2019年上海市高考数学试卷一、填空题.)th1.计算：lim________．t൅2.设，hthth൅䁕是纯虚数，其中是虚数单位，则＝________．h3.若，则t________．൅൅4.已知香䁨的内角、香、䁨所对的边分别是、、，若hththh＝，则角䁨的大小是________.h5.设常数，若t的二项展开式中项的系数为൅，则＝________．൅൅6.方程t的实数解为________．൅7.在极坐标系中，曲线cost൅与cos൅的公共点到极点的距离为________．8.盒子中装有编号为൅，h，，，，，，，的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）．9.设香是椭圆Γ的长轴，点䁨在Γ上，且䁨香，若香＝，香䁨h，则Γ的两个焦点之间的距离为________.10.设非零常数是等差数列൅，h，，，൅的公差，随机变量等可能地取值൅，h，，，൅，则方差________.൅h11.若coscostsinsin，sinhtsinh，则sint________.hh12.设为实常数，䁕是定义在上的奇函数，当븀时，䁕tt．若䁕t൅对一切成立，则的取值范围为__________.13.在‸平面上，将两个半圆弧൅䁕hth൅൅䁕和䁕hth൅䁕，两条直线൅和൅围成的封闭图形记为，如图中阴影部分，记绕轴旋转一周而成的几何体为．过䁪䁕൅䁕作的水平截面，所得截面积为൅ht．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为________．试卷第1页，总7页 14.对区间上有定义的函数䁕，记䁕＝＝䁕䁪．已知定义域为䁪的函数＝䁕有反函数＝൅䁕，且൅䁪൅䁕）＝൅䁪h䁕䁪൅h䁪䁕＝䁪൅䁕．若方程䁕＝有解，则＝________．二、选择题.)15.设常数，集合൅䁕䁕，香൅，若香，则的取值范围为䁕A.䁪h䁕B.䁪hC.h䁪t䁕D.h䁪t䁕16.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的䁕A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件17.在数列中，＝h൅，若一个行൅h列的矩阵的第行第列的元素＝tt，＝൅䁪h,…,；＝൅䁪h,…,൅h䁕，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A.൅B.hC.D.18.在边长为൅的正六边形香䁨쳌中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为൅、h、、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为൅、h、、、．若、分别为tt䁕tt䁕的最小值、最大值，其中䁪䁪൅䁪h䁪䁪䁪，䁪䁪൅䁪h䁪䁪䁪，则、满足（）A.＝，㐠B.븀，㐠C.븀，＝D.븀，븀三、解答题.)19.如图，在长方体香䁨൅香൅䁨൅൅中，香h，൅，൅൅，证明直线香䁨൅平行于平面൅䁨，并求直线香䁨൅到平面൅䁨的距离．20.甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求൅൅），每小时可获得的利润是൅t൅䁕元．（1）要使生产该产品h小时获得的利润不低于元，求的取值范围；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21.已知函数hsin，其中常数㐠.h൅䁕若在䁪上的最大值为h，求的取值范围；试卷第2页，总7页 h䁕令h，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移൅个单位，得到函数的图像，区间䁪䁪且븀）满足：在䁪上至少含有个零点，在所有满足上述条件的䁪中，求的最小值．h22.如图，已知双曲线䁨൅h൅，曲线䁨h＝t൅，是平面内一点，若存在h过点的直线与䁨൅，䁨h都有公共点，则称为“䁨൅䁨h型点”（1）在正确证明䁨൅的左焦点是“䁨൅䁨h型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线＝与䁨h有公共点，求证㐠൅，进而证明原点不是“䁨൅䁨h型点”；hh൅（3）求证：圆t内的点都不是“䁨൅䁨h型点”.h23.给定常数㐠，定义函数䁕＝httt．数列൅，h，，…满足＝䁕，．t൅（1）若൅＝h，求h及；（2）求证：对任意，；t൅（3）是否存在൅，使得൅，h，…，，…成等差数列？若存在，求出所有这样的൅；若不存在，说明理由．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2019年上海市高考数学试卷一、填空题.൅1.2.h3.t൅4.arccos5.h6.logt൅7.h൅8.൅9.10.h11.sint䁕12.13.hht൅14.h二、选择题.15.B16.B17.A18.D三、解答题.19.证明：因为香䁨൅香൅䁨൅൅为长方体，故香㘶㘶䁨൅൅，香䁨൅൅，故香䁨൅൅为平行四边形，故香䁨൅㘶㘶൅，显然香不在平面൅䁨上，于是直线香䁨൅平行于平面൅䁨；直线香䁨൅到平面൅䁨的距离即为点香到平面൅䁨的距离设为考虑三棱锥香䁨൅的体积，൅൅൅以香䁨为底面，可得൅h䁕൅，h而൅䁨中，䁨൅䁨，൅h，试卷第4页，总7页 故൅䁨h，൅൅h所以，，hh即直线香䁨൅到平面൅䁨的距离为．20.解：（1）生产该产品h小时获得的利润为൅t൅䁕h＝ht൅䁕h根据题意，ht൅䁕，即൅൅∴或∵൅൅，∴൅；（2）设利润为元，则生产千克该产品获得的利润为＝൅t൅䁕൅൅൅h൅＝tt䁕＝൅䁕th൅h∵൅൅，൅∴＝时，取得最大利润为൅元൅h故甲厂应以千克/小时的速度生产，可获得最大利润为元．21.解：൅䁕由题意知，h൅h,解得,所以的取值范围为䁪t䁕.h䁕䁕hsinh䁕，䁕hsinht䁕t൅hsinht䁕t൅,൅䁕sinht䁕h或，，൅hh即䁕的零点间隔依次为和，故若䁕在䁪上至少含有个零点，h则的最小值为൅t൅．22.（1）解：䁨൅的左焦点为䁪䁕，写出的直线方程可以是以下形式：或t䁕，其中．试卷第5页，总7页 （2）证明：因为直线＝与䁨h有公共点，t൅所以方程组有实数解，因此＝t൅，得㐠൅．t൅若原点是“䁨൅䁨h型点”，则存在过原点的直线与䁨൅、䁨h都有公共点．考虑过原点与䁨h有公共点的直线＝或＝㐠൅䁕．显然直线＝与䁨൅无公共点．hh如果直线为＝㐠൅䁕，则由方程组hh，得h븀，矛盾．൅൅hh所以直线＝㐠൅䁕与䁨൅也无公共点．因此原点不是“䁨൅䁨h型点”．hh൅（3）证明：记圆‸t，取圆‸内的一点，设有经过的直线与䁨൅，䁨hh都有公共点，显然不与轴垂直，故可设＝t．若൅，由于圆‸夹在两组平行线＝൅与＝൅之间，因此圆‸也夹在直线＝൅与＝൅之间，从而过且以为斜率的直线与䁨h无公共点，矛盾，所以㐠൅．因为与䁨൅由公共点，t所以方程组hh有实数解，൅h得൅hh䁕hhhh＝．因为㐠൅，所以൅hh，因此＝䁕h൅hh䁕hhh䁕＝ht൅hh䁕，即hhh൅．因为圆‸的圆心䁪䁕到直线的距离，൅thhh൅൅thhhh所以븀，从而㐠h൅，得븀൅，与㐠൅矛盾．൅thhhhh൅因此，圆t内的点不是“䁨൅䁨h型点”．h23.（1）解：h＝൅䁕＝h䁕＝hhttht＝h＝h，＝h䁕＝h䁕＝hhttht＝ht䁕th䁕＝൅t．tt䁪（2）证明：由已知可得䁕tt䁪븀䁪븀当时，t൅＝t㐠；当븀时，t൅＝htth䁕tt＝；当븀时，t൅＝h㐠h䁕＝．∴对任意，；t൅（3）解：假设存在൅，使得൅，h，…，，…成等差数列．由（2）及㐠，得t൅，即为无穷递增数列．又为等差数列，所以存在正数，当㐠时，，从而t൅＝䁕＝tt，由于为等差数列，试卷第6页，总7页 因此公差＝t．①当൅븀时，则h＝൅䁕＝൅，又h＝൅t＝൅tt，故൅＝൅tt，即൅＝，从而h＝，当h时，由于为递增数列，故h＝㐠，∴t൅＝䁕＝tt，而h＝൅tt，故当൅＝时，为无穷等差数列，符合要求；②若൅븀，则h＝൅䁕＝൅tt，又h＝൅t＝൅tt，∴൅tt＝൅tt，得൅＝，应舍去；③若൅，则由൅得到t൅＝䁕＝tt，从而为无穷等差数列，符合要求．综上可知：൅的取值范围为䁪䁪t䁕．试卷第7页，总7页