2016年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.)1.设，则不等式െ͵的解集为________．െ誀2.设，其中誀为虚数单位，则的虚部等于________．誀3.已知平行直线，，则，的距离________．4.某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为米），米）〮，米〮，米㤱⸴，米）㤱．则这组数据的中位数是________（米）．5.若函数൅ͳൌsinncos的最大值为，则常数n________．6.已知点൅െ点⸴ͳ在函数൅ͳn的图象上，则൅ͳ的反函数൅ͳ________．7.若，满足，则的最大值为________．8.方程െsincos在区间点上的解为________．െ9.在൅ͳ的二项式中，所有的二项式系数之和为㤱，则常数项等于________．10.已知香䁨的三边长分别为െ，，），则该三角形的外接圆半径等于________．11.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________．12.如图，已知点൅点ͳ，൅点ͳ，香൅点ͳ，是曲线上一个动点，则香的取值范围是________．n13.设n‸，‸．若关于，的方程组无解，则n的取值范围是________．14.无穷数列n由个不同的数组成，为n的前项和．若对任意，点െ，则的最大值为________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.)15.设n，则“n‸”是“n‸”的൅ͳA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件试卷第1页，总7页 16.如图，在正方体香䁨ܥ香䁨ܥ中，，分别为香䁨，香香的中点，则下列直线中与直线相交的是()A.直线B.直线香C.直线ܥD.直线香䁨17.设n，点ͳ，若对任意实数都有sin൅െͳsin൅nͳ，则满足条െ件的有序实数对൅n点ͳ的对数为()A.B.C.െD.ൌ18.设൅ͳ，൅ͳ，൅ͳ是定义域为的三个函数，对于命题：①若൅ͳ൅ͳ，൅ͳ൅ͳ，൅ͳ൅ͳ均是增函数，则൅ͳ，൅ͳ，൅ͳ均是增函数；②若൅ͳ൅ͳ，൅ͳ൅ͳ，൅ͳ൅ͳ均是以为周期的函数，则൅ͳ，൅ͳ，൅ͳ均是以为周期的函数，下列判断正确的是()A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题三、简答题：本大题共5题，满分74分)19.将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，䁨长为，香长为，其中香与䁨在平面的同侧．㤱െ൅ͳ求圆柱的体积与侧面积；൅ͳ求异面直线香与䁨所成的角的大小．20.有一块正方形.，所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线䁨上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为൅点ͳ，如图试卷第2页，总7页 ൅ͳ求菜地内的分界线䁨的方程；〮൅ͳ菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的经验值为．设െ是䁨上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形.的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”．21.双曲线൅‸ͳ的左，右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，香两点．൅ͳ若的倾斜角为，香是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；൅ͳ设െ，若的斜率存在，且香ൌ，求的斜率．22.对于无穷数列n与，记n点，香点，若同时满足条件：①，均单调递增；②香且香，则称n与是无穷互补数列．൅ͳ若n，ൌ，判断n与是否为无穷互补数列，并说明理由；൅ͳ若n且n与是无穷互补数列，求数列的前㤱项的和；൅െͳ若n与是无穷互补数列，n为等差数列且n㤱െ㤱，求n与的通项公式．23.已知n，函数൅ͳlog൅nͳ．൅ͳ当n时，解不等式൅ͳ‸；൅ͳ若关于的方程൅ͳlog൅ͳ的解集中恰有一个元素，求n的值；൅െͳ设n‸，若对任意点，函数൅ͳ在区间点上的最大值与最小值的差不超过，求n的取值范围．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2016年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.1.൅点ൌͳ2.െ3.4.米）㤱5.െ6.log൅ͳ7.8.或㤱㤱9.）െ10.െ11.㤱12.点13.൅点ͳ14.ൌ二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.15.A16.D17.B18.D三、简答题：本大题共5题，满分74分19.解：൅ͳ将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成如图的圆柱，则圆柱的体积为：．侧面积为：．试卷第4页，总7页 ൅ͳ设点香在下底面圆周的射影为香，连结香香，香，则香香，∴香，െ异面直线香与䁨所成的角的大小就是䁨香，大小为：．㤱െ20.解：൅ͳ设分界线上任意一点为൅点ͳ，由题意得൅ͳ，整理得：ൌ，൅ͳ.൅ͳ如图，过作ܥ轴，因为是䁨上纵坐标为的点，设൅点ͳ，则，∴，ൌൌ∴设所表述的矩形面积为െ，则െ൅ͳ，ൌൌ设五边形.的面积为ൌ，െ则ൌെ.䁙，ൌൌൌ〮〮െ，ൌ͵，െ㤱ൌെ㤱∴五边形.的面积更接近的面积．21.解：൅ͳ若的倾斜角为，香是等边三角形，把㘶代入双曲线的方程可得点的纵坐标为，െ由tantan，㤱െ求得，，故双曲线的渐近线方程为，即双曲线的渐近线方程为．试卷第5页，总7页 ൅ͳ设െ，则双曲线为，൅点ͳ，െ若的斜率存在，设的斜率为，则的方程为൅ͳ，即，联立，可得൅െͳൌൌെ，െ由直线与双曲线有两个交点，则െ，即െ．െ㤱൅ͳ‸．ൌൌെെ，െ．∵香൅ͳൌൌൌെ൅ͳൌൌ，െെൌെ化简可得，ൌ），解得，求得．∴的斜率为．22.解：൅ͳn与不是无穷互补数列．理由：由n，ൌ，可得ൌ，ൌ香，即有ൌ香，即有n与不是无穷互补数列；൅ͳ由n，可得n㤱，nെ，ൌ由n与是无穷互补数列，可得㤱㤱ൌ，即有数列的前㤱项的和为൅െ米米米ͳ൅ൌ〮㤱ͳെ〮；൅െͳ设n为公差为（为正整数）的等差数列且n㤱െ㤱，则nെ㤱，由nെ㤱，可得或，若，则n，n，൅ͳ，与n与是无穷互补数列矛盾，舍去；点若，则n㤱，nൌ，．点‸点综上可得，nൌ，．点‸23.解：൅ͳ当n时，൅ͳlog൅ͳ，由൅ͳ‸得log൅ͳ‸，即‸，则‸，即͵͵，经检验得，不等式的解集为൅点ͳ.试卷第6页，总7页 ൅ͳ方程൅ͳlog൅ͳ，即log൅nͳlog൅ͳ，∴൅nͳ，化为：n，若n，化为，解得，经过验证满足：关于的方程൅ͳlog൅ͳ的解集中恰有一个元素．若n，令ൌn，解得n，解得．ൌ经过验证满足：关于的方程൅ͳlog൅ͳ的解集中恰有一个元素．综上可得：n或．ൌ൅െͳn‸，对任意点，函数൅ͳ在区间点上单调递减，∴log൅nͳlog൅nͳ，൅nͳ൅ͳ∴，n൅ͳ化为：n൅ͳ，点，൅ͳ൅ͳ൅ͳ൅ͳ൅ͳ൅ͳ൅ͳ൅ͳ൅ͳ͵，൅ͳൌ∴൅ͳ在点上单调递减，∴时，൅ͳ取得最大值，൅ͳ．െ∴n．െ∴n的取值范围是，ͳ．െ试卷第7页，总7页