2019年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）)1.已知集合쥀····，··，则________．݊쥀2.计算lim________．݊쥀3.不等式ݔ݊쥀ͳ的解集为________．4.函数ݔ쥀为数函反的൐ݔݔ________．5.设为虚数单位，݊，则的值为________ݔ݊쥀，6.已知当方程有无穷多解时，的值为________．ݔ݊，쥀7.在ݔ݊的展开式中，常数项等于________．ݔ쥀8.在䁨中，䁨，sinsin，且cos䁨，则________．9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派人参加连续天的志愿者活动，其中甲连续参加天，其他人各参加쥀天，则不同的安排方法有________种（结果用数值表示）10.如图，已知正方形䁨，其中(쥀)，函数ݔ交䁨于点，函数쥀ݔ交于点，当݊䁨最小时，则的值为________．ݔ11.在椭圆݊쥀上任意一点，与关于ݔ轴对称，若有쥀쥀，则쥀与的夹角范围为________．12.已知集合ሾ·ሾ݊쥀ሾ݊·ሾ݊䁃，൐，存在正数，使得对任意，都有，则ሾ的值是________．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）)13.下列函数中，值域为൐·݊的是（）쥀ݔA.B.ݔsoc.Dݔnat.Cݔ试卷第1页，总8页 14.已知、，则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系（）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面16.以쥀·൐，·൐为圆心的两圆均过쥀·൐，与轴正半轴分别交于൐·쥀，൐·，쥀쥀且满足ln쥀݊ln൐，则点·的轨迹是()쥀A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）)17.如图，在正三棱锥䁨中，䁨·䁨䁨．쥀若的中点为，䁨的中点为，求䁨与的夹角；求䁨的体积．18.已知数列，쥀，前项和为．쥀若为等差数列，且쥀，求；若为等比数列，且limͳ쥀，求公比的取值范围．19.改革开放൐年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为൐쥀年൐쥀年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出用（亿元）绝对数占卫绝对数占卫绝对数占卫（亿元）生总（亿元）生总（亿元）生总费用费用费用比重比重比重ᦙᦙᦙ൐쥀ͺ쥀쥀䁃ͳ൐൐䁃ͳͳ쥀൐൐൐ͳ൐ͳͺ쥀ͳ䁃ͺ䁃ͳ䁃䁃൐쥀쥀ͺͳ䁃쥀൐䁃ͳͳͺͺ쥀쥀䁃ͳ䁃ͳ䁃ͺ䁃ͳͺ쥀൐ͳ쥀൐쥀쥀ͳ൐쥀쥀䁃ͳ쥀쥀ͳ䁃䁃쥀ͳͺͳ൐쥀൐䁃ͳ䁃ͳ䁃൐쥀൐䁃ͳ쥀쥀䁃䁃ͳ䁃ͳ쥀൐ͳ쥀൐ͳ䁃쥀ͳͺ൐ͳ试卷第2页，总8页 （数据来源于国家统计年鉴）쥀指出൐쥀年到൐쥀年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；设ሾ쥀表示쥀䁃ͺ年，第年卫生总费用与年份ሾ之间拟合函数ሾͺͳ൐研究函数ሾ的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过쥀万亿的年份．쥀݊ͳ൐൐ͳ쥀쥀ሾ20.已知抛物线方程ݔ，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．ͺ쥀当쥀·时，求；证明：存在常数，使得݊；쥀，，为抛物线准线上三点，且쥀，判断쥀݊与的关系．21.已知等差数列的公差൐·，数列满足sin，集合ݔݔ·．쥀若쥀൐·，求集合；若쥀，求使得集合恰好有两个元素；若集合恰好有三个元素：݊䁝，䁝是不超过的正整数，求䁝的所有可能的值．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2019年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.·2.3.·4.ݔݔ൐5.6.7.쥀8.쥀൐9.10.쥀11.arccos·12.쥀或二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.B14.C15.B16.A三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.解：쥀∵，分别为，䁨的中点，∴䁨，则䁨为䁨与所成角，在䁨中，由䁨，䁨，䁨݊䁨可得cos䁨，䁨䁨∴䁨与的夹角为arccos；过作底面垂线，垂足为，则为底面三角形的中心，连接并延长，交䁨于，试卷第4页，总8页 则，쥀．∴쥀．쥀쥀∴䁨．18.解：쥀∵쥀݊݊쥀，∴，쥀∴݊݊；쥀，∵lim存在，∴쥀ͳͳ쥀，쥀∴lim存在，∴쥀ͳͳ쥀且൐，쥀∴limlim，쥀쥀∴ͳ쥀，∴ͳ，∴쥀ͳͳ൐或൐ͳͳ，쥀∴公比的取值范围为쥀·൐൐·．19.解：쥀由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．∵ͳ൐൐ͳ쥀쥀ሾ是减函数，且ͳ൐൐ͳ쥀쥀ሾ൐，ͺͳ൐∴ሾ在上单调递增，쥀݊ͳ൐൐ͳ쥀쥀ሾͺͳ൐令쥀൐൐൐൐，解得ሾ൐ͳͺ，쥀݊ͳ൐൐ͳ쥀쥀ሾ∴当ሾ쥀时，我国卫生总费用超过쥀万亿，∴预测我国到൐ͺ年我国卫生总费用首次超过쥀万亿．ͺ20.쥀解：抛物线方程ݔ的焦点쥀·൐，쥀·，ͺ쥀，的方程为ݔ得解，程方的线物抛入代，쥀ݔ，쥀൐抛物线的准线方程为ݔ쥀，可得݊，䁃쥀ͺ݊쥀，；证明：当쥀·൐时，，设쥀·，൐，ݔ则，쥀݊ݔݔ，联立ݔ和쥀݊ݔݔ，试卷第5页，总8页 可得ݔ൐，ݔ쥀݊ݔ݊쥀ݔ݊쥀݊ݔ，쥀݊ݔ쥀݊ݔ݊ݔݔ݊쥀݊ݔݔ쥀݊ݔ݊쥀ݔݔ݊，ݔݔ有对称性可知，ͳ൐也成立.综上所述：存在常数，使得݊；解：设쥀쥀·쥀，쥀·，쥀·，则쥀݊쥀݊݊쥀݊݊݊쥀݊݊쥀݊݊݊݊쥀݊݊쥀݊݊쥀，由݊쥀݊݊쥀݊݊쥀݊쥀݊쥀ͺ，݊݊݊쥀쥀݊ͺ쥀쥀쥀൐，则쥀݊．21.解：쥀当쥀൐·时，，，，∴쥀sin൐൐，sin，sin，൐，有周期性可知，以为周期循环，∴集合·൐·．∵쥀，数列满足sin，集合ݔݔ·恰好有两个元素，如图：试卷第6页，总8页 根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②쥀终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，䁨，此时，综上，或者．①当䁝时，݊，集合쥀··，符合题意．②当䁝时，݊，sin݊sin，݊݊，或者݊݊쥀，等差数列的公差൐·，故݊݊，，∴쥀，，当쥀时满足条件，此时൐·쥀·쥀．③当䁝时，݊，sin݊sin，݊݊，或者݊݊쥀，因为൐·，故쥀，．当쥀时，sin·쥀·sin满足题意．④当䁝时，݊，sin݊sin，所以݊݊或者݊݊쥀，൐·，故쥀，，．当쥀时，·൐·，满足题意．⑤当䁝时，݊，sin݊sin，所以݊݊，或者݊݊쥀，൐·，试卷第7页，总8页 故쥀，，，当쥀时，因为쥀对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然有ݔ，，ݔݔ，ݔ，不符合条件．当时，因为쥀对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然有ݔ，，ݔݔ不是整数，不符合条件．当时，因为쥀对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然有ݔ或者，，或者，ݔݔ此时，ݔ均不是整数，不符合题意．综上，䁝，，，．试卷第8页，总8页