2010年四川省某校高中招生考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）)1.下列运算正确的是（）㈶D.쳌䁟㈶쳌䁟A.＝B.㈶C.쳌ͺ2.若不等式组的解集是t，则h的取值范围是thA.hB.htC.hͺD.h㈶3.下列说法中，正确的是（）A.在香䁨中，锐角的两边都扩大倍，则cos也扩大倍B.若ͺͺ，则sintC.cos쳌cos㈶cos쳌D.若为锐角，tan㈶，则sin㈶4.如图是一个水平摆放的小正方体木块，图，（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）个．A.B.C.D.5.下列事件是必然事件的是（）A.方程쳌쳌＝有实数根，则B.쳌㈶有实数根C.当是一切实数时，㈶D.已知晦晦㈶，那么쳌晦晦㈶6.若直线直䁟＝쳌⸲经过不同的三点h，香h，䁨hh，则该直线经过（）象限．A.二、四B.一、三C.二、三、四D.一、三、四7.如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底端的滑动距离（）试卷第1页，总14页 A.等于米B.大于米C.小于米D.不能确定8.把个相同的球放入编号为，，的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（）种．A.B.C.D.9.给出下列四个命题：（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形；（2）若点在直线䁟＝上，且点到两坐标轴的距离相等，则点在第一或第四象限；（3）半径为的圆中，弦香＝，则圆周上到直线香的距离为的点共有四个；（4）若h、香t在反比例函䁟㈶的图象上，则hͺ．其中，正确命题的个数是（）A.个B.个C.个D.个10.两个不相等的正数满足쳌⸲＝，⸲＝，设＝⸲，则关于的函数图象是（）A.射线（不含端点）B.线段（不含端点）C.直线D.抛物线的一部分二、填空题（每小题3分，共30分）)11.嘉祥若关于的分式方程㈶在实数范围内无解，则实数㈶________．쳌쳌12.三角形的两边长为2h和2h，则这个三角形面积的最大值为2h．13.已知实数、䁟满足쳌䁟＝，则쳌䁟的最大值为________．⸲쳌⸲晦⸲晦14.二次函数䁟＝쳌⸲⸲的图象如图所示，那么化简的结果是________．试卷第2页，总14页 15.请你将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中间再对折，这样连续对折次，最后用剪刀沿对折次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成________段．16.等腰香䁨的底边香䁨＝2h，腰长香＝2h，一动点在底边上从点香开始向点䁨以Ǥ2h秒的速度运动，当点运动到与腰垂直的位置时，点运动的时间应为________秒．17.在香䁨中，＝，香＝2h，䁨＝2h，以斜边香䁨上距离香点2h的点为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转到香䁨，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为Ǥ2h．18.直角坐标系中，点，香，䁨，若有一三角形与香䁨全等，且有一条边与香䁨重合，那么这个三角形的另一个顶点坐标是________．19.如图所示，设是香䁨的重心，过的直线分别交香、䁨于点、两香䁨点．则쳌㈶________．20.某同学为画二次函数䁟＝쳌⸲쳌2的图象，先列出一个表格，当值等间隔增加时，函数值依次为，，，，，，，，后来发现有一个值写错了，则这个数是________．试卷第3页，总14页 三．解答题（本大题30分，21、22、23题每题10分）)21.（1）计算：쳌쳌sin；21.（2）先化简，再求值：（其中满足＝）．쳌쳌22.（1）已知关于的不等式쳌t（其中）①当＝时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；②小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明的卡片，上面分别写有整数、、、、、、、、、，将这张卡片写有整数的一面向下放在桌面上，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式的系数，求使该不等式没有正整数解的概率；22.（2）若关于的不等式쳌⸲t（其中）的与（1）②相同，且使该不等式有正整数解的概率为，求⸲的取值范围．23.如图，在平面直角坐标系中，点，香分别在轴，䁟轴上，线段＝，香＝，䁨是线段香的中点，点在线段䁨上，＝䁨．（1）䁨点坐标为________；（2）求直线的解析式；（3）直线䁨绕点逆时针旋转，求出点的对应点的坐标．四、（本大题32分，24、25题10分，26题12分）)24.如图，在等腰梯形香䁨中，香䁨＝，香䁨，且＝䁨，香、䁨分别在、䁨的延长线上，且香＝䁨䁨，䁨、香香于点．（1）求证：䁨＝香香；（2）请你猜测香䁨的度数，并证明你的结论．25.某公司开发的件新产品，需加工后才能投放市场，现有甲，乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天，而乙工厂每天比甲工厂多加工件产品．在加工过程中，公司需每天支付试卷第4页，总14页 元劳务费请工程师到厂进行技术指导．（1）甲，乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求有望加工这批产品．26.如图、是两个相似比为直的等腰直角三角形，将两个三角形如图放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与䁨、香䁨交于点香，䁨，如图．求证：香쳌香䁨＝香䁨；（2）若在图中，绕点䁨旋转小直角三角形，使它的斜边和䁨延长线分别与香交于点香、䁨，如图，此时结论香쳌香䁨＝香䁨是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图，在正方形香䁨中，香、䁨分别是边香䁨、䁨上的点，满足䁨香䁨的周长等于正方形香䁨的周长的一半，香、䁨分别与对角线香交于、，试问线段香、、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．五、解答题（本题14分）)27.如图：两个同心圆的圆心是，香是大圆的直径，大圆的弦䁨与小圆相切于点，连接并延长交大圆于点香，连接香香交䁨于点䁨．试卷第5页，总14页 （1）已知tan香㈶，且大、小两圆半径差，求大圆的半径．（2）试判断香䁨与过香、䁨、䁨三点的圆的位置关系，并证明．（3）在（1）的条件下，延长香䁨、香交于，求sin．六、解答题（本题14分）)28.已知：如图，在平面直角坐标系䁟中，矩形香䁨的边在䁟轴的正半轴上，䁨在轴的正半轴上，＝，䁨＝．过原点作䁨的平分线交香于点，连接䁨，过点作香䁨，交于点香．（1）求过点香、、䁨的抛物线的解析式；（2）将香䁨绕点按顺时针方向旋转后，角的一边与䁟轴的正半轴交于点䁨，另一边与线段䁨交于点．如果䁨与（1）中的抛物线交于另一点，点的横坐标为，那么香䁨＝是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点，使得直线与香的交点与点䁨、构成的䁨是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第6页，总14页 参考答案与试题解析2010年四川省某校高中招生考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.C2.A3.D4.C5.D6.A7.B8.B9.如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形，正确；如果点到两坐标轴的距离相等，那么点是䁟＝与䁟＝的交点，是，在第一象限，或点是䁟＝与䁟＝的交点，是，在第四象限．则点在第一或第四象限是正确的；半径为的圆中，弦香＝，则弦心距是，圆周上到直线香的距离为的点是平行于香，弦心距是的弦与圆的交点．再加上垂直于弦香的半径与圆的交点共个，故其错误；B10.B二、填空题（每小题3分，共30分）11.12.设两边的夹角为，则三角形面积㈶sin＝sin，当＝时，面积的最大值＝．13.∵实数、䁟满足쳌䁟＝쳌∴䁟㈶쳌∴쳌䁟＝쳌㈶쳌쳌∴最大值为㈶．14.15.16.或17.根据旋转的性质可知，䁨䁨䁨香䁨，䁨䁨，∵＝，香＝2h，䁨＝2h，∴香䁨＝，䁨＝，香䁨＝，∵䁨直香䁨＝直，即䁨㈶，试卷第7页，总14页 ∴＝㈶，∴䁨㈶，∴直＝䁨直香䁨，䁨香䁨∴䁨㈶，∴＝＝Ǥ2h．䁨䁨18.或或19.20.三．解答题（本大题30分，21、22、23题每题10分）21.原式＝쳌쳌，㈶쳌；쳌原式㈶쳌，쳌＝쳌，＝，当＝时，原式＝＝．22.①当＝时，∴쳌t，∴t，∴ͺǤ②由쳌t可得：ͺ，要使쳌t无正整数解，则ͺ，所以的值为：、、、、、、、，，，取＝，不等式쳌t的解为ͺ，不等式没有正整数解．取＝，不等式쳌t的解为ͺ，不等式没有正整数解．取＝，不等式쳌t的解为ͺ，不等多没有正整数解．取＝，不等式쳌t的解为ͺ，不等式没有正整数解．…∴整数取至中任意一个整数时，不等式没有正整数解．（不等式没有正整数解）＝．∵若关于的不等式쳌⸲t（其中）的与（1）②相同，∴t⸲，试卷第8页，总14页 ⸲ͺ，∴当⸲＝时，∵取＝，不等式쳌⸲t的解为ͺ⸲，∴ͺ，不等式有正整数解．⸲取＝，不等式쳌⸲t的解为ͺ，∴ͺ，不等式有正整数解．⸲取＝，不等式쳌⸲t的解为ͺ，∴ͺ，不等式有正整数解．⸲取＝，不等式쳌⸲t的解为ͺ，∴ͺǤ，不等式有正整数解．⸲取＝，不等式쳌⸲t的解为ͺ，∴ͺǤ，不等式有正整数解．⸲取＝，不等式쳌⸲t的解为ͺ，∴ͺ，不等式没有正整数解．…∴整数取至中任意一个整数时，要使该不等式有正整数解的概率为，∴当ͺ⸲时，不等式有正整数解的概率为．23.作䁨香轴于点香，䁨轴于点䁨，则香㈶＝，䁨香㈶香＝，䁨䁨∵䁨䁨香，㈶㈶㈶，䁨香香䁨得䁨＝，䁨＝，∴点的坐标为，设直线的解析式为䁟＝쳌⸲．쳌⸲㈶把，代入得，쳌⸲㈶㈶解得，⸲㈶∴直线的解析式为䁟＝쳌．作轴于点，由旋转可知：’＝，＝’，∴쳌䁨＝，∵䁨＝，∴䁨쳌䁨＝，∴䁨＝’，∴䁨，∴＝䁨＝，＝䁨＝，又∵点在第二象限，∴点坐标为．试卷第9页，总14页 四、（本大题32分，24、25题10分，26题12分）24.证明：∵四边形香䁨是等腰梯形，∴香＝䁨，又∵＝䁨，∴香＝（等量代换），又∵香香＝䁨（等腰梯形的性质），∵＝䁨，香＝䁨䁨，∴쳌香＝䁨쳌䁨䁨，∴香＝䁨（等量代换），在香香和䁨中，香㈶䁨香香㈶䁨，香㈶∴香香䁨，∴香香＝䁨（对应边相等）；猜想香䁨＝．∵由（1）知香香䁨（已证），∴香香＝䁨（对应角相等）．∴香䁨＝香香쳌香＝香쳌香䁨＝香香（等量代换）．∵香䁨，䁨香＝香䁨＝（已知），∴香䁨＝香香＝＝（等量代换）．25.甲工厂每天加工件，乙工厂每天加工件乙工厂所报加工费每天最多为元时，可满足公司要求，有望加工这批产品26.连䁨，如图，∵两个等腰直角三角形的相似比为直，而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，∴点为香的中点，∴䁨＝，＝＝，又∵쳌＝쳌＝，试卷第10页，总14页 ∴＝，∴䁨䁨香，∴䁨䁨＝香，同理可得䁨香香䁨，∴䁨香＝香䁨，而䁨香쳌䁨䁨＝香䁨，∴香쳌香䁨＝香䁨；结论香쳌香䁨＝香䁨仍然成立．理由如下：把䁨䁨香绕点䁨顺时针旋转，得到䁨，如图∴䁨䁨＝䁨，＝香䁨，＝，香＝䁨＝，∴香＝，而＝，∴쳌＝＝，∴쳌＝，∴䁨香䁨䁨香，∴香＝香䁨，在香中，香쳌＝香，∴香쳌香䁨＝香䁨；线段香、、能构成直角三角形的三边长．理由如下：把䁨绕点顺时针旋转得到香，点的对应点为，如图∴＝，쳌쳌＝，香＝䁨，香＝，䁨＝，∵䁨香䁨的周长等于正方形香䁨的周长的一半，∴香䁨＝香香쳌䁨，∴香䁨＝香，∴香䁨香，∴＝쳌，而＝，∴，∴＝，而＝香＝，香＝，∴香＝，∴香쳌香＝，∴香쳌＝．五、解答题（本题14分）27.∵香香＝䁨香，tan香㈶，∴tan䁨香㈶，而䁨，试卷第11页，总14页 ∵大、小两圆半径差为，∴香＝，故＝䁨＝，在中，可求得＝，半径＝；香䁨是过香、䁨、䁨三点的切线．证明：连接香䁨，设过香、䁨、䁨三点的圆的圆心为，则的直径为香䁨，连接䁨，则䁨＝䁨，䁨䁨＝䁨䁨，∵香＝䁨香，∴香䁨䁨＝䁨香䁨，而䁨䁨쳌䁨香䁨＝，䁨䁨쳌香䁨䁨＝，即香䁨＝，故香䁨是的切线．过䁨作䁨香交香于，过作香䁨，∵香䁨，∴四边形䁨香为平行四边形，∴＝香䁨＝，∴香＝，又香中，可求得㈶，∵䁨＝香＝，在䁨中，sin＝sin䁨㈶．六、解答题（本题14分）28.由已知，得䁨，，∵香＝䁨香＝香䁨，∴＝香䁨．＝．∴香．设过点香、、䁨的抛物线的解析式为䁟＝쳌⸲쳌2．将点香的坐标代入，得2＝．将2＝和点、䁨的坐标分别代入，试卷第12页，总14页 쳌⸲쳌㈶得쳌⸲쳌㈶㈶解这个方程组，得⸲㈶故抛物线的解析式为䁟㈶쳌쳌；香䁨＝成立．∵点在该抛物线上，且它的横坐标为，∴点的纵坐标为．设的解析式为䁟＝쳌⸲，将点、的坐标分别代入，쳌⸲㈶得，쳌⸲㈶㈶解得⸲㈶∴的解析式为䁟㈶쳌．∴䁨，香䁨＝．过点作䁨于点，则＝．∵＝䁨＝，∴䁨＝．又∵䁨＝＝，∴䁨．∴＝䁨＝．∵䁨＝，∴＝．∴香䁨＝；∵点在香上，，䁨，则设．∴＝쳌，䁨＝쳌，䁨＝．①＝䁨，则쳌＝쳌，解得＝．∴，此时点与点重合，∴．②若＝䁨，则쳌＝，解得＝，∴，此时轴．与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为，∴点的纵坐标为，∴．③若䁨＝䁨，则쳌＝，解得＝，∴，此时䁨＝䁨＝，䁨是等腰直角三角形．过点作轴于点，则＝，设＝，试卷第13页，总14页 ∴쳌．∴쳌쳌쳌쳌＝．解得㈶，＝（舍去）．∴．综上所述，存在三个满足条件的点，即或或．试卷第14页，总14页