2019年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)1..的倒数是()A..B.C.D....2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到.͵公里，将.͵用科学记数法表示应为()A..香͵B..͵͵C..香͵͵D.香.͵3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.4.在轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是分，甲的成绩方差是，乙的成绩方差是͵，下列说法正确的是()A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是()A.B.C.D.6.已知三角形的两边长分别为和，第三边长为整数，则该三角形的周长为()A.B.C.D.7.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是()A.ȁB.݉C.݉D.൅݉8.关于的一元二次方程..൅൅无实数根，则实数的取值范围是()试卷第1页，总12页 A.ȁB.C.D.݉.9.一次函数൅൅与反比例函数൅的图象如图所示，则二次函数൅൅൅的大致图象是()A.B.C.D.10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的()A.B.C.D.11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近试卷第2页，总12页 ͵.A.B.C.D.͵.12.如图，已知，两点的坐标分别为、，点、分别是直线൅和轴上的动点，൅，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，tan的值是A.B.C.D.二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）)13.如图，直线，被直线所截，，൅.，则.൅________．14.在一次有.人参加的数学测试中，得分，分，分，分，分的人数分别是，͵，，.，.，那么这组数据的众数是________分．15.分解因式：....൅________．16.某活动小组购买了个篮球和个足球，一共花费了䂈䂈元，其中篮球的单价比足球的单价多元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为________．17.如图，在中，൅，൅，൅䂈，，的平分线交于点，则൅________．试卷第3页，总12页 18.如图，在由个完全相同的正三角形构成的网格图中，，如图所示，则cos൅൅________．三、解答題（共8个题，共78分）)19.计算：͵sin൅൅͵..20.解方程：൅．21.如图，中，弦与相交于点，൅，连接，．求证：൅；.൅．22.某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级͵名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：䂈.͵䂈͵䂈.整理分析数据：成绩（单位：分）频数（人数）䂈ȁȁȁȁ试卷第4页，总12页 请将图表中空缺的部分补充完整；.学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级͵䂈人中，约有多少人将获得表彰；͵“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是________．23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数൅݇൅݇的图象与反比例函数.൅的图象相交于第一、三象限内的͵，͵两点，与轴交于点．求该反比例函数和一次函数的解析式；.在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；͵直接写出当݉.时，的取值范围．24.阅读下列材料：小明为了计算൅.൅..൅൅..൅..的值，采用以下方法：设൅൅.൅..൅൅..൅..①，则.൅.൅..൅൅..൅..②，②①得.൅൅..，∴൅൅.൅..൅൅..൅..൅...请仿照小明的方法解决以下问题：൅.൅..൅൅.＝________；.͵൅͵.൅൅͵＝________；͵求൅൅.൅൅的和（݉，是正整数，请写出计算过程）．试卷第5页，总12页 25.解答.如图，是正方形边上的一点，连接，，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．①线段和的数量关系是________；②直接写出线段，和之间的数量关系．.当四边形为菱形，൅䂈，点是菱形边所在直线上的一点，连接，，将绕点逆时针旋转.，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．①如图.，点在线段上时，请探究线段，和之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图͵，点在线段的延长线上时，交射线于点，若൅，൅.，直接写出线段的长度．26.如图，已知直线与抛物线ǣ൅.൅.൅相交于点.点和͵两点．求抛物线的函数表达式；.若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以，为相邻的两边作平行四边形形，当平行四边形形的面积最大时，求此时平行四边形形的面积及点的坐标；͵在抛物线的对称轴上是否存在定点，使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线൅的距离？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第6页，总12页 参考答案与试题解析2019年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.B2.A3.D4.B5.C6.C7.B8.D9.A10.D11.C12.B二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13.䂈14.15..൅൅16.൅൅䂈䂈17..18.三、解答題（共8个题，共78分）.19.解：原式൅͵൅..൅.൅͵..൅..൅൅．20.解：去分母得：..൅.൅.，解得：൅.，检验：当൅.时，方程左右两边相等，所以൅.是原方程的解．21.证明：∵൅，∴൅，即൅൅൅，∴൅..∵൅，∴൅.∵൅，൅，试卷第7页，总12页 ∴，∴൅．22.解：补全图表如下：成频绩数（（人单数位）：分）䂈ȁ.ȁȁȁ.估计该校初一年级͵䂈人中，获得表彰的人数约为͵䂈൅.（人）.͵.23.解：把͵代入.൅，可得൅͵൅，∴反比例函数的解析式为.൅；把点͵代入.൅，可得൅，试卷第8页，总12页 ∴͵．把͵，͵代入൅݇൅，͵݇൅൅，可得݇൅൅͵，݇൅，解得൅.，∴一次函数的解析式为൅൅.；.一次函数的解析式为൅൅.，令൅，则൅.，∴一次函数与轴的交点为.，如图所示，此时，൅最大，即为所求，令൅，则൅.，∴.，∴൅൅..൅͵.൅͵.．͵当݉.时，ȁȁ或݉͵．24..͵͵.͵设൅൅൅.൅͵൅൅൅①，则＝൅.൅͵൅൅൅൅൅②，②-①得：൅൅，൅时，不能直接除以，此时原式等于൅；不等于时，才能做分母，൅所以൅，.͵൅即൅൅൅൅൅൅൅.25.൅.①൅൅͵.理由如下：过点作于点，如图.，试卷第9页，总12页 在菱形中，൅൅൅䂈൅͵，..由旋转.得൅൅.，൅，在中，൅.͵൅͵，∴൅൅͵，∴൅，∴，∴൅，∴൅൅൅൅，∵൅，∴൅.，在中，൅͵，∴൅.．设൅，则൅.，൅͵，∴൅.͵，.∴൅൅，.͵͵∴൅͵，∴൅൅൅͵；②过点作形于形，过作于，如图͵，形中，形൅͵，൅.，∴形൅，形൅͵，∴൅.形൅.͵.∵，.∴൅൅.∵൅൅.，试卷第10页，总12页 .∴൅.͵中，൅͵，൅.͵，∴൅͵.由旋转得：൅，∴൅.൅䂈，.∴൅൅䂈൅൅．͵͵26.解：由题意把点.，͵代入൅.൅.൅，.൅൅，得൅൅൅͵，解得൅，൅͵，∴此抛物线的函数表达式为：൅.൅.൅͵..如图，过点作轴于，交直线于，将点.，͵代入൅݇൅中，݇൅൅，得.݇൅൅͵，解得，݇൅，൅，∴൅൅.设点则，͵൅.൅.൅，则൅.൅.൅͵൅.൅൅，.根据二次函数的性质可知，当൅时，有最大长度，.∴最大൅൅൅൅..൅.൅͵..൅，试卷第11页，总12页 ∴以，为相邻的两边作平行四边形形，当平行四边形形的面积最大时，..൅.൅.൅，最大最大此时..͵存在点，∵൅.൅.൅͵൅.൅，∴对称轴为直线൅.当൅时，൅，.൅͵，∴抛物线与点轴正半轴交于点͵.如图.，分别过点，作直线൅的垂线，垂足为形，，抛物线对称轴上存在点，使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线൅的距离，设，连接，，则൅形൅͵൅，൅൅.....൅͵൅，由题意可列：...͵൅൅，解得，൅，∴．试卷第12页，总12页