ，香㌳∴香㌳ㄵ，∴㌳＝香香㌳ㄵㄵ.，∴㌳ㄵ.，∵䁨＝㌳＝޵，∴䁨ㄵ޵．如图②，连接香㌳，香㌳∵ㄵㄵ，香䁨㌳䁨∴香䁨＝，香＝，㌳䁨＝，㌳＝，∴䁨ㄵ香香䁨ㄵㄵ，䁨ㄵ㌳㌳䁨ㄵㄵ，䁨䁨∴ㄵㄵ，䁨＝香䁨㌳，香䁨㌳䁨在䁨和香䁨㌳中，䁨䁨ㄵㄵ香䁨㌳䁨，䁨ㄵ香䁨㌳∴䁨香䁨㌳，䁨∴ㄵㄵ，䁨＝䁨香㌳，香㌳香䁨又∵＝，∴ㄵ，香㌳∴香㌳ㄵ，∵䁨＝䁨香㌳，䁨䁨香＝香，∴䁨香䁨香㌳＝香，∴香㌳＝香，∴㌳＝香香㌳＝，䁨∵ㄵ，㌳䁨䁨∴ㄵ，䁨＝.，㌳.∴㌳ㄵ，.香∴ㄵㄵ，∴ㄵ，解得＝，香㌳∵ㄵㄵ香，香䁨㌳䁨试卷第11页，总14页 ∴ㄵ．连接香㌳，同理可得香㌳＝香，过䁨点作䁨香延长线于，∵四边形香䁨为菱形，∴香＝香䁨，设香＝香䁨＝，∵䁨香＝香＝，∴香＝䁨ㄵ，∴䁨＝䁨＝，＝，∴香直香䁨直䁨＝直：，同理可得㌳直㌳䁨直䁨＝直：，䁨ᦙ∴㌳ㄵㄵ，在䁨和香䁨㌳中，䁨䁨ㄵㄵ香䁨㌳䁨，䁨ㄵ香䁨㌳∴䁨香䁨㌳，䁨∴ㄵㄵ，䁨＝䁨香㌳，香㌳香䁨又∵＝，∴香㌳ㄵㄵ，∵䁨＝䁨香㌳，䁨䁨香＝香，∴䁨香䁨香㌳＝香，∴香㌳＝香，∴㌳＝香香㌳，ᦙ∴ㄵ，∴＝ᦙ，即，，ᦙ三者之间满足的等量关系是：＝ᦙ．28.令＝，则.＝，解得＝，＝.∵点在点香的左侧，∴，如图，作㌳轴于㌳，∴㌳䁨，㌳䁨∴ㄵ，䁨∵䁨＝䁨，试卷第12页，总14页 ㌳䁨∴ㄵㄵ，䁨∵＝，∴㌳＝，∴点的横坐标为，代入＝.得，＝，∴，ㄵ把、坐标代入＝得，ㄵㄵ解得，ㄵ∴直线的函数表达式为＝．如图，过点作轴于点设点（.），＝，.ㄵ则，ㄵㄵ.解得：，ㄵ.∴＝..，（.）∵䁨＝.，＝∴䁨＝䁨䁨ㄵ.͵.͵ㄵ..͵ㄵ，∴有最大值ㄵ，∴ㄵ；令.＝，即.＝，解得＝，＝，∴，∵＝.，∴抛物线的对称轴为＝，设，①若是矩形的一条边，由知＝，可知点横坐标为，将＝代入抛物线方程得，＝＝＝޵，则޵，∵四边形为矩形，∴＝香，∴＝，∵＝͵＝，＝޵＝.，∴͵޵＝޵，即ㄵ，∵쳌，∴ㄵ，޵∴．试卷第13页，总14页 ②若是矩形的一条对角线，.则线段的中点坐标为，.，＝.＝，则，∵四边形为矩形，∴＝香，∴＝，∵＝͵＝，＝＝..，＝͵＝，∴..＝，解得ㄵ，∵쳌，∴ㄵ，∴．޵综上可得，点的坐标为，．试卷第14页，总14页